高中数学选2 章末检测卷（二）

章末检测卷(二)

(时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符

合题目要求)

1.设曲线"在点(1,0)处的切线与直线为—砂+1=0垂直，则〃=()

A--2B2

C.-2D.2

.__।口口(Inx)r(x+1)—Inx(x+1)'~^~x,,

解析由题思仔，y'~(t+])2=-(.+])2(x>0),.♦•曲线在点(1,0)处

的切线与直线x—ay+l=0垂直，.「：1=_a,解得〃=一；,故选A.

答案A

2.函数>=X4-2?+5的单调减区间为()

A.(—8,-1)和(0,1)

0)和(1,+8)

c.(-i,1)

D.(—8,—1)和(1,+~)

解析y=4x3-4x=4Xx2-l),令y<0得x的范围为(-8,-i)u(0,1),故选A.

答案A

3.函数次0=/+浸+3尤-9在*=-3时取得极值，则。等于()

A.2B.3

C.4D.5

解析了(x)=3/+26+3.由.危)在x=-3时取得极值，即/(-3)=0,即27—6〃+3=0,：.a=5.

答案D

4.若函数段)=若仁>1)有最大值一4,则实数。的值是()

A.lB.-1

C.4D.-4

解析由函数,&0=若(;01),则〃x)=2"(二0”2=晨W,要使得函数犬X)有最大

值-4,则a<0,

则当xG(l,2)时，/(x)X),函数犬x)在(1,2)上单调递增，

当xG(2,+8)时，/(x)<0,函数_/(x)在(2,+8)上单调递减,

所以当x=2时，函数«x)取得最大值，即_/(幻„1稣=火2)=嗔7=-4,解得。=一1,满足题意，故

选B.

答案B

5.已知函数<x)=x+2在(-8,—1)上单调递增，则实数4的取值范围是()

A.[l,+°°)B.(-8,0)U(0,1J

C.(0,1]D.(-8,O)U[1,+°0)

解析由题意知/(x)=l一忘，由于犬X)在(-8,—1)上单调递增，则/(X)》。在(一8,-1)上恒

成立，即卜%2在(-8,—1)上恒成立.当《一1时，^>1,则有卜1,解得心1或a<0.故选D.

答案D

6.函数yu)=式的部分图象大致为()

解析7(X)=K，定义域为(-8,o)u(o,+8),人一幻=一赘，则y(—x)=—y(x),y(x)为奇函

数，图象关于原点对称，故排除B；川尸铲1,故排除A；..7«=支，当x>0时，可得/(x)=

3)",当Q1时，贝x)为增函数，故排除D.故选C

答案C

7.设〃=e,6=湛蓝。=湛5，则。，b,c大小关系是()

\.a<c<bB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

Y]nJC—1

解析构造函数兀0=；；,则/(x)=Q2,当X>e时，/(x)>0,则_/U)在(e,+8)上单调递增.

in人\in/

e37t

又e<3〈兀，.\Ae)勺(3)勺(兀)，即记故亦"尻故选A.

答案A

8.方程5—卜》-2=0的根的个数为()

A.OB.1

C.2D.3

解析令_/U)=G—Inx—2(x>0),则/(》)=5_,_；=曰工2,当xG(O,4)时，/(x)<0,次x)单调

递减；当xe(4,+8)时，/(力>0,共力单调递增,且再4)=2—In4—2<0,1/(e6)=e3-lne6-2=e3

-8>0,y(e-2)=e-|-lne^-2=1>0,结合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上存在一个

零点，在区间(4,+8)上也存在一个零点，故方程G—lnx-2=0的根的个数为2.故选C.

答案C

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合

题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)

9.已知函数./U)及其导函数/(X),若存在即，使得,危吟=/(即),则称xo是_/(x)的一个“巧值点”，

则下列函数中有“巧值点”的是()

A.f(x)=x2

C.J(x)=\nxD./U)=:

解析A.jf(x):=2x,由f=2x得x=0或x=2,有“巧值点”；

B./(x)=-e-x,—er=e=无解，无“巧值点”；

C/(x)=p方程lnx=；有解，有“巧值点”；

D/a)=—%,由(=一己，得工=一1,有“巧值点”.

