高中数学课堂教学实录

高中数学课堂教学实录一、教学目标1.知识与技能目标理解函数单调性的概念，能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。掌握用定义证明函数单调性的一般步骤。2.过程与方法目标通过对函数单调性定义的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力，体会从特殊到一般的数学思维方法。在证明函数单调性的过程中，提高学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过函数单调性的学习，让学生感受数学的严谨性，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点函数单调性的概念和判断函数单调性的方法。用定义证明函数单调性的步骤。2.教学难点对函数单调性概念的理解，尤其是"任意"的理解。用定义证明函数单调性时，如何通过作差变形判断符号。三、教学方法讲授法、探究法、讨论法相结合四、教学过程（一）创设情境，引入新课师：同学们，在我们的生活中，很多现象都与函数有关。比如，随着时间的变化，气温会发生变化；随着路程的增加，汽车行驶的耗油量也会发生变化。请大家思考一下，在这些函数关系中，有没有一些函数值是随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的增大而减小的呢？生1：气温随时间变化可能会升高，也可能会降低。生2：汽车行驶路程增加，耗油量一般会增加。师：非常好，大家观察得很仔细。像这样函数值随自变量的变化而呈现出一定的变化趋势，在数学中我们就用函数的单调性来描述。今天我们就一起来学习函数的单调性。（板书课题：函数的单调性）（二）探究函数单调性的概念1.展示函数图象师：（多媒体展示函数\(y=x^2\)的图象）请同学们观察函数\(y=x^2\)的图象，当\(x\)在不同区间变化时，函数值\(y\)是如何变化的？生3：当\(x\lt0\)时，随着\(x\)的增大，\(y\)值逐渐减小；当\(x\gt0\)时，随着\(x\)的增大，\(y\)值逐渐增大。师：很好，那我们把这种在某个区间内，函数值随自变量增大而增大的区间称为该函数的单调递增区间；函数值随自变量增大而减小的区间称为该函数的单调递减区间。2.给出具体函数师：（多媒体展示函数\(y=2x+1\)）对于函数\(y=2x+1\)，它在整个定义域内的单调性是怎样的呢？生4：因为\(2\gt0\)，所以随着\(x\)的增大，\(y\)值一直增大，它在\((\infty,+\infty)\)上单调递增。师：非常棒！那大家能不能从这两个函数的分析中，归纳出函数单调性的定义呢？生5：在某个区间内，如果对于自变量的增大，函数值一直增大，就是单调递增；如果函数值一直减小，就是单调递减。师：大家归纳得已经很接近了。准确地说，设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)、\(x_2\)，当\(x_1\ltx_2\)时，都有\(f(x_1)\ltf(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数；当\(x_1\ltx_2\)时，都有\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是减函数。（板书函数单调性的定义）（三）深入理解函数单调性的概念1.强调"任意"师：同学们，在函数单调性的定义中，"任意"两个字非常关键。比如说函数\(f(x)=x^2\)，在区间\((0,+\infty)\)上，我们不能只取两个特殊的值\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，发现\(f(1)\ltf(2)\)，就说它在这个区间上是增函数。必须对于区间\((0,+\infty)\)内的任意两个自变量的值\(x_1\)、\(x_2\)，当\(x_1\ltx_2\)时，都有\(f(x_1)\ltf(x_2)\)才行。大家理解了吗？生：理解了。2.概念辨析师：（多媒体展示题目）判断下列说法是否正确：若\(f(2)\ltf(3)\)，则函数\(f(x)\)在\([2,3]\)上是增函数。若函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数，则对于任意\(x\inD\)，都有\(f^\prime(x)\gt0\)。生6：第一个说法错误，因为只比较了两个特殊值，不能得出在整个区间\([2,3]\)上是增函数。生7：第二个说法也错误，函数单调性是通过定义来判断的，不能简单地根据导数大于\(0\)来判断，而且在高中阶段，我们现在主要是用定义法来证明单调性。师：同学们回答得很好，通过这些辨析，我们对函数单调性的概念有了更清晰的认识。（四）用定义证明函数单调性1.例题讲解师：（多媒体展示例题）证明函数\(f(x)=x^3\)在\(R\)上是增函数。师：我们按照定义来证明，首先设\(x_1\)，\(x_2\inR\)，且\(x_1\ltx_2\)。然后计算\(f(x_1)f(x_2)\)：\[\begin{align*}f(x_1)f(x_2)&=x_1^3x_2^3\\&=(x_1x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)\\&=(x_1x_2)[(x_1+\frac{x_2}{2})^2+\frac{3x_2^2}{4}]\end{align*}\]因为\(x_1\ltx_2\)，所以\(x_1x_2\lt0\)，而\((x_1+\frac{x_2}{2})^2+\frac{3x_2^2}{4}\gt0\)，所以\(f(x_1)f(x_2)\lt0\)，即\(f(x_1)\ltf(x_2)\)。所以函数\(f(x)=x^3\)在\(R\)上是增函数。师：在证明过程中，我们通过作差\(f(x_1)f(x_2)\)，然后对差进行变形，判断其符号，从而得出函数的单调性。大家明白了吗？生：明白了。2.学生练习师：（多媒体展示练习题）证明函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。学生开始练习，教师巡视指导，及时纠正学生在证明过程中出现的错误。3.总结证明步骤师：请一位同学来说说用定义证明函数单调性的步骤。生8：首先设\(x_1\)，\(x_2\)在给定区间内，且\(x_1\ltx_2\)；然后计算\(f(x_1)f(x_2)\)；接着对\(f(x_1)f(x_2)\)进行变形，判断其符号；最后根据符号得出函数在该区间上的单调性。师：总结得非常好！（板书证明函数单调性的步骤）（五）课堂小结师：今天我们学习了函数的单调性，大家一起来回顾一下。我们从函数图象出发，探究了函数单调性的概念，明确了增函数和减函数的定义，强调了定义中"任意"的重要性。然后通过例题和练习，掌握了用定义证明函数单调性的方法和步骤。希望同学们课后能够进一步巩固所学知识，多做一些相关的练习题。（六）布置作业1.书面作业：课本习题中关于函数单调性的练习题。2.思考作业：函数单调性与函数图象有什么更深入的联系？如何通过函数图象快速判断函数的单调性？五、教学反思通过本节课的教学，学生对函数单调性的概念有了初步的理解，并且掌握了用定义证明函数单调性的方法。在教学过程中，通过创设情境引入新课，激发了学生的学习兴趣；利用函数图象引导学生探究单调性的概念，符合学生的认知规律，有助于学生理解。在讲解概念时，注重强调"任意"，通过概念辨析加深了学生对概念的理解。在证明函数单调性的教学中，通过例题示范和学生练习，让学生逐步掌握了证