专题04-圆章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)-九年级全册数学举一反三系列(人教版)

专题04圆章末重难点题型【举一反三】

【人教版】

考点1圆的相关概念

考点2垂径定理求线段

考点3圆周角定理

考点4圆的内接四边形

考点5弧长计算

K痴历刑

【考点1圆的相关概念】

【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用.

【例1】（2019•祁江区校级一模）如图，。。的直径84的延长线与弦。。的延长线交于点E,且CE=O8,

已知NOOB=72。，则/£等于（）

A.36°B.30°C.18°D.24°

【分析】根据圆的半•径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于NE的方程，根据

解方程，可得答案.

【答案】解：如图：

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CE=OB=CO,得

ZE=Zi.

由N2是△EOC的外角，得N2=NE+N1=2N£

由OC=OO,得ND=N2=2NE.

由N3是三角形40。£的外角，得N3=E+NO=/E+2NE=3/E.

由N3=72。，得3NE=72。.

解得NE=24。.

故选：D.

【点睛】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的

性质.

【变式1-1](2019•陕西模拟)如图，在△ABC中，NAC8=90。，乙4=40。，以C为圆心，CB为半径的

圆交AB于点。，连接CQ,则4CO=()

A.10°B.15°C.20°D.25°

【分析】先求得N8,再由等腰三角形的性质求出N8CQ,则NACQ与NBCO互余.

【答案】解：•・・NACB=90。,NA=40。，

・・・N8=50。，

，：CD=CB,

:.N8CO=180°-2x50°=80°,

:.乙48=90°-80°=10°；

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单.

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【变式1・2】（2019秋•萧山区期中）如图，半圆。是一个量角器，△4。台为一纸片，交半圆于点。,

05交半圆于点C,若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45。，70。，160。，则的度数为（）

B

A.20uB.30uC.45。D.6UU

【分析】连结O。，如图，根据题意得N/）OC=25。，NAO/）=90。，由于0。=。4,则N/WO=45。，然

后利用三角形外角性质得NAOO=N8+NOO8,所以N8=45。-25°=20°.

【答案】解：连结如图，则NQOC=70°-450=25。，40。=160。-70。=90°,

,：OD=OA.

・•・乙4。。=45。，

•；ZADO=ZB+ZDOB,

・・・N8=450・25°=20°.

故选：A.

B

【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、

等弧等）.

【变式1・3】（2018秋•瑞安市期末）如图，A,B,C是。。上的三点，AB,AC的圆心。的两恻，若/ABO

=20°,NACO=30。，则N80c的度数为（）

【分析】过A、O作。O的直径AD,分别在等腰△048、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出N30c

=2ZABO+2ZACO.

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所以0M=4,

*：AB±CD,垂足为M,

在RlZkAO/W中，AM=^2_^2=3,

，A8=24M=2x3=6.

故选：A.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距

和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为「，弦长为小这条弦的弦心距为d，则有等式户=

#+（且）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个.

2

【变式2-1］（2019•渝中区校级三模）如图，。。的半径0。_1_弦48于点G连结A。并延长交。。于点E,

连结E8.若AB=4,CD=1,则的长为（）

A.3B.4C.5D.2.5

【分析】设。。的半径为r.在RSA0C中，利用勾股定理求出〃再利用三角形的中位线定理即可解

决问题.

【答案】解：设OO的半径为二

•・•ODLAB,

：.AC=BC=2,

在RsAOC中，VZACO=90%

^OA^OCr+AC2,

・・・产=（r-1）2+22,

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Ar=—,

2

・・.oc=W,

2

•：OA=OE,AC=CB,

・・・BE=2OC=3,

故选：A.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中

考常考题型.

【变式2-2］（2019•庐阳区二模）如图，AC是。。的直径，弦8D_L4C于点E,连接4C过点。作。入L8C

则0尸的长度是（）

C.VlOcnD.3cm

【分析】连接。氏根据垂径定理求出BE,根据勾股定理求出08,再根据勾股定理计算即可.

【答案】解：连接08,

VAC是OO的直径，弦

：・BE=LBD=6,

2

在RSOEB中,OB2=OR+BR,即R82=(OB-4)2+62,

.解得，08=更，

2

则EC=AC-AE=9,

RC=7EC2+BE2=

OFIBC,

.•.b=4c=&ZH,

22

•，・0C2vF(cm)»

故选：A.

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【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

【变式2-3]（2019•梧州）如图，在半径为丘的。。中，弦4B与CQ交于点E,NDEB=75。,AB=6,

C.2VilD.4^3

【分析】过点。作。口LCQ于点F,OG_LAB于G,连接06、OD、OE,由垂径定理得出OF=CRAG

=BG=^AB=3,得出EG=AG-AE=2,由勾股定理得出GG=JOB2_BG2=2,

证出△EOG是等腰直角三角形，得出NOEG=45。，OE=y[^）G=2近求出NOE/=30。，由直角三角

形的性质得出0尸=工0七=亚，由勾股定理得出。即可得出答案.

