2024-2025学年湖南省耒阳市高一下册3月联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖南省耒阳市高一下学期3月联考数学检测试题注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册（30%），第二册第六章（70%）.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果.【详解】由题意得，.故选：B.2.已知集合，则集合中的元素个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】C【分析】根据指数函数与对数函数的性质，结合交集的概念可得结果.【详解】由题意得，，∵对数函数在上为增函数，∴，即，∴，∴集合中的元素个数是4.故选：C.3.已知平面向量，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用向量垂直时数量积为0，结合对数的运算性质可得结果.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：B.4.已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况.【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即，即，解得；当共线时，，解得，此时满足，此时两向量夹角为，于是的夹角为锐角时，.故选：A5.已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据方位角可得，利用余弦定理计算可得结果.【详解】由题意得，，.由余弦定理得，，∴.故选：C.6.某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（）（参考数据：）A.4 B.5 C.7 D.8【正确答案】B【分析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解.【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，即，所以，所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元.故选：B7.若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（）A. B.40 C.64 D.【正确答案】D【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值.【详解】因为，且向量与向量的夹角为，设，其中，则，其中，因为，当时，有最大值.故选：D8.已知，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【分析】将原式化为，再利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为，当且仅当，即时，等号成立，又因为，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为4，此时.故选：D.关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量和均不共线，且，则向量可以是（）A.B.C.D.【正确答案】AC【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果.【详解】由题意得，不共线.A.∵，∴不共线，A正确.B.∵，∴，故为共线向量，B错误.C.∵，∴不共线，C正确.D.∵，∴，故为共线向量，D错误.故选：AC.10.若函数，则下列判断正确的是（）A.是减函数B.在上的最小值为C.若均为正整数，则为有理数D.若在上有零点，则的取值范围为【正确答案】BCD【分析】由函数单调性性质即可判断AB，代入计算即可判断C，由在上有零点可得，即可判断D.【详解】对于A，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增，故A错误；对于B，由A可知在单调递增，则，故B正确；对于C，因为，且均为正整数，则为有理数，故C正确；对于D，由A可知，在单调递增，由在上有零点，可得，即，解得，所以的取值范围为，故D正确；故选：BCD11.已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A.B.的图象关于直线对称C.的值域为D.上单调递减【正确答案】ABD【分析】首先得到，即可求出函数的最小正周期，求出，即可判断A，再由判断B，求出函数在上的值域，即可判断C，结合函数解析式及正弦函数的性质判断D.【详解】对于A：因为因为函数的最小正周期为；则函数的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以，则，此时，则，符合题意，故A正确；对于B：因为，则，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可，当，则，此时，则，所以，所以；即的值域为，故C错误；对于D：当时，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确.

故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________.【正确答案】【分析】利用投影向量的概念求解即可.【详解】∵向量，，则，，所以在向量方向上的投影向量为.故答案为.13.在中，，则__________.【正确答案】【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，再由向量的数量积运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，则，所以，即故14.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，__________.【正确答案】【分析】首先根据函数的奇偶性可得，结合可知函数是周期为4的周期函数.再根据当时的函数解析式，利用周期性和奇偶性即可求解.【详解】∵函数是定义在上的偶函数，.又，.以代替可得，∴函数是周期为4的周期函数.当时，.∵当时，，∴.由周期性可得，.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量满足.（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求向量的坐标.【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为，且向量的夹角为，则，则.【小问2详解】设，因为，且，则，解得或，所以或.16.如图，在梯形中，，.（1）若，求；（2）若，求外接圆的半径；（3）若，且，证明：只有一解.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得；（2）首先求出，再由正弦定理计算可得；（3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出.【小问1详解】在中由正弦定理，即，所以；【小问2详解】因为，所以，又，设外接圆的半径为，则，所以，即外接圆的半径为；【小问3详解】因为，，且，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，在中由余弦定理，所以，所以只有一解.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.①若，求的值；②若对任意的恒成立，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）①；②【分析】（1）根据得，利用结合函数周期得，由此可得函数解析式.（2）①求出函数的解析式，利用二倍角公式及同角三角函数的关系可得，的值，根据两角和的余弦公式可得结果.②求出的值域，条件转化为，由此可得结果.【小问1详解】由得，，∵，∴，.由得，，∴，故，设函数的最小正周期为，由图象得，，∴，故，∴.【小问2详解】①由题意得，.∵，∴，，∴.②∵，∴，∴，故.∵对任意的恒成立，∴恒成立，即，∴，即，∴的取值范围是.18.在平行四边形中，与交于点.（1）若，求；（2）已知.①若为的重心，求；②若为线段上一动点，求的最小值.【正确答案】（1），（2）①；②【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）①以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律计算可得；②设，以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得.【小问1详解】依题意，设，因为，所以，因为、、三点共线，设，因、不共线，所以，解得，所以，又，所以；【小问2详解】①因为，所以，因为为的重心，所以，所以.②因为，又为线段上一动点，设，所以，，所以，所以当时取得最小值.19.在锐角三角形中，角的对边分别为，已知.（1）比较与的大小；（2）求的取值范围；（3）若，且，求的内切圆半径.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用反证法来进行推理即可得到结论；（2）利用等腰三角形三线合一，转化为直角三角形中余弦函数的边角关系，即可求解；（3）利用等腰三角形中角的关系去求解关于的三次方程，再用等面积法求内切圆半径即可.【小问1详解】由，可得：,,假设，在锐角三角形中，结合余弦函数