答案ACD

10.将y=危)和y=/(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()

解析对于A选项，由函数y=/(x)的图象可知，/(0)=0,但函数y=/U)在x=0处的切线斜率不

存在，不合乎题意；

对于B选项，由函数y=/(x)的图象可知，函数y=#x)存在增区间，但B选项的图中，函数y=/(x)

没有增区间，不合乎题意；

对于C选项，由函数y=/(x)的图象可知，函数y=#x)在R上为增函数，合乎题意；

对于D选项，由函数y=/(x)的图象可知，函数y=/(x)有两个单调区间，但D选项的图中，函数

y=#x)有三个单调区间，不合乎题意.故选：ABD.

答案ABD

11.定义在区间[一/4上的函数力0的导函数/(X)图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.函数,/(X)在区间(0,4)单调递增

B.函数段)在区间(一；，0)单调递减

C.函数兀t)在x=l处取得极大值

D.函数兀r)在x=0处取得极小值

解析根据导函数图象可知，段)在区间(一/0)上，f(x)<0,段)单调递减，在区间(0,4)±,

/(x)>0,7U)单调递增.所以y(x)在x=0处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选

项错误.故选ABD.

答案ABD

12.定义在(0,+8)上的函数1x)的导函数为了(x),且5+1»a)一兀0<彦+2¥对xd(0,+8)恒成

立.下列结论正确的是()

A.现2)一沫1)>5

B.若负1)=2,x>l,则/0)>/+5+^

C/3)-2/(l)<7

D.若#1)=2,0<r<l,则/0')>/+5+]

解析设函数双*)=与/，

[ff(x)—2x](x+1)—(/(x)—x2)(x+1)f(x)—f(x)—(x2+2x)

则nl---------(x+l)2-----------=-------1一品广-------------

因为(x+l)f(x)—J(x)<x2+2x,所以g'(x)<0,

故g(x)在(0,+8)上单调递减，从而g(l)>g(2)>g(3),整理得加2)一浜1)<5,

13)一41)<7,故A错误，C正确.

当0<x<l时，若41）=2,因为ga）在（0,+8）上单调递减，所以g（x）>g（i）=5|，艮凶-f-（-XI）,---Y->71,

乙XI1乙

即火工）>炉+/+/.故D正确，从而B不正确.

即结论正确的是CD,故选CD.

答案CD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13.已知函数/）=Dosx+sinx,则_/（；）的值为.

因为了（幻=一了。）

解析sinx+cosx,

所以暗）=—/（；）sinJ+cosJ

整理，得了（9=1一1.

故由信）=暗｝。$：+sin解得痣）=1.

答案1

14.某公司租地建仓库，每月土地占用费%（单位：万元）与仓库到车站的距离成反比，而每月库存

货物的运费以单位：万元）与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10km处建仓库，9和），2

分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站km处时，两项费用之和最小，最小费

用为万元.（本题第一空3分，第二空2分）

解析依题意，可设每月土地占用费每月库存货物的运费丫2=4加，其中x是仓库到车站

的距离，%,七是比例系数，

L.4

于是由2=记，得%］=20；由8=1022,得22=亍

因此，两项费用之和为、=7+亍。>0）,

4

-

y--270

厂+-5

令y'=0,得x=5或x=—5（舍去）.

当o<x<5时，y<o；当x>5时，y>o,

因此，当x=5时，y取得极小值，也是最小值，其值为8.

答案58

15.当2］时，x3—x2-x<机恒成立，则实数机的取值范围是.

解析记“^二%3—X2—X,

所以/（x）=3f—2X-1.

令［（x）=0,得x=-§或x=1.

又因为犬2)=2,犬—1)=-1,X1)=-1,

所以当xG［-l,2］时，<X)max=2,所以m>2.

答案(2,+8)

16.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数y=4x)满

足条件：

(1)在闭区间［。，加上是连续不断的；

(2)在区间(小加上都有导数.

则在区间(a,b)上至少存在一个实数/,使得犬，)一人。)=/。)(6—。)，其中f称为“拉格朗日中值”.

函数8。)=炉在区间［0,1］上的“拉格朗日中值"f=.

解析因为g(x)=(,所以g")=2x,结合“拉格朗日中值”定义可得g'(t)=^o——(1)f—Q——(0)=

1,所以It—1,即£=；.

答案2

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)设函数,火方=9+加+5。611),已知g(x)=/(x)-/(x)是奇函数.

(1)求从c的值；

(2)求g(x)的单调区间.

