江苏省南通市2025年中考第一次模拟考试数学试卷（含答案）

2025年中考第一次模拟考试数学试卷南通卷注意事项：1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算﹣3+5的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．82．由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映，电影票房便超过299400000元，数299400000用科学记数法表示为（）A．0.2994×109B．2.994×108C．29.94×107D．2994×1063．以下问题．不适合用全面调查的是（）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．学校招聘老师，对应聘者进行面试 C．了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况 D．某批种子的发芽率4．如图，AB∥CD，点E在AB上，过点E作AB的垂线与CD相交于点F，连接CE，若∠ECD＝40°，则∠CEF的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°5．一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过点P（﹣2，﹣1）且y随着x的增大而减小，则该图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己23的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为yA．12x+y=5023y+x=50B．x+7．下列说法不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．等腰梯形的对角和相等 D．矩形的对角线互相垂直平分8．若关于x的不等式3m﹣2x＜9的解集是x＞3，则实数m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．119．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为72A．7 B．14 C．21 D．2810．已知二次函数y1=2x2+mx+n，y2=2nx2+mx+1（A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．分解因式：m2﹣2m+1＝．12．因为31＜33＜38，即1＜3313．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是边形．14．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为m（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．15．设a是方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2+4a+2020＝．16．如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为MN的中点，点C在弧BN上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E，连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则BCAB的值为17．如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝6，EF=322，则AF+ME三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：3tan30°−(−1（2）化简代数式2a−2a2−2a+120．（10分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传．（1）若选1人，则恰好选中女生的概率是；（2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率．21．（12分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求证：AP＝CQ；（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；（3）在P点运动过程中，当t为何值时，△AOP是等腰三角形．（直接写出答案即可）22．（10分）为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会•凝聚奋进力量”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x（单位：分），过程如下：【收集数据】：八年级15名学生竞赛成绩分别为：77，84，88，98，97，88，100，92，88，91，94，91，97，95，100；七年级15名学生竞赛成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90．【整理数据】：年级75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100八年级11m46七年级12345【分析数据】：年级平均数众数中位数方差八年级92a9237.7七年级9087b50.2根据以上提供的信息，回答下列问题：（1）填空：m＝，a＝，b＝；（2）该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数；（3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可）23．（12分）亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120（其中天数t为整数）．（1）当0≤t≤40天，求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式；（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在前20天中，超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．24．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F（1）求∠AFD的度数；（2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长．25．（13分）（1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图1，在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F，且CF＝2DE，连接CE、DF交于点O，将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，试说明：点Q是边CD的三等分点．（2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图2，已知线段BC，点E是BC的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCD，使得AE⊥BD．