高中数学平面解析几何初步经典例题

直线和圆的方程

一、学问导学

1.两点间的距离公式：不管A(x»y,),B(X2Iyl在坐标平面上什么位置，都有

d=|ABI=J(X]-々I+(y-为(，特殊地，与坐标轴平行的线段的长IAB|=|xz—x11或

IAB|-1yz-y11.

2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x”y,),B(X2,y2),P(x,y)之间数

量关系的一个公式，其中人的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分

点、终点的位置是可以随意选择的，一旦选定后人的值也就随之确定了.假设以A为起点，B为终

X]+疝2

x=

1+/1

点，P为分点，那么定比分点公式是<.当P点为AB的中点时,入=1,此时中点坐标

力+加2

1+2

工_一+々

公式是J2

I2

3.直线的倾斜角和斜率的关系

(1)每一条直线都有倾斜角，但不肯定有斜率.

(2)斜率存在的直线，其斜率上与倾斜角a之间的关系是k=tana.

4.确定直线方程须要有两个相互独立的条件。直线方程的形式许多，但必需留意各种形式的

直线方程的适用范围.

名称方程说明适用条件

k为直线的斜率倾斜角为90°的直线不

斜截式y-kx+b

b为直线的纵截距能用此式

(项),)>0)为直线上的倾斜角为90°的直线不

点斜式y—yo=/-x0)

能用此式

点，女为直线的斜率

y-y,_x-x,(西，,)，(々，力)是直线与两坐标轴平行的直线

两点式

不能用此式

>2f"X上两个点

过(0,0)及与两坐标

。为直线的横截距

截距式xy1轴平行的直线不能用此

ahb为直线的纵截距

式

---—色分别

一般式Ax+By+C=OBABA、B不全为零

为斜率、横截距和纵截距

k-k

5.两条直线的夹角。当两直线的斜率占，&2都存在且占•T时，tan0=，~,

\+kxk2

当直线的斜率不存在时，可结合图形推断.另外还应留意到：“到角”公式与“夹角”公式的区分.

6.怎么推断两直线是否平行或垂直？推断两直线是否平行或垂直时，假设两直线的斜率都存

在，可以用斜率的关系来推断；假设直线的斜率不存在，那么必需用一般式的平行垂直条件来推

断.

(1)斜率存在且不重合的两条直线八：y=/x+6i，I2,y=k2x+b2^有以下结论:

①l、〃"k.2,且bi=bz

②/」/20Al•k2=-1

(2)对于直线Ax+Bu+a=0,12：A2x+B2y+C2=0.当4,A2,8”B2

都不为零时，有以下结论：

〜,A,B,

①/I〃/2<=>----=----G

AB]

②Z।_L/2AiA2^BiBz=0

AR

③八与八相交O」片」

A

2B2

ARC

④八与八重合=3=SL=±L

A-,B-,C]

7.点到直线的距离公式.

(1)一点P(邓,为)及一条直线/：Ax+8y+C=0,那么点P到直线/的距离

|Ax0+By0+CI

'/A2+B£

AV+B)>+C2之间的距离」/

⑵两平行直线八：Ax+B+C=0,Z2:=0dG-GI

y1JM+§2

8.确定圆方程须要有三个相互独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相

互转化及相互联系

(1)圆的标准方程：(x—a)2+(y—力2=/，其中(〃，b)是圆心坐标，r是圆的半径;

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为

E、wy/D2+E2-4F

~—),半径为v----------------.

22

二、疑难学问导析

1.直线与圆的位置关系的判定方法.

(1)方法一直线：Ax+By+C=0；圆：X2+y2+Dx+Ey+F=0.

Ax+By+C=O△>0o相交

辿J一元二次方程

，相切

x2+y2+Dx+Ey+F=0△=/?*-4ac

△<0=相离

⑵方法二直线：Ax+By-\-C=0；圆：(x—a/+(y—/?)2=，圆心(a,b)到直线的

距离为

N>ro相离

\Aa+Bb+C\

d=---,-------><d=ro相切

yiA1+B-

d<ro相交

2.两圆的位置关系的判定方法.

设两圆圆心分别为。1、。2,半径分别为厂1,〃2,|。1。2|为圆心距，那么两圆位置关系如下：

I01。2|>八+r2<=>两圆外离;

1010,|二八+52<=>两圆外切；

「1-〃2|〈|0102|〈厂1+r20两圆相交；

I0Q2l=|r「hlO两圆内切；

0<|0102|<|r-r2\O两圆内含.

三、经典例题导讲

［例1］直线1经过P(2,3),且在x,y轴上的截距相等，试求该直线方程.

错解：设直线方程为：？+2=1,又过P(2,3),...2+3=1,求得a=5

abab

直线方程为x+y-5=0.

错因：直线方程的截距式：匹+上=1的条件是：awo且bWO,此题忽视了a=/?=0这一情形.

ab

3-03

正解：在原解的根底上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:k=

2-02

・•・直线方程为y二'3x

2

3

综上可得:所求直线方程为x+y-5二0或尸.

2

［例2］动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(l,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.

错解：设动点P坐标为(x,y).由3国=(》—1)-+(y—3)-，

化简3|A：|=xJ-2x+l+y"-6y+9.

