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文档简介

2024-2025学年河南省安阳市高三下学期调研考试数学检测试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.若是纯虚数,其中,则()A.或 B.C. D.且【正确答案】C【分析】根据纯虚数定义,列出方程组,求解即可.【详解】因为是纯虚数,其中,所以,解得.故选:C.2.某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布,按照,,,的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分,则他的等级是()附:,,.A.优秀 B.良好 C.合格 D.基本合格【正确答案】B【分析】利用正态分布的性质即可求解.【详解】由题得,,所以,,,,因为,,所以,根据比例成绩大于分为优秀,因为,根据比例成绩在到之间的为良好,,根据比例成绩在到之间的为合格,,根据比例成绩小于分为基本合格,因为小张的数学成绩为分,则他的等级是良好.故选:B3.近年来,家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层,已知臭氧含量与时间(单位:年)的关系为,其中是臭氧的初始含量,是自然对数的底数.按照此关系推算,当臭氧含量为初始含量的时,的值约为()(参考数据:)A.305 B.483 C.717 D.879【正确答案】C【分析】根据题意列出方程,再应用指对数转换计算求解.【详解】因为臭氧含量与时间(单位:年)的关系为,所以当臭氧含量为初始含量的时,得,计算得,化简得,所以.故选:C.4.若函数,则不等式的解集为()A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式即可.【详解】因,所以,又因为定义域为关于原点对称,所以是奇函数,由于,可知函数在定义域上单调递减,所以即,即,则,该不等式组无解,所以解集为.故选:D.5.已知数列是递增数列,且,则的取值范围是()A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增,然后建立不等式组,解得的取值范围.【详解】由,数列是递增数列,得,解得,所以a的取值范围是.故选:C6.已知正方体的棱长为2,平面截正方体所得的图形为六边形,设该六边形的周长为,且,则()A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据正方体几何性质,结合线面垂直的判定可得平面,进而可得平面平面,即可求解.【详解】连接,由于平面,平面,故,又平面,故平面,又平面,故,,则,同理可得,平面,故平面,由于平面,故平面平面,平面与平面的交线为,平面与平面的交线为,故,同理可得故平面如图阴影部分,,同理可得,故六边形周长为定值,所以B正确.故选:B7.已知函数在时满足恒成立,且在区间内,仅存在三个数,,,使得,则()A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先求出,根据恒成立,得到,不妨取,画出图象,数形结合,利用对称性得到,求出答案.【详解】时,,令,则当时,,故要想在时满足恒成立,需满足,不妨取,,,画出在上的图象,如下:由图象可知,,,则,故,两式相加得,所以.故选:C8.已知抛物线,过点作的两条切线,切点分别为,,则()A. B.C. D.【正确答案】B【分析】设出切线方程,利用判别式为求出切线斜率,进而得到切点坐标,再利用导数的几何意义得到,,最后利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题意得切线斜率存在,设过点的的切线方程为,即,与联立,消去得,故,即,设,为的两个根,由韦达定理得,,设直线,的斜率分别为,,,,因为,所以,则,故,,则,,得到,,,由两点间距离公式得,,,,,故B正确.故选:B.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知向量,,则()A.若,则B.若,则C.若取得最小值,则D.若,则在上的投影向量为【正确答案】ACD【分析】根据向量垂直得到数量积为0,可求,判断A的真假;根据向量共线可求,判断B的真假;问题转化为两向量方向相反,可求判断C的真假;根据投影向量的求法求投影向量,判断D的真假.【详解】对于A,若,则,则,所以A正确;对于B,若,则,所以,所以B错误:对于C,取得最小值时,,共线反向,则,解得,则,所以C正确;对于D,若,则,所以在上的投影向量为,所以D正确.故选:ACD10.已知随机事件、满足:,,则下列选项正确的是()A.若,则与相互独立 B.若与相互独立,则C.若与互斥,则 D.若,则【正确答案】ACD【分析】由独立事件的乘法公式可得A正确,B错误;由互斥事件的加法公式可得C正确;由全概率公式可得D正确.【详解】对于A,,故与相互独立,即A正确;对于B,若与相互独立,则与也相互独立,则,故B错误;对于C,若与互斥,则,,故C正确;对于D,由全概率公式可得,所以,故D正确;故选:ACD.11.如图所示,中,,,,在边上,在边上,且为的角平分线,,则()A.B.的面积为C.D.若点在外接圆上,则的最大值为【正确答案】BCD【分析】利用余弦定理计算,由直角三角形计算判断A,根据面积公式计算三角形的面积判断B,利用正弦定理计算判断C;设,用表示出,,得出关于的三角函数,从而得到的最大值判断D.【详解】在三角形中,由余弦定理,,故,故正确;在中,,故错误;由余弦定理可知:,,平分,,,在三角形中,由正弦定理可得:,故,故正确;,,为的外接圆的直径,故的外接圆的半径为1,显然当取得最大值时,在弧上,故,设,则,,,,,,其中,,当时,取得最大值,故正确.故选:BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.某区教育局在全市的小学生、初中生和高中生中做了一项“感恩父母”的网络问卷调查,分别回收到的有效问卷数如下:小学10000份,初中12000份,高中8000份.现从中运用分层随机抽样的方法抽取900份样卷作进一步的统计,则抽取的高中生问卷份数为__________.【正确答案】240【分析】根据分层抽样计算.【详解】抽取的高中生问卷份数为.故240.13.