2

【答案】解：过点O作O以LCO于点凡OGJ■人“于G,连接OH、OD.OE,如图所示：

则。尸=C尸，AG=BG=LB=3,

2

：,EG=AG-AE=2t

在RlZkBOG中，OG=JOB2_BG2=413-9=2,

：.EG=OG,

/.△EOG是等腰直角三角形，

，NOEG=45。，OE=«7G=2近

VZDEfi=75°,

・•・NOE/=30。，

：,OF=LOE=&,

2

在RIA。/)/中，。尸=痂万石点=痛工=JIL

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：.CD=2DF=2yflii

故选：C.

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角

三角形是解答此题的关键.

【考点3圆周角定理】

【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆（或百•径）所对的阿底角是音角,90°的圆周角所对的弦是百彳工

【例3】（2019•营口）如图，8c是。。的直径，4,。是。O上的两点，连接AB,AD,BD,若乙4。8=

70°,则N4BC的度数是（）

A.20°B.70°C.30°D.90°

【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到/BAC=90。，N4CB=/AO8=70。，然后利用互余计算

N48。的度数.

【答案】解：连接AC,如图，

〈BC是。。的直径，

/.NBAC=90°,

/4C8=NA/）/?=70。，

NABC=90。-70°=20°.

故答案为20°.

故选：A.

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【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

【变式3-1］（2019•相城区校级二模）如图，AB是半圆的直径，。为圆心，C是半圆上的点，。是菽上的

点.若N80C=5O。，则NO的度数（）

A.105°B.115°C.125°D.85°

【分析】连接BD,如图，利用圆周角定理得到NAQB=90。，NBDC=L/BOC=25。,然后计算

2

NADB+NCDB即可.

【答案】解：连接如图，

VAB是半圆的直径，

・•・NAQ4=90°,

•・•N8QC=工/80。=工＜50。=25。，

22

JNAQC=900+25°=U5°.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等「•这条弧所对

的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

【变式3-2］（2019•碑林区校级一模）如图，是半圆的直径，点C是弧8。的中点，NADC=55。,则

/胡。等于（）

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B.

AOD

A.50°B.55°C.65°D.70°

【分析】连接08、OC.求出/B。。即可解决问题.

【答案】解：连接08,OC,

•・•N4OC=55。，

JZAOC=2ZADC=110°,

・••弧AC=U0。，

-AD是半圆的直径，

・•・弧。。=70。，

•••。是孤8。的中点，

:.弧8。=140。，

・・・/8。力=140。，

2

故选：。.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

【变式3-3］（2019•太原二模）如图，48是。O的直径，点C在。。上，CO平分NAC8交。。于点。，

若N48C=30。，则NC4。的度数为（）

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D

A./00°B.105°C.110°D.120

【分析】利用圆周角定理得到/ACB=90。，则利用互余计算出NB4C=60。，接着根据角平分线定义得到

Z«CD=45°,从而利用圆周角定理得到NBAQ=N8CQ=45。，然后计算NB/1C+N8AO即可.

【答案】解：・・・A8是。。的直径，

・•・NAC4=9（）°,

・•・ZBAC=90°-ZA8C=90°-30°=60°,

•••CO平分/AC8,

：.ZBCD=45°,

•・•NB4O=N8CO=45。，

/.NC4O=/B4C+/8AO=600+45°=105°.

故选:B.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所*j

的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

【考点4圆的内接四边形】

【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，旦任意一个角的外角都等于其内对角.

【例4】（2019•蓝田县一模）如图，点A、B、C、。在。。上，CB=CE»NCV）=30。，ZACD=50°,则

C.70°D.80°

【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出乙4。6=/4。8=180。-/。钻-乙钻。,

进而得出答案.

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【答案】解：:CB=CD，/。。=30。，

：.ZCAD=ZCAB=30°,

・•・NO8C=ND4C=30。，

•・•ZACD=50°,

：.ZABD=50°,

：.NACA=NA/%=-/CAN-ZA«C-18OU-5。"-31T-3OV=7UV.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了圆周帝定理以及三角形内角和定理，正确得出NA/，。度数是解题关键.

【变式4-1]（2019♦澄海区一模）如图，四边形A4CO内接于00,它的一个外角N£8C=55。，分别连接

AC、BD,若AC=A。，则N。8c的度数为（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

【分析】根据圆内接四边形的性质求出NAOC,根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可.

【答案】解：•・•四边形人8c。内接于。O,

二ZADC=ZEBC=55°,

'：AC=AD,

:.ZACD=ZADC=550,

・•・ZDAC=10°,

由圆周角定理得，NQBC=ND4C=70。，

故选：。.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角

是解题的关键.

【变式4-2]（2019•嘉祥县三模）如图，四边形A8C。内接于。O,尸是而上一点，且而=黄，连接

并延长交4。的延长线于点£,连接AC，若NABC=105。，N/MC=25。，则/上的度数为（）

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A

A.45°B.50°C.55。D.60°

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出NAOC的度数，再由圆周角定理得出NOCE的度数，根据三角

形外角的性质即可得出结论.

