2024-2025学年湖南省长沙市高二下册阶段检测数学试卷（附解析）

2024-2025学年湖南省长沙市高二下学期阶段检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|1≤x<5}，N={x|x2−x<2}，则M∩N=A.{x|−1<x<2}B.{x|−1<x<5}C.{x|1≤x<2}D.{x|1≤x<5}2.已知复数z=1−i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则|1z|的值为A.1 B.22 C.123.直线a+1x+3y+3=0与直线x+a−1y+1=0平行，则实数a的值为A.2 B.12 C.−2 D.2或4.已知向量a，b=(1,−1)满足a⊥b，(a−A.3 B.2 C.2 5.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为(

)A.37.5 B.38 C.39 D.406.已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为1,3,4，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为3,4,6，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件A=“摸到的两个小球标号相同”，事件B=“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则(

)A.事件A和B相等B.事件A和B互相对立C.事件A和B相互独立D.事件A和B互斥7.当动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的体对角线AA.π6,π4 B.π6,8.已知点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F1A.2 B.22 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a=(1,−1,1)是直线l1的一个方向向量，b=(2,2,−2)是直线l2A.a⋅b=(2,−2,−2)B.l1/​/l2C.l110.下列说法正确的是(

)A.若ac2≥bc2，则a≥bB.若a>b>c，则1b−c>1a−c

C.“a+2023是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.下列各组函数中，是相同函数的是(

)A.f(x)=x2，x∈{−1,0,1}与g(x)=0,x=0,1,x=±1

B.f(x)=x⋅|x|与g(x)=x2,x≥0,−x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l:kx−y+4−4k=0与曲线y=−x2+2x有一个公共点，则实数k13.点A(1,2,1)，B(3,3,2)，C(λ+1,4,3)，若AB,AC的夹角为锐角，则λ的取值范围为

．14.已知F1,F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线l:a−1y=(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．16.(本小题15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)最小值为(1)求实数A，ω的值；(2)当x∈[0,π2]时，求函数17.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=1，AD=PA=2．(1)求PC与AE所成角的大小；(2)求PC与平而ACE所成角的正弦值．18.(本小题17分)在▵ABC中，内角A，B，C

所对的边分别为a，b，c，且b1+cos(1)求角C；(2)若c=23，且1sinA19.(本小题17分)杭州第19届亚运会是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办.某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品.生产该款产品的固定成本为4万元，每生产x万件，需另投入成本p(x)万元.当产量不足6万件时，p(x)=12x2+x;当产量不小于6万件时，p(x)=7x+(1)求该款产品销售利润y(万元)关于产量x(万件)的函数关系式;(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大?

答案和解析1.【正确答案】C

解：集合M={x|1≤x<5}，

N={x|x2−x<2}={x|−1<x<2}，

所以M∩N={x|1≤x<2}．

2.【正确答案】B

解：

复数z=1−i，则z=1+i，

则1z=11+i=1−i1+i1−i3.【正确答案】C

解：当直线

a+1x+3y+3=0

与直线

x+a−1y+1=0

平行时，

(a+1)(a−1)=3

，解得

当

a=2

时，直线

3x+3y+3=0

与直线

x+y+1=0

重合，不符合题意，舍去；当

a=−2

时，直线

−x+3y+3=0

，即

x−3y−3=0

与直线

x−3y+1=0

平行，所以实数

a

的值为

−2

．故选：C4.【正确答案】C

解：由题设可知|b|=2，a⋅b=0，

故(a−5.【正确答案】C

解：将8场比赛得分从小到大排列为：

25，29，30，32，37，38，40，42，

75%×8=6，

故这组数据的第75百分位数为38+402=39．

故选：6.【正确答案】D

解：用a,b每次取球的结果，a,b分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号，由题意可知：样本空间Ω=1,3事件A=3,3,4,4对于选项A：因为A≠B，所以事件A和B不相等，故A错误；对于选项B、D：因为事件AB=⌀,A∪B=1,4所以事件A和B互斥，事件A和B不互相对立，故B错误，D正确；对于选项C：因为nΩ则PA显然PAB≠PAPB，所以事件A故选：D．7.【正确答案】B

解：设BP与AD1所成的角为θ，

以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，C(1,0,0)，A1(0,1,1)，C∴AD1=BC1设CP=λCA则BP=BC+λ∴cosθ=|BC1→∴θ∈[π故选B．8.【正确答案】B

