2025届海南省海口市名校高三（实验班）第一次模拟数学试题试卷

2025届海南省海口市名校高三（实验班）第一次模拟数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前项和为，，，则（）A．25 B．32 C．35 D．402．已知，则下列说法中正确的是（）A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是假命题3．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．设全集，集合，，则（）A． B． C． D．5．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A． B．C． D．6．复数的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（）附：若，则，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95448．设等差数列的前n项和为，且，，则()A．9 B．12 C． D．9．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．10．已知等差数列的前n项和为，，则A．3 B．4 C．5 D．611．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的()条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要12．若，则下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.14．已知集合，，则________.15．若实数满足不等式组，则的最小值是___16．的展开式中的常数项为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.18．（12分）已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．19．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.20．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证:.21．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02422．（10分）的内角的对边分别为，若（1）求角的大小（2）若，求的周长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，∴，即有．故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．2．D【解析】

举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】当时，故命题为假命题；记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；∴是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．3．C【解析】

化简得到，得到答案.【详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.4．B【解析】

可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】，，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.5．D【解析】

由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝lnx相切时，k＝；结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．6．C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.7．C【解析】

根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，，，则，，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.8．A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【详解】设公差为d，则解得，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.9．C【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.10．C【解析】

方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．方法二：因为，所以，则.故选C．11．B【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若，则可得，必要性成立.故选：B【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.12．B【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.14．【解析】

利用交集定义直接求解．【详解】解：集合奇数，偶数，．故答案为：．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．-1【解析】作出可行域，如图：由得,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值，A（1,0）所以-1故答案为-116．【解析】

写出展开式的通项公式，考虑当的指数为零时，对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为：，令，所以，所以常数项为.

故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论，第（Ⅲ）问，构造函数=（），利用导数判断函数的单调性，从而求解a的值.试题解析：（Ⅰ）<0，在内单调递减.由=0有.当时，<0，单调递减；当时，＞0，单调递增.（Ⅱ）令=，则=.当时，＞0，所以，从而=＞0.（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，＞0.当，时，=.故当＞在区间内恒成立时，必有.当时，＞1.由（Ⅰ）有,而，所以此时＞在区间内不恒成立.当时，令=（）.当时，=.因此，在区间单调递增.又因为=0，所以当时，=＞0，即＞恒成立.综上，.【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．18．（1）（2）存在，或．【解析】

（1）由得看成到两定点的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线的方程.（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线的斜率存在时，设直线点斜式方程，由，可得，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.【详解】解：设，由，，可得，即为，由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆，由，可得，可得曲线的方程为；假设存在过点的直线l符合题意．当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点，不成立；当直线的斜率存在时，设方程为，由，可得，即，可得，化为，由可得，由在椭圆内，可得直线与椭圆相交，，则化为，即为，解得，所以存在直线符合题意，且方程为或．【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题.（1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.19．【解析】

将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.【详解】因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为，又因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为，联立方程,解得或，因为，所以舍去，故点的直角坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【详解】（1）∵，∴.∵，，，∴，∴，∴.（2）∵，，即两边开平方得.同理可得，.三式相加，得.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.21．(1)；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解析】

（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次