当x》0时得x-5x+y-6y+10=0.①

当x<0时得x2+x+y2-6y+10=0.②

错因：上述过程清晰点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用肯定值定义将方程分类

化简,但进一步探讨化简后的两个方程，配方后得

(x-1)、(y-3)2=?①和(x+1)2+(y-3)2=-1②

两个平方数之和不行能为负数,故方程②的状况不会出现.

正解：接前面的过程，：方程①化为(x-|)2+(y-3)2=Y,方程②化为(x+段)2+(y-3)?=-：,由

521

于两个平方数之和不行能为负数，故所求动点P的轨迹方程为：(x-^)2+(y-3)2=Y(x》0)

［例3］m是什么数时，关于x,y的方程(Zm'mT)x?+(m-m+2)y、m+2=0的图象表示一个圆？

错解：欲使方程Ax、Cy2+F=0表示一个圆，只要AXW0,

得2m'+mT=m2-m+2,BPm2+2m-3=0,解得mi=l,ni2=-3,

当m=l或m=-3时，x?和『项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆

错因：A=C,是Ax'CyMM)表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：

A=C#O且，＜0.

正解：欲使方程Ax2+C/+F=0表示一个圆，只要A=CW0,

得2m'+mT=m'-m+2,EPm2+2m-3z:0,解得mi=l,m2=-3,

⑴当m=l时,方程为2六+2/=-3不合题意，舍去.

(2)当m=-3时，方程为14x、14y2=l,即x2+y2^^,原方程的图形表示圆.

[例4]自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7

=0相切，求光线L所在的直线方程.

错解：设反射光线为L',由于L和L，关于x轴对称，L过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A'

(~3,-3),于是L'过A(-3,-3).

设『的斜率为k,那么设的方程为y-(-3)=k[x-(-3)]»即kx-y+3k-3=0,

圆方程即(x-2)?+(y-2)2=l,圆心。的坐标为(2,2),半径r=l

因「和圆相切，那么0到L'的距离等于半径r=l

|2k-2+3k-3||5k-5|

---------—-=]

即7k2+17k2+1

整理得12kJ25k+12=0

44

解得k=§L'的方程为y+3=另(x+3)

即4x-3y+3=0因L和1关于x轴对称

故L的方程为4x+3y+3=0.

错因：漏解

正解：设反射光线为L',由于L和L'关于x轴对称，1.过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点A'

(-3,-3),于是L'过A(-3,-3).

设L'的斜率为k,那么设的方程为y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0,

圆方程即(x-2)z+(y-2)z=l,圆心0的坐标为(2,2),半径r=l

因L'和圆相切，那么0到L'的距离等于半径r=l

|2k-2+3k-3|_|5k-5|

即7k2+17k2+1

整理得12k2-25k+12=0

43

解得k=—或k=—

34

43

V的方程为y+3=—(x+3);或y+3=—(x+3)。

34

即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0

因L和L'关于x轴对称

故L的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

[例5]求过直线x—2y+4=0和圆Y+/+2x-4y+l=0的交点，且满意以下条件之一的

圆的方程：

(1)过原点；(2)有最小面积.

解：设所求圆的方程是：x~+y2+2x—4y+1+A(x—2y+4)=0

即：x2+/+(2+A)x-2(2+/l)y+l+4/l=0

(1)因为圆过原点，所以1+42=0,即；1=一2

4

77

故所求圆的方程为：x2+/+-x--y=0.

42

(2)将圆系方程化为标准式，有：

(x+等)+。-2-力2=(卜+|)+：

2

当其半径最小时，圆的面积最小，此时4=-♦为所求.

5

故满意条件的圆的方程是(x+g)+(y—|)=g.

点评：(i)直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比拟便利；当然也可以待定系

数法。(2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.

[例6](06年辽宁理科)点A(X],yP，B(x2,y2)(凡々*0)是抛物线/=2px(p>0)上的

两个动点，0是坐标原点，向量OA08满意IOA+OBI=IQ4—QB|.设圆C的方程为

/+)2一(项+x2)x-(y]+>2)y=0

(1)证明线段AB是圆C的直径；

2A/5

(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为一^一时，求p的值.

解：(1)证明IOA+OB|=IOA-OBI,(04+08)2={OA-OB]

整理得：OAOB=0：.+y}y2=0

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的随意一点，那么

即(x-Xi)(x-x2)+(^-^)(y-y2)=0

22

整理得:x+y-(x,+x2)x-(y,+y2)y=0

故线段AB是圆C的直径.

(2)设圆C的圆心为C(x,y),那么

x,+x,

X=--------

2

-2

7

**M=2Pxi，y2-=2px2(/?>0)

22

,12—4P2

又•.•方士+%,2=°'$/=一%为

22

•__必必

・,yvv，2~2

4AP2

；xlx2#0,，y{y2WO

M》2=_4p2

%1+工21/2,2、1/2,2,cx1

X=—^=—(^1+>2)=—(^1+>2+2%必)一「必当

24P4P4P

=—(y2+2p2)

p

所以圆心的轨迹方程为V=px-2p-

设圆心C到直线无一2y=0的距离为d,那么

1,,

.。,I—(y-+2p-)-2yl

=|x_2y|=_p______________=2+/T2|

V5