解(1)因为yOOnV+bf+cX,

所以/(x)=3x2+2hx+c.

从而g(x)=J(x)—f(x)

=xi+bx1+cx~(3x2+2bx+c)

=/+(b—3)f+(c-2b)x—c.

因为g(x)是一个奇函数，且x£R,

所以g(0)=0,得c=0.

由奇函数的定义，得匕=3.

(2)由⑴,知g(x)=——6x,

从而g'(x)=3/—6.

令g'(x)>。，得/或x<—^2;

令g，(x)<0,得小.

所以(一8,一也)和",+8)是函数g(x)的单调递增区间，(f,a)是函数g(X)的单调递减

区间.

HY---V------1

18.(本小题满分12分)己知函数«x)=-—•

(1)求曲线y=_/U)在点(0,—1)处的切线方程;

(2)证明:当a正1时，/)+ee0.

5-ax2+(2a-1)x+2

(1)解/(%)=--------------------,7(0)=2.

因此曲线y=/(x)在(0,-1)处的切线方程是

2x—y—1=0.

(2)证明当时，./(x)+e》(/+x—1+e*")e*.

令8。)=/+x—1+0'"|,则g'(x)=2x+1+^+1.

当x<-l时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当心>一1时，

g，a)>o,g(x)单调递增；所以g(X)4g(—i)=o.

因此/(x)+e》0.

19.(本小题满分12分)设函数Kr)=a(x-5)2+61nx,其中aGR,«v)的图象在点(1,犬1))处的切线

与y轴相交于点(0,6).

(1)求a的值；

(2)求函数兀r)的单调区间与极值.

解(1),,•/x)=a(x-5)2+61nx(x>0),

•'•/(x)=2a(x-5)+&x>0).

令x=l,得川)=16“，/⑴=6—8小

的图象在点(1，7U))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-l).

•.•切线与)，轴相交于点(0,6),

A6—16a=8a—6,

(2)由(1)知，y(x)=|(x-5)2+61nXx>0),

6(x—2)(x—3)

f(x)=(x-5)+-=----------------(工>0).

令f(x)=0,得x=2或x=3.

当04<2或心>3时，/。)>0,人工)在区间(0,2),(3,+8)上为增函数；

当2a<3时，/«<0,人元)在区间(2,3)上为减函数.所以y(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+

8),单调递减区间为(2,3).

9

故火工)在x=2处取得极大值>(2)=]+61n2,

在x=3处取得极小值/(3)=2+61n3.

20.(本小题满分12分)已知函数次的二次1—%—ar2.

(1)当〃=3时，求式幻的单调区间；

⑵当兀20时，yu)eo,求实数。的取值范围.

解(1)当〃=3时，y(x)=x(ev—1)—1x2,

令/(x)=0,则x=-1或0,

当xG(-8,-l)U(0,+8)时，/(x)>0；

当xW(—l,0)时，

故人X)的单调递增区间为(一8,-1),(0,+~),单调递减区间为(一1,0).

(2yU)=x(e，T-ax).

令8(功=d—1—ax,则g'(x)=e，-a.

若aWl,则当xd(0,+8)时，g，(x)>0,g(x)为增函数，

而g(0)=0,从而当x》0时，g(x)》0,即1x)》0.

若Q1,则当xG(0,Ina)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，而g(0)=0,

从而当xd(0,Ina)时，g(x)<0,即/)<0,不符合题意.

综上，实数a的取值范围为(-8,1].

21.(本小题满分12分)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为

13万元/辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成

本增加的比例为x(0<x<l),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加，年销售量〉

关于x的函数为y=3240(T+2X+1),则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多

少？(年利润=(每辆车的出厂价一每辆车的投入成本)X年销售量)

解由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(l+x),每辆车的出厂价为13(l+0.7x),年利润为

Xx)=[13(l+0.7x)-10(l+x)j-y

=(3-0.9x)X3240X(一始+2工+§

=3240(0.9X3-4.8X2+4.5X+5),

则〃x)=3240(2.7/-9.6x+4.5)

=972(9x-5)(x-3),

由，(x)=0,解得或x=3(舍去)，

当xG(0,D时，/(x)>0,段)是增函数；

当xC6，1)时，/(x)<0,./U)是减函数.

所以当x=5时，y(x)取极大值，.(5)=20