高中数学选修知识点总结

高二数学选修2—1学问点

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句.

真命题：推断为真的语句.

假命题：推断为假的语句.

2、“若夕,则形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,

则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆

命题.

若原命题为“若p,则q"，它的逆命题为“若q,则p”.

4、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认

和结论的否认，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称

为原命题的否命题.

若原命题为“若p,则q"，则它的否命题为“若「p,则「q”.

5、对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认

和条件的否认，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另

一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若p,则q"，则它的否命题为''若「乡，则力”.

6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真真真

假假假假

四种命题的真假性之间的关系：

⑴两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

7、若〃则p是q的充分条件，q是〃的必要条件.

若poq,则。是q的充要条件（充分必要条件）.

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作

当〃、（7都是真命题时，是真命题；当〃、q两个命题中有一个命题是假命

题时，是假命题.

用联结词“或”把命题〃和命题q联结起来，得到一个新命题，记作“V小

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，"vq是真命题；当夕、乡两个命

题都是假命题时，pvq是假命题.

对一个命题〃全盘否认，得到一个新命题，记作

若p是真命题，则「p必是假命题；若p是假命题，则「2必是真命题.

9、短语“对全部的”、“对随意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“V”表

示.

含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题“对M中随意一个x,有p(x)成立"，记作“VxeM,p(x)”.

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“三”表示.

含有存在量词的命题称为特称命题.

特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”，记作“3XGM,

10、全称命题p：VxwM,p(x),它的否认「p：士wM,」p(x).全称命题

的否认是特称命题.

第二章圆锥曲线与方程

11、平面内与两个定点耳，尸2的间隔之和等于常数(大于|百尼|)的点的轨

迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的间隔称为椭圆的焦距.

12、椭圆的几何性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

y

*

图形!v

2222

标准方程$+方=1(。">°)/+*(a”>0)

范围-a<x<aSL-b<y<b—b<x<bSi-a<y<a

A4-。,。)、A(a,O)Aj(O,-a)>A(0,a)

顶点22

B,(O,-^)>B2(O,Z?)B4-0)、B2(b,0)

轴长短轴的长=力长轴的长=为

焦点耳(-G())、E(c,O)6((),-c)、月(O,c)

恒用一切

焦距=2*2=/

对称性关于x轴、y轴、原点对称

离心率e=-=Al-^-(O<e<l)

a\a

x=±《-v=4

准线方程

c

13、设M是椭圆上任一点，点M到6对应准线的间隔为4，点M到F?对应准

线的间隔为则回目=回回=

4d?

14、平面内与两个定点用，入的间隔之差的肯定值等于常数(小于|月乃|)

的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的间隔称为双

曲线的焦距.

15、双曲线的几何性质：

焦点的位置焦点在无轴上焦点在y轴上

图形TfV，一［八］»

2222

标准方程A*-p-=l(a>0,/?>0)

范围x<—a^x>a,y£Ry<一。或”。，XELR

顶点A1(-a,O)>A2(a,0)A|(0,-a)、A2(o,6f)

轴长虚轴的长=2。实轴的长=为

焦点耳(—0,0)、6(c,0)6(0,-c)、8(0,c)

=2c(c。=/+02)

焦距\F}F^

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

e=rf?(e>1)

离心率

一a2

准线方程

C

,b,a

渐近线方程y=±-xy-±—x

ab

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

17、设M是双曲线上任一点，点M到"对应准线的间隔为4，点M到居对应

准线的间隔为为,则岫=四=6.

4d2

18、平面内与一个定点户和一条定直线/的间隔相等的点的轨迹称为抛物

线.定点厂称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为

抛物线的“通径”，即网=2p.

20、焦半径公式：

若点P(%,yo)在抛物线y2=2“x(P>0)上，焦点为F，则|P月=%+5；

若点P(Xo，y0)在抛物线丁=—2px(p>0)上，焦点为尸，则|P可=-%+个

若点PG。,%)在抛物线犬=2刀(〃>0)上，焦点为F，则呼|=%+5；

若点PG，%）在抛物线f=-2抄（p〉0）上，焦点为尸，则|PE|=-%+勺

21、抛物线的几何性质：

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

标准方程

(p>°)(">。)(p>0)(夕>0)

fea

图形

顶点(0,0)

对称轴x轴y轴

y,。as

焦点FLF

y

准线方程X--P-x_p.T

_______2_________2

离心率£=i

范围x>0x<0y>0y<0

第三章空间向量与立体几何

22、空间向量的概念：

（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.

（2）向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指

的方向表示向量的方向.

（3）向量AEi的大小称为向量的模（或长度），记作,耳.

（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.

（5）与向量M长度相等且方向相反的向量称为万的相反向量，记作-鼠

（6）方向一样且模相等的向量称为相等向量.

23、空间向量的加法和减法：

⑴求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间

以同一点0为起点的两个已知向量M、6为邻边作平行四边形OACB,则以0起

点的对角线0弓就是m与5的和，这种求向量和的

方法，称为向量加法的平行四边形法则.

