高三综合数学试卷及答案

高三综合数学试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。1.若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是（）。A.m≥4B.m≤4C.m≥0D.m≤02.已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）。A.63B.77C.65D.703.若直线l：x+y+2=0与圆C：(x-1)^2+(y+1)^2=4相交于点A、B，则弦长|AB|为（）。A.2√2B.2√3C.2√5D.2√64.已知函数f(x)=sin(x+π/4)，若f(x_0)=1，则x_0的最小正周期为（）。A.2πB.πC.π/2D.π/45.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，若向量c=xa+yb，则|c|的最小值为（）。A.1B.√2C.√3D.26.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线的离心率为（）。A.√3B.√5C.2D.√67.已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x_0)=0，则x_0的值为（）。A.0B.1C.-1D.±√38.已知等差数列{an}的公差d≠0，若a_2+a_4+a_6=9，a_3+a_5+a_7=15，则数列{an}的通项公式为（）。A.an=nB.an=2n-1C.an=3n-2D.an=4n-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9.已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0的两个根为x_1，x_2，则|x_1-x_2|=________。10.已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F，点P(1,2)在抛物线上，过点P作抛物线的切线l，则切线l的方程为________。11.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，E为DD'的中点，F为A'B'的中点，则异面直线AE与BF所成的角的余弦值为________。12.已知函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1，若f'(x_0)=0，则x_0的值为________。三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13.（本题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x，求证：函数f(x)在R上是增函数。证明：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)>0，解得x>1或x<-1。因此，函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增。又因为f'(-1)=f'(1)=0，所以函数f(x)在R上是增函数。14.（本题满分10分）已知数列{an}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求数列{an}的通项公式。解：首先将递推关系式变形为a_n+1+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_n+1=2b_n，即数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列。因此，b_n=2^n，即a_n+1=2^n，所以a_n=2^n-1。15.（本题满分10分）已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√2/2，且过点(1,√2)，求椭圆C的方程。解：已知离心率e=c/a=√2/2，又因为a^2=b^2+c^2，所以a^2=2b^2。将点(1,√2)代入椭圆方程，得到1/a^2+2/b^2=1。联立以上方程，解得a^2=4，b^2=2，所以椭圆C的方程为x^2/4+y^2/2=1。16.（本题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x，求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。当x∈[-2,-1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,2]时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增。又因为f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2，所以函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2，最小值为-2。四、附加题：本题共1小题，共10分。17.（本题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x，求函数f(x)在区间[-2,2]上的值域。解：由第16题可知，函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为2，最小值为-2。又因为f(0)=0，所以函数f(x)在区间[-2,2]上的值域为[-2,2]。答案：1.A2.A3.B4.A5.B6.A7.D8.B9.210.y-