高中数学数列专项练习 导数与数列放缩

导数，定积分与数列不等式

导数与数列不等式

1.由不等式InxWx—1可得：-^<ln(-+l)<-,neA^+.

n+1nn

例1.(2017全国3卷)已知函数/(%)=x-l-〃lnx.

(1)若/(%)20,求L的值;

(2)设加为整数，且对于任意正整数“，(l+1)(l+^)---(l+^)<m,求加的最小值.

解析：(2)由(1)知当xe(l,+oo)时，x-l-lnx>0,令x=l+5得ln(l+/)<《，

从而ln(l+L)+ln(l+[)+…+ln(l+5)<L+]+…+5=1—[<1.

故(1+5)(1+了~>-(1+5^)<6,而(1+])(1+^7)(1+>2,所以加的最小值为3.

练习.已知函数/(x)=〃lnx+x2,其中々ER且〃。0.

(1)讨论了⑶的单调性；

(2)当々=1时，证明：f(x)<x2+x-l；

(3)求证：对任意的“cN*且”22,都有：++…[l+，]<e.(其中

e72.718为自然对数的底数)

解析：(1)函数/⑺的定义域为(0，入)，八尤)=@+2x="二，

XX

①当。>0时，(。)>0,所以73在(0,+◎上单调递增；

②当。<0时,令八元)=0,解得x=『|,

当0<x<J|时，a+2x2<0,所以尸。)<0,所以〃x)在0,上单调递减，

[a

,0+2/>0,所以r(尤)>。，所以Ax)在-2-，+°°上单调递增.

综上，当。>0时，函数/(X)在(0,+8)上调递增;

Lj上单调递减,

当”0时,函数/(X)在,+8上单调递增.

(2)当々=1时，/(x)=lnx+x2,要证明/(x)<x2+x-l,

即证即lnx-x+l<0,

1—jr

设g(x)=ln%—%+l,贝！|/(%)=----,令g'(%)=0得，可得了=1,

当无£(0,1)时，g'(%)>0,当%£(1,+8)时，g'(x)v。.

所以g(%)Wg(l)=。，即Inx—x+IWO,故/(x)W/+%_1.

(3)由(2)可得InxK%-1,(当且仅当％=1时等号成立)，

令x=l+—〃=1,2,3,…，贝+—,

n<n)n

一1.1、」一1'」,1:1.1.111.1

I22JI32JIn2)2232n21x22x3(n-l)n

例2.已知函数/(x)=ln(l+尤)一M1+.龙).

1+X

(1)若时，/(x)^0,求X的最小值；

(2)设数列｛%｝的通项4=1+L+」H—+—>证明：a2n-an+—>]n2.

3AZ

解析：(1)由条件得"0)=0,/(无)=鱼卫二江.

(1+%)

1_9o

^r(x)=0,则x=0,x=-------.若4<0,则当x>0时，/'(x)>0,贝！1/(元)是增函数，

A

y(x)>/(o)=o不符合题意；

若own/，则当o《<匕"时，/'(尤)>0,则〃无)是增函数，/(x)>/(0)=0不符合题

2A

意；若人N3,则当尤>0时，r(x)<0,则7(x)是减函数，/(x)可(0)=0符合题意；

综上可知，彳的最小值时

2

(2)当方>a>0时--~~-->--,BPlnZ?-lna<—(—+—)/?-«.

ln£>-lnaQI2ab

ab

令a=n,b=n+\,贝！)ln(〃+l)-ln〃〈工(工d———)，所以ln(〃+l)-ln〃〈工(工d———)，

2nn+12nn+1

ln(n+2)-ln(n+l)<-(-^—+^—),ln(n+3)-ln(n+2)<-+^—)

2n+1〃+22n+2n+3

…，In2〃-ln(2〃-1)「(二一+工).将以上各不等式左右两边相加得：

22〃-12n

1122221

ln2n-lnw<-(-+——+------+-------+•••+--------+—),

2nn+\n+2n+32n—l2n

日…c111211

2nn+\n+2n+32n—l4n

t.r112111c日n11c

故----+----+----+•••+一+一>ln2,即-a+一>ln2.

n+1n+2n+32n4n4〃

二.定积分与不等式

1.定积分的定义：

一般地，设函数/(x)在区间口上连续，用分点

a-x0<%1<x2<--<x(_l<xt<••■<xn-b

将区间[a,句分成“个小区间，每个小区间长度为Ar(■=%-X,T),在每个小区间

[xw,引上任取一点吕(/=1,2,­••,«),作和式：

S”=£/©)AX=£/©)(X,—X,T).

i=li=l

如果Ax无限接近于0(亦即〃一转)时，上述和式S”无限趋近于常数S,那么称该常

数S为函数/(x)在区间［a,切上的定积分.记为：5=ff^x)dx.

Ja

2.定积分的几何意义：当/'(功之。时，由前述可知，定积分f/(x)dx在几何上表示由曲

线y=/(x)，两直线X=a,x=6与X轴所围成的曲边梯形的面积.

3.应用实例.

例3.(第16届女子奥林匹克)

求最大实数C,使得对任意正整数〃和满足0=/＜玉＜々＜…＜%=1的数列{4},均

n

有-4-1)〉仁

k=l

ni1

分析：由积分定义可知，对函数/(%)=/,%2QX=—

k=l°3

〃n〃

解：3£湿每-％)2Z(彘+xkxk-i+4-1)®--)=ZQi')=L故

k=lk=lk=l

«11

^jXk(Xk~Xk-\)2.，则《max=£•

k=\JJ

111〃

当。〉一时，设。=—+—,〃£N，取々=一，攵=0,1,2,…〃，贝!|

33nn

_%1)=；+，+白

k=、32〃6〃

n111111

显然，此时£%；(%左一/_1)=—।-----F<—।—，综上，c=—.

32non3n3

注.可以看到，做积分背景的序列不等式其放缩的关键就是构造裂项相消的条件.

例4(2014陕西)设函数/(%)=ln(l+x),g(%)=4'(%),%2°，其中尸(%)是/(%)的

导函数.

(1)gi(x)=g(x),g.+i(x)=g(g.(x)),“eN+，求g“(x)的表达式；

(2)若/(x)之ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设〃eN+，比较g(l)+g(2)+…+g(")与〃—/(“)的大小，并加以证明.

解：由题设得，g(x)=」一(xNO)

1+x

(2)已知/(x)Nag(x)恒成立,即ln(l+x)N—L恒成立

1+X

、儿/、1人、/、八、e“、1ax+1-a

设"(X)=ln(l+X)---(%>0),贝！|夕(x)=-------------K~M

1+X1+X(1+X)(1+X)

当〃<1时，(pr(x)>Q(仅当x=0,a=l时等号成立)，所以以%)在［0,+8)上