2025年湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学高考数学模拟试卷（三）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学高考数学模拟试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−3≤x≤2}，B={x|x2+x−2>0}，则A∩B=A.(1,2] B.(−2,1)

C.[−3,−2)∪(1,2] D.(−∞,−2)∪(1,+∞)2.已知复数z满足(3−i)z=4+3i3，则|z|=(

)A.52 B.102 C.3.已知随机变量X～N(5,σ2)，且P(3<x<7)=m，P(4<x<6)=n，则P(3<x<6)的值为A.m+n2 B.n−m2 C.1−m24.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(c−a)A.24

B.18

C.−18

D.−245.已知抛物线E：y2=8x的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和E分别交于A，B两点，且∠AFB=60°，则|AB|=(

)A.43 B.42 C.6.已知0<α<π,0<β<π2，且sinα+cosα=2105，A.3 B.2 C.13 D.7.已知实数a，b满足32b−a+43a=1A.log32 B.2log32 8.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a−bb=sinCsinA+sinB，则tanAtanBA.(0,1) B.(1,3) C.(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.C9029+C9128+⋯+C99=39

B.若10.已知函数f(x)=sinωx⋅sin2(ωxA.若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于点(−5π8, 0)对称

B.若f(x)的图象关于直线x=π2对称，则ω的值可能为52

C.若将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的函数是偶函数，则ω的最小值为34

D.11.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(x0,y0)A.E的图象关于原点对称

B.|OP|≥1

C.E上有无数个整点(整点指横、纵坐标均为整数的点)

D.|x0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=4x−1,x≥2ax+3,x<2，在R上单调递增，则13.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，AD=CD=CB=1，将△ACD沿AC折起，连接BD，得到三棱锥D−ABC，则三棱锥D−ABC体积的最大值为

，此时该三棱锥的外接球的表面积为

．14.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，点P为E的右支上的一点，直线PF被圆O：x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

Cℎat GPT(恰匹题)(全名：Cℎat Generative Pre−trained Transformer)，是OPENAI研发的聊天机器人程序.Cℎat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务.为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的2×2列联表：青年非青年合计喜欢18040220不喜欢12060180合计300100400(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？

(2)从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量X为这3人中喜欢该程序的人数，求X的分布列和数学期望．

参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)α0.050.010.0050.001x3.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=BC=AA1=2，A1B=17.(本小题15分)

已知函数f(x)=axlnx(a≠0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a=1，求证：f(x)>−5x2+2x−18.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且过点(−3,32)．

(1)求E的方程；

(2)过点F且不垂直于坐标轴的直线l交E于M，N两点，记E在M，N两点处的切线交于点P．

(Ⅰ)试判断点P的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由；19.(本小题17分)

若数列{cn}共有m(m∈N∗,m≥3)项，且对任意的i(i∈N∗,i≤m)，都有cicm+1−i=S(S为常数，且S>0)，则称数列{cn}是S关于m的一个积对称数列.已知数列{an}是S关于m的一个积对称数列．

(1)若m=5，a1=1，a2=2，a3=4，求a4和a5的值；参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.BC

11.BD

12.(0, 113.312

14.85或815.解：(1)零假设H0：是否喜欢该程序与年龄关联，

则χ2=400×(180×60−40×120)2(180+40)×(120+60)×(180+120)×(40+60)=40033≈12.121>10.828=x0.001，

依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否喜欢该程序与年龄有关联；

(2)由分层抽样的定义可知，抽取的5人中喜欢该程序的人数为5×180180+120=3人，

所以不喜欢该程序的人数为2人，

X123P331所以E(X)=1×316.解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，OB，

如图所示，

因为AB=AC=BC=2，O是AC的中点，

所以BO⊥AC，且BO=3，

又平面ACC1A1⊥平面ABC，

且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，

所以BO⊥平面ACC1A1，

又A1O⊂平面ACC1A1，所以BO⊥A1O，

由A1B=6, BO=3，得A1O=3，

因为AO=1, AA1=2, A1O=3，所以AA12=AO2+A1O2，所以AC⊥A1O，

又AC⊥BO，A1O∩BO=O，A1O，BO⊂平面A1OB，所以AC⊥平面A1OB，

又A1B⊂平面A1OB，所以AC⊥A1B，

又在三棱柱A1B1C1中，AB=AA1=2，

所以四边形ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，

又AB1∩AC=A，A17.解：(1)f(x)=axlnx，

由题意知f′(x)=a(1+lnx)，

当a>0时，令f′(x)>0，解得x>1e，令f′(x)<0，解得0<x<1e，

所以f(x)在(0, 1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调增；

当a<0时，令f′(x)>0，解得0<x<1e，令f′(x)<0，解得x>1e，

所以f(x)在(0, 1e)上单调递增，在(1e,+∞)上单调递减，

综上，当a>0时，f(x)在(0, 1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调增；

当a<0时，f(x)在(0, 1e)上单调递增，在(1e,+∞)上单调递减，

(2)证明：若a=1，f(x)=xlnx，f′(x)=1+lnx，

当x∈(0,1e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1e,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)的最小值为f(1e)=−1e．

设函数ℎ(x)=−5x2+2x−35=−5(x−15)2−25，

根据二次函数的性质可知，ℎ(x)在(0,+∞)上的最大值为ℎ(15)=−25<−1e．

故f(x)>−5x2+2x−35．

18.解：(1)由题意：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，

且过点(−3,32)．

知(−3)2a2+(32)2b2=1a2=b2+1，解得a=2, b=3，

所以E的方程为x24+y23=1．

(2)设直线MN的方程为y=k(x−1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

19.解：(1)由题意：若数列{cn}共有m(m∈N∗,m≥3)项，

且对任意的i(i∈N∗,i≤m)，都有cicm+1−i=