解：如图所示：

不妨设m=P则PF1⋅P两式相除可得12tanθ又θ∈0,π所以mn=2由椭圆的定义，得2a=m+n≥2mn，

(当且仅当m=n=2时等号成立)，

所以所以a2故选：B．9.【正确答案】ABC

解：由向量a=(1,−1,1)是直线l1的一个方向向量，b=(2,2,−2)是直线l2的一个方向向量，

可知a⋅b=(1,−1,1)⋅(2,2,−2)=1×2+(−1)×2+1×(−2)=−2，所以A不正确;

设a=λb，可得(1,−1,1)=λ(2,2,−2)，此时1=2λ,−1=2λ,1=−2λ,方程组无解，所以B不正确;

由a⋅b=−2，可知l1与l210.【正确答案】BC

解：对于A，当c=0，a=−1，b=2时，满足ac2≥bc2，但a<b，故A错误;

对于B，因为a>b>c，所以a−c>0，b−c>0，a−b>0，

所以1b−c−1a−c=a−b(b−c)(a−c)>0，所以1b−c>1a−c，故B正确;

对于C，充分性：若a+2023是无理数，则a是无理数，充分性成立;

必要性：若a是无理数，则a+2023是无理数，必要性成立，

故“a+2023是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故C正确11.【正确答案】ABD

解：对于A，f(x)的定义域、值域、对应关系都与g(x)相同，是同一函数；

对于B，f(x)=x⋅|x|=x2,x≥0,−x2,x<0,与g(x)是同一函数；

对于C，g(x)=x2=|x|，与f(x)=x的值域不同，不是同一函数；

12.【正确答案】1<k≤2或k=6−

解：∵曲线y=−x2+2x，

∴x−12+y2=1y⩾0，即曲线y=−x2+2x表示圆x−12+y2=1的上半圆，

直线kx−y+4−4k=0变形可得y=k(x−4)+4，

该直线过定点P(4,4)，且斜率为k，如图所示，

当直线kx−y+4−4k=0与半圆x−12+y2=1y⩾0相切时，

则有|k−0+4−4k|k2+1=1，即8k2−24k+15=0，

解得k=6±64，由图得k=13.【正确答案】(−2,4)∪(4,+∞)

解：由题意知AB=(2,1,1)，AC=(λ,2,2)，

∵AB,AC的夹角为锐角，

∴AB⋅AC=2λ+2+2>0，且不能同向共线，

解得λ>−2，λ≠4．

14.【正确答案】4

解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，

所以四边形PF1QF2为矩形，

设|PF1|=m，|PF2|=n，

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=8，

所以m2+2mn+n2=64，

因为|P15.【正确答案】解：(1)由直线方程(a−1)y=(2a−3)x+1，

变形可得a(y−2x)+3x−y−1=0，

则有y−2x=03x−y−1=0，解得x=1y=2，

故直线l过定点(1,2)．

(2)易得当直线l斜率不存在时，即a=1时，直线l:x=1符合题意;

当直线l斜率存在时，2a−3a−1≥2−01−0，解得a<1;

综上可得，实数a的取值范围为a≤1.

(3)已知直线l:(a−1)y=(2a−3)x+1，

令x=0，得y=1a−1>0，得a>1，

令y=0，得x=13−2a>0，得a<32．

则S16.【正确答案】解：(1)因为函数f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)所以A=2,2π所以A=2，ω=2；(2)由(1)可得f(x)=2sin因为x∈[0,π所以2x+π于是sin(2x+所以2sin所以函数f(x)的值域为[−

17.【正确答案】解：(1)AB⊥AD，又PA⊥底面ABCD，AD、AB⊂底面ABCD，PA⊥AD，PA⊥AB，故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，B1,0,0，C1,2,0，P所以PC=1,2,−2，AE=所以PC⊥AE，即PC与AE所成角的大小为(2)由(1)知PC=1,2,−2，AC=设平面ACE的一个法向量为n=x,y,z取y=1，则x=−2，z=−1，所以n=−2,1,−1是平面设PC与平面ACE所成角为θ，则sin θ=|所以PC与平面ACE所成角的正弦值为6

18.【正确答案】解：(1)因为b1+cosC所以由正弦定理得，sin=sin又B为三角形的内角，所以sin