（不写作法保留作图痕迹）（3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角，如图3，点C是OA上一点，用尺规作出CD⊥OB，CF∥OB后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与CD、CF交于点M、N，当MN与CO满足某种数量关系时，即可得到∠MOD=13∠AOB，试猜想MN（4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD，若BC＝kAB，请直接写出k的取值范围．26．（13分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线y=14x2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线y=14x2有唯一公共点，分别交l1，l2于（1）求b的值；（2）求点E的纵坐标；（3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（1．选：B．2．选：B．3．选：D．4．选：C．5．选：A．6．选：D．7．选：D．8．选：A．9．选：B．10．选：A．二、填空题11．答案为：（m﹣1）2．12．答案为：33013．答案为：四．14．答案为：8．15．答案为：2024．16．答案为：5317．答案为：8．18．答案为：35三、解答题19．解：（1）原式＝3×33−＝﹣6−3（2）原式=2(a−1)(a−1)=2a−1÷==2当a＝2时，原式=220．解（1）∵男生2人，女生3人，∴选1人，则恰好选中女生的概率是35故答案为：35（2）根据题意，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中符合题意的有12种，∴P=1221．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠PAO＝∠QCO，∠APO＝∠CQO，在△APO和△CQO中，∠APO=∠CQO∠PAO=∠QCO∴△APO≌△CQO（AAS），∴AP＝CQ；（2）解：如图：∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝6，由（1）知，AP＝CQ＝t，∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣t，由AP∥BQ可知，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，∴t＝6﹣t，解得t＝3，答：当四边形ABQP是平行四边形时，t的值是3；（3）解：①当AP＝AO时，△AOP是等腰三角形，如图：∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，∴AC=3AB＝33∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO=12AC∴AP＝AO=3∴t=AP②当AO＝PO时，△AOP是等腰三角形，过O作OH⊥AD于H，如图：∵AD∥BC，∴∠HAO＝∠ACB＝30°，在Rt△AOH中，OH=12AO=334，∵AO＝PO，OH⊥AD，∴AP＝2AH=9∴t=AP③当AP＝OP时，△AOP是等腰三角形，过P作PK⊥AO于K，如图：∵AP＝OP，PK⊥AO，∴AK=12AO在Rt△APK中，AP=AK∴t=AP综上所述，当t为332或92或3222．解：（1）由题意知m＝3，八年级成绩的众数a＝88，七年级成绩的中位数是第8个数，即91，所以b＝91，故答案为：3，88，91；(2)600×7答：八年级成绩超过平均分的人数为280人；（3）八年级成绩更好．从平均数看，八年级成绩的平均数大于七年级，所以八年级成绩更好．23．解：（1）当0≤t≤40天，设销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+30，∴40＝40t+30，解得t=1∴当0≤t≤40天，销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=14（2）设日销售利润为w元，当0≤t≤40天时，w＝（p﹣20）y＝（14t+10）（﹣2t=−12（t﹣10）∴当t＝10时，w有最大值为1250；当t＞40时，w＝（p﹣20）y＝20（﹣2t+120）＝﹣40t+2400＜800，∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；（3）∵w＝（p﹣20﹣n）（﹣2t+120）=−12t2+（2n+10）t+1200﹣120∴a=−12，对称轴为直线t＝2∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴2n+10≥20n＜9∴5≤n＜9．24．（1）证明：如图，连接OD，∵EF与半圆O相切于点D，∴OD⊥DF，由题意知，AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，又OD⊥DF，∴DF⊥AC，∴∠AFD＝90°；（2）解：由（1）知，∠AFD＝90°，∠BAD＝∠CAD，在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3，AF2+DF2＝AD2，∴∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∴AF＝3，∴32+DF2＝（2DF）2，∴DF=3∴AD＝23，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝∠AFD＝90°，∴△ADF∽△ABD，∴DFBD∴3BD解得BD＝2．25．（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴ODOF＝DECF将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，∠DQP＝∠CQP＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝90°，∴四边形APQD是矩形，∴AD∥PQ，∴DQCQ＝ODOF＝∴DQ＝13CD，即Q是边CD（2）解：如图2，以BE为直径画圆O，在圆O上取点N，连接BN，EN，延长BN至A，使ND＝2BN，延长EN至A，使AN＝2NE，连接AD，AB，CD，则四边形ABCD为所求四边形；证明：∵AN＝2NE，DN＝2BN，∴ANNE＝DN∵∠AND＝∠BNE，∴△AND∽△ENB，∴∠NBE＝∠ADN，ADBE∴AD∥BE，AD＝2BE，又∵E为BC的中点，∴2BE＝BC，∴AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BE为圆O的直径，∴∠BNE＝90°，∴AE⊥BD；∴平行四边形ABCD符合条件；（3）解：取MN的中点H，连接CH，如图3，∵CD⊥OB，CF∥OB，∴CD⊥CF，∴CH＝12MN∵点H是MN的中点，∴MH＝NH＝12MN∴CH＝NH，∴∠HCN＝∠CNH，∴∠OHC＝∠HCN+∠CNH＝2∠CNH，∵∠MOD＝13∠AOB∴∠COH＝2∠MOD，∵CF∥OB，∴∠NOB＝∠CNH，∵∠OHC＝2∠CNH，∠COH＝2∠NOB＝2∠CNO，∴∠OHC＝∠COH，∴CO＝CH＝12MN（4）解：作CM⊥BD交BD于M，∴AE∥CM，∵BE＝EC，∴BN＝NM，∵DN＝2BN，∴MD＝NM＝BN，在Rt△ABN和Rt△BNE中，BN2＝AB2﹣AN2＝BE2﹣NE2，∴AB2﹣BE2＝AN