已知数列是首项为,公差为d的等差数列,其前n项和为,若直线与圆的两个交点关于直线对称,则数列的前100项和为__.【正确答案】【分析】根据圆的对称性得到经过,与垂直,得到,,得到,裂项相消求和,得到答案.【详解】由对称性可知经过,故,解得,且与垂直,其中的斜率为,故,所以,,所以,则.故14.已知,则的大小关系为__________.【正确答案】【分析】由,根据数值的特点,构造函数和,再利用函数的单调性,赋值后比较函数值的大小.【详解】由,即,令,则在上恒成立,故在上单调递增,则有,即,令,则在上恒成立,故在上单调递减,则有,即,故.故利用导数比较大小问题方法点睛:根据已知中式子的外形结构特征与导数结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用该函数的性质解决问题.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中,内角,,的对边分别为,,,,.(1)若,求,;(2)求的取值范围.注.【正确答案】(1),(2)【分析】(1)先利用余弦定理求出三角形的边、的值,再通过正弦定理将边转化为角,(2)利用三角函数的和角公式化简式子,最后根据角的范围,借助三角函数求出式子的取值范围.【小问1详解】因为,,,由余弦定理得,所以,解得,所以.【小问2详解】因为,所以,,所以,因为,所以,所以,即,即的取值范围为16.已知函数在点处的切线方程为.(1)求的值;(2)求函数在的最大值和最小值;(3)若方程恰有两个不等的实根,求的取值范围.【正确答案】(1)(2)最大值为最小值为(3)【分析】(1)由函数在点处的切线方程为可得,再进行求导,令解方程可得.(2)令导函数求解分析导函数的符号,可知函数的单调区间,再比较极值和区间端点函数值的大小可得最值.(3)方程恰有两个不等实根,转化为图像和有两个交点,根据的单调性和变化情况,可求得.【小问1详解】,因为在点处的切线方程为所以有所以解得【小问2详解】由(1)可得当或单调递增单调递减单调递增所以在和上单调递增,上单调递减,又因为计算可得,所以在的最大值为,最小值为【小问3详解】由(2)可知,的极大值为,极小值为当所以当时,.所以当且仅当时,方程恰有两个不等实根.17.如图1,在平行四边形中,,,,将沿折起到位置,使得平面平面,如图2.图1图2(1)证明:平面;(2)在线段上是否存在点M,使得二面角的大小为45°?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)存在,【分析】(1)利用勾股定理证明线线垂直,再利用面面垂直的性质定理证明线面垂直即可得;(2)建立适当空间直角坐标系,结合空间向量的运算,即可求面面角的余弦值.【小问1详解】在中,因为,,,由余弦定理,得,所以,所以,所以,所以,又因为平面平面,平面平面平面,所以平面;【小问2详解】因为,所以,又因为平面平面,平面平面平面,所以平面,又因为平面,所以,即,,两两垂直,以为原点,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系如图,则,假设点存在,设,则,,,设平面的一个法向量为,则,取,可得,又平面的一个法向量为,假设在线段上存在点,使得二面角的大小为,则,解得,所以点存在,且点是线段的中点,即.18.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为(1)求椭圆C的标准方程(2)直线与椭圆C交于P、Q两点,A,B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为①求四边形APBQ的面积的最大值②设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,判断的值是否为常数,并说明理由.【正确答案】(1);(2)①,②是常数,理由见解析.【分析】(1)设椭圆的方程为,由题可得,再结合,即可求得,从而求得椭圆的标准方程;(2)①设点、,联立,整理得:,四边形的面,而易求,代入韦达定理即可求得的表达式,从而求得的最大值;②直线的斜率,直线的斜率,代入韦达定理化简整理可得的值为常数.【详解】(1)设椭圆的方程为.由题意可得,解得,所以椭圆的标准方程为;(2)①由(1)可求得点、的坐标为,,则,设直线的方程为,设点、,联立,整理得:,由,可得.由韦达定理知:,,四边形面积,故当时,;②由题意知,直线的斜率,直线的斜率,则.所以的值为常数.方法点睛:本题考查求椭圆的标准方程,及椭圆中最值,定值问题,圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略:(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.19.甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏,规则如下:每人的初始积分均为0分,掷1枚骰子1次为一轮,在每轮游戏中,从甲、乙两人中随机选一人掷骰子,且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数小于3时,掷骰子的人积2分,否则此人积1分,未掷骰子的人本轮积0分,然后进行下一轮游戏.已知每轮掷骰子的结果相互独立.(1)求经过4轮游戏,甲的累计积分为4分的概率;(2)经商议,甲、乙决定修改游戏规则,具体如下:甲、乙轮流掷骰子,谁掷谁积分,当骰子朝上的点数不小于3时,积2分,否则积1分,规定第一次由甲掷.记两人累计积分之和为的概率为(i)证明:为等比数列;(ⅱ)求的通项公式.【正确答案】(1);(2)(i)证明见解析;(ⅱ).【分析】(1)求出甲每轮积分为0,1,2分的概率,再将所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和,利用概率的加法、乘法公式列式计算即得;(2)(i)根据给定条件,利用条件概率、全概率公式列式,再利用等比数列定义推理即得;(ⅱ)利用累加法求出.【小问1详解】甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分,记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为,则

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