（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵

循三角形法则.即：在空间任取一点0,作

0A=«,OB=b,则BA=M-b.

24、实数九与空间向量M的乘积24是一个向量，称为向量的数乘运算.当九>0

时，与2方向一样；当;1<0时，与M方向相反；当;1=0时，为零向量,

记为。.4万的长度是M的长度的冈倍.

25、设X,〃为实数，a,5是空间随意两个向量，则数乘运算满意安排律及结

合律.

安排律：A^a+b^Aa+Ab；结合律：£（曲）=（加）五.

26、假如表示空间的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量称为共线

向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.

27、向量共线的充要条件：对于空间随意两个向量d,5（5w0）,M//5的充要条

件是存在实数4,使1=4.

28、平行于同一个平面的向量称为共面对量.

29、向量共面定理:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,

使丽=+或对空间任肯定点0,WOP=OA+xAB+>'AC；或

若四点P,A,B,C共面，则丽=R）A+y加+z加（x+y+z=l）.

30、已知两个非零向量M和5,在空间任取一点O,作加=2,丽=5,则NAOB

称为向量5的夹角，记作〈75〉.两个向量夹角的取值范围是：@5〉«0,句.

31、对于两个非零向量1和5,若3出〉=],则向量a,B相互垂直，记作

32、已知两个非零向量M和B,则同5卜05伍5〉称为。，b的数量积，记作。即

无B=BlWcos3,5〉.零向量与任何向量的数量积为0.

33、。石等于£的长度同与B在斤的方向上的投影忸距5而的乘积.

34、若5为非零向量，0为单位向量，则有⑴0y=MV=B|COSAG〉；

吗If与嗣向）.巾「，止而;

（2）aLb<=>a-b=0；（3）a-b=

-同|矶1与5反向）

⑷c°s依朴曲;⑸卜年同|斗

35、向量数乘积的运算律：⑴无日=看也；（2）（布）石=4（万石）=无（焉）；

（3）（a+b^-c-d-c+b-c.

36、若:，j,E是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量少，存在有序

实数组{x,y,z},使得万=x7+0+zE,称xf，炉，zE为向量日在f,j,k±

的重量.

37、空间向量根本定理：若三个向量b,乙不共面，则对空间任一向量日，

存在实数组{x,y,z},使得万=x〃+yB+zA.

38、若三个向量心b,［不共面，则全部空间向量组成的集合是

=xa+yb+zc,x,y,ze.这个集合可看作是由向量£,b,^生成的，

{%反可称为空间的一个基底，a,b,乙称为基向量.空间随意三个不共面的向

量都可以构成空间的一个基底.

39、设I，［为有公共起点。的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位

正交基底），以录，工,I的公共起点0为原点，分别以司,1的方向为工

轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.则对于空间随意一个向量Q,

肯定可以把它平移，使它的起点与原点0重合，得到向量丽=".存在有序实

数组{x,y,z},p=xet+ye2+ze3.把x,y,z称作向量日在单位正交基底

G，%63下的坐标，记作力=（x,y,z）.此时，向量场的坐标是点P在空间直角

坐标系OAJZ中的坐标（x,y,z）.

40、设万=（X],y,zJ,行二小，%"?）,则⑴M+5=（X]+工2，,+%，4+Z2）.

（2）2一在=（%一%2，%-%，Z]-Z2）・

（3）Aa=（Axl,Ayl,Azl）.

（4）ab=%%2+/%+平2.

（5）若M、b为非零向量，则<=>a-b=0<^>xlx2+y[y2+z[z2=0.

（6）若5,贝UM〃6<=>5=焉OX]=Ax29yl=Ay2,zt=Az2.

（7）\a\=\/a-a=，/）+y；+z；.

（o\°C"方h\=_%%+））止乎2_

，|胭7：+y：+z：.Jx；+y；+z；'

（9）A（%,y,zJ,B=（W，%,Z2），则“=网=-Xi+（%-X1+&-zj?.

41、在空间中，取肯定点O作为基点，那么空间中随意一点P的位置可以用向量

O下来表示.向量0日称为点P的位置向量.

42、空间中随意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点

A是直线/上一点，向量M表示直线/的方向向量，则对于直线/上的随意一点P,

有市=应，这样点A和向量M不仅可以确定直线/的位置，还可以详细表示出直

线/上的随意一点.

43、空间中平面a的位置可以由a内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线

相交于点0，它们的方向向量分别为心b.P为平面a上随意一点，存在有序

实数对（x,y）,使得丽=S+访，这样点0与向量心5就确定了平面a的位置.

44、直线/垂直a,取直线/的方向向量则向量M称为平面a的法向量.

45、若空间不重合两条直线a,〃的方向向量分别为万，5,则a//〃oM〃Bo

a=2^（/1e7?）,a±ba>a±hoab-0.

46、若