2025年普通高等学校招生“圆梦杯”高三统一模拟考试（七）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年普通高等学校招生“圆梦杯”高三统一模拟考试（七）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z的实部为1，则z+z=(

)A.1 B.2 C.i D.2i2.抛物线x2=−2y的准线方程为(

)A.x=12 B.x=1 C.y=13.设向量a=x,2，b=1,3.若a与bA.6 B.−6 C.23 D.4.已知函数fx=logaxa>0,a≠1，若A.e2 B.e C.e 5.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为(

)A.320 B.1720 C.3106.已知函数fx=xlnx+a在区间1,2单调递增，则aA.−1 B.−2 C.−3 D.−47.已知i,j∈N∗，记Sn为等比数列an的前n项和.设命题p:a2i+1<0；命题q:SA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx的图像关于点2,0对称.设集合A={a∣任意x∈R,fx+ga>0}，A.A∩C=A B.A∩C=C C.B∩C=B D.B∩C=C二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知两组样本数据，第一组x1,x2,x3,A.这两组数据的平均数一定相等 B.这两组数据的极差一定相等

C.这两组数据的第90百分位数一定相等 D.这两组数据的众数一定相等10.已知椭圆C:x24+y23=1的左顶点为A，右焦点为F.点M在线段AO(O为坐标原点)上，且C与圆M有且只有一个公共点A，点Px0A.OP的最大值为2 B.PF4−x0为定值

C.圆M半径的最大值为1 D.11.设a，b为正数，若函数fx=sin2x−12A.ab−ba有最大值 B.ab−ba有最小值

C.a2b的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为

．13.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心.现规划在半圆弧岸边取点C，D，满足∠AOC=∠COD，在扇形AOC和扇形BOD区域内种植荷花，在扇形COD区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道AC，BD，CD作为观光路线，则当AC+BD+CD最大时，sin∠BOD=

．

14.如图，由9个单位小方格组成的3×3方格表中共有16个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意4个格点构成矩形的4个顶点，则这4点中至多有2点被染成灰色.则被染为灰色的格点数目最多为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，E，F分别是PB，AC的中点．(1)证明：EF//平面PCD；(2)求二面角C−EF−B的正弦值．16.(本小题15分小明连续投篮两次，若第一次投中，则第二次也投中的概率为0.6，若第一次未投中，则第二次投中的概率为0.5，已知第一次投中的概率为0.7．(1)记小明投中的次数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；(2)求在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率．17.(本小题15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0(1)求C的标准方程；(2)过F2的直线交C于M，N两点，线段AM与线段F1N交于点R，若▵F1RM18.(本小题17分)已知函数fx=a−x(1)当a=0时，求fx(2)证明：fx(3)若存在开区间I，使得fx∈I，当且仅当x∈I，求a19.(本小题17分)若互不相交的非空集合A1,A2,…,Ak满足：A1∪(1)写出一个3,7集合对；(2)若bi+aj=a1i=1,2,3,j∈2,3,4,5,6，cs+(3)若数列xn满足x2=5，xn=nxn−1参考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.D

6.A

7.A

8.A

9.BC

10.ABD

11.BC

12.313.π3

或6014.6

15.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，F是AC的中点，连接DF，∴B，F，D三点共线，且F是BD的中点，又E是PB的中点，∴EF//PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF//平面PCD．(2)如图建系，易得：A0,0,0设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，又EB由n⋅EB令x=2，可得：y=2,z=2，所以n=(2,2,2)设平面CEF的法向量为m=(a,b,c)，FC由由m⋅FC令a=2，可得：b=−2,c=−2，所以m=设二面角C−EF−B的大小为θ，所以cosθ=所以sinθ=所以二面角C−EF−B的正弦值是2

16.解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，则PX=0=0.3×0.5=0.15，PX=1所以，随机变量X的分布列如下表所示：X012P0.150.430.42故EX(2)记事件A:小明在第一次投中，事件B:小明在第二次投中，则PA=0.7，PA=0.3，则PAB由全概率公式可得PB由条件概率公式可得PA所以，在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为1419

17.解：(1)因为AF2⊥F1F2且A所以AF根据双曲线的定义有AF1−所以双曲线C:x(2)根据题意过F22,0的直线斜率为0显然不满足题意，可设过F2由x=my+2当m≠±33设Mx1,所以MN=因为S▵F1RM=S▵ARN，所以S则有d=−2−21+所以MN=

18.解：(1)当a=0时，f(x)=(−x)ex+x则f′(x)=−ex−x当x<0时，x+1<1,0<ex<1所以f′(x)>0，f(x)在−∞,0单调递增；当x>0时，x+1>1,ex>1所以f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)单调递减；故f(x)(2)函数f(x)=(a−x)ex+x则f′(x)=−ex+(a−x)得a=−1ex则φ(x)在R上单调递增，且φ(0)=0，当x→−∞,φ(x)→−∞；当x→+∞,φ(x)→+∞；故对任意a∈R，直线y=a与函数φ(x)=−1ex当x<x0时，φ(x)<φ(x即f′(x)=(a−x−1)ex+1>0，则f(x)当x>x0时，φ(x)>φ(x即f′(x)=(a−x−1)ex+1<0，则f(x)故f(x)存在唯一极大值点x0

(3)f(x)=(a−x)ex+x,x∈R由(2)知，f(x)在(−∞,x0)则f(x)max=f(又当x→−∞,f(x)→−∞；x→+∞,f(x)→−∞．①假设存在区间I=(m,n)，其中m<n，使得fx∈I，当且仅当则有m<f(x0)，下面讨论n若m<n≤f(x0)，如图，fx∈I

由(m,x所以m<f(x0)<n

此时有f(m)=m=f(n)，由f(m)=a−mem由f(n)=m=a−nen可得en=1，故解得故若存在区间I，使得fx∈I，当且仅当则m=a,n=0，即区间I=(a,0)，所以a<0．

②下面验证：当a<0时，条件n>f(x0)由f(x)=(a−x)e由x0为f(x)的极大值点，则f′(x0可得a−x0e构造函数g(x)=eg(x)在−∞,0上单调递增，则g(x)<g(0)=0，即a<x<0时，ex−1+x<0恒成立，所以ex所以有a<f(x)≤f(x0)<0，且当a<f(x)<0故当a<0时，存在开区间I=(a,0)，使得fx∈(a,0)，当且仅当综上所述，a的取值范围为−∞,0．

19.解：(1)({1,3},{2,5},{4,6,7})为符合题意的一个(3,7)集合对，因为A1因为1+3=4,2+5=7,4+6=10,4+7=11,6+7=13，则对任意a,b∈Amm=1,2,3故上述集合对满足题意．(2)记aj1,aj由题意得b易证a−b∉Am，(若a−b∈A而(a−b)+b=a∈Am，矛盾，故而b1,b同理记bt1,bt则c不妨c1>c2,b3b1,b则c1,c2∈A3而c1−c2=而b3−b则假设不成立，则不存在(3,n)集合对A1使得a1,a2,⋯,(3)1∘当n=2时，x2由抽屉原理知A1,A2其中一个集合至少有3个元素，不妨记若A2中有3个元素，记A则a2(1)−a即a2(1)−a而a而a2(2)∈{1,2,3,4,