【答案】解：•・•四边形45CD内接于。。,ZABC=105%

NAQC=1800-ZABC=180°-105°=75°.

VDF=BC，NBAC=25。,

・•・ZDCE=ZBAC=25°,

・•・ZF=ZADC-ZDCE=15°-25°=50°.

故选:B.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键.

【变式4-3］（2018•南岗区一模）如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，若。。的半径为4,且/月=2/。,

连接4C,则线段AC的长为（）

A.4^2B.4立C.6D.8

【分析】连接OC,利用内接四边形的性质得出/。=60。，进而得出NAOC=120。，利用含30。的

直角三角形的性质解答即可.

【答案】解：连接04,OC,过。作OEJLAC,

•・•四边形ABCO是。。的内接四边形，ZB=2ZD,

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，ZB+ZD=3ZD=180°,

解得：ZD=60°,

・•・ZAOC=120°,

在RtZkAEO中，。4=4,

：.AE=2y/3,

：.AC=4yJ~3^

故选：B.

【点睛】此题考杳内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出/。=60。.

【考点5弧长计算】

【方法点拨】〃°的圆心角所对的弧长/为：/=逑。

18（）

【例5】（2019•鞍山）如图，AC是。。的直径，B,。是。。上的点，若。。的半径为3,ZADB=30°,

则标的长为.

【分析】根据圆周角定理求出NAO从得到NNOC的度数，根据弧长公式计算即可.

【答案】解：由圆周角定理得，NAO8=2NAQ8=60。，

:.ZBOC=1SO0-60°=120°,

・•・祕的长=120兀*与=2兀,

180

故答案为：2兀.

【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键.

【变式5-1]（2019•庐江县模拟）如图，AB是。0的直径，BC是。0的弦，ZABC的平分线交。0于点D.若

A8=6,ZBAC=30°,则劣弧标的长等于.

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【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出NAC8=90。，再根据直角三角形两锐角互余求出/45C,然

后根据角平分线的定义求出NA8。，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出

ZAOD,然后根据瓠长公式列式计算即可得解.

【答案】解：・・・A8是。。的直径，

:.ZACB=90°,

•・•/BAC=30。，

:.N4BC=90。-30。=60。，

VZABC的平分线交。。于点

・•・ZABD=1-ZABC=-L<60o=30°,

22

/.乙40。=2480=2x30。=60。，

・•・劣弧罚的长=§0・兀*3=3

180

故答案为：H.

【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，比较简单，熟记定理与

公式并求出NAO。的度数是解题的关键.

【变式5-2］（2019•泰顺县模拟）如图，A/IBC的顶点。在半径为9的。。上，ZC=40°,边AC,BC分

别与。。交于。，E两点、,则劣弧。七的长度为.

【分析】连接。。、OE,得出/OOE=2NC=80。，由弧长公式即可得出答案.

【答案】解：连接O。、OE，如图所示：

•.*ZC=40",

/.NQOE=2/C=80。，

,:00=9,

・•・劣弧DE的长=.80X兀*2=4九

180

故答案为：47r.

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c

o

【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式；熟练掌握弧长公式，能够运用圆周角定理求角是解决问题

的关键.

【变式5-3](2019•瑶海区二模)如图，矩形4BCO中，48=3,BC=2,七为8C的中点，AF=\,以EF

为直径的半圆与OE交于点G,则劣弧标的长为.

【分析】连接OG,DF,根据勾股定理分别求出OF、EF,证明RtaD4/名为△F8E,求出/DFE=90。,

得到NGOE=90。，根据弧长公式计算即可.

【答案】解：连接OG,OF,

•・・BC=2,石为BC的中点，

：.BE=EC=\,

*：AB=3fAF=\f

:.BF=2,

由勾股定理得，DF=d7)2+工/=泥，石尸=花F2+BE

：.DF=EF,

在RSD4尸和Rl△产BE中，

[DF=FE,

lDA=FB，

ARtA0A户FBE(HL)

：.ZADF=NBFE,

•・•NAQF+NAFQ=90°,

・•・NBFE+NAFD=90。,即ZDF£=90°,

•:FD=FE,

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/.ZFED=45°,

•：OG=OE,

r./GOE=90°,

V5

-90兀x*r-

・•・劣弧GE的长=--------乙=2,

1804

【点睛】本题考查的是弧长的计算、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质,

掌握弧长公式是解题的关键.

【考点6正多边形与圆】

【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半

径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边

心距。

【例6】（2019•朝阳区校级四模）如图，。。与正六边形。4ACDE的边04、OE分别交丁点F、G,点、M

在产G上，则圆周角NFMG的大小为度.

DE

【分析】在优弧尸G上取一点/，连接7F,TG,利用圆内接四边形对角互补解决问题即可.

【答案】解：在优弧厂G上取一点。连接"，TG.

YABCDEF是正六边形,

・•・ZAOE=\200

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•:/T=L/FOG,

2

・•・ZT=60°,

•••NBWG+NT=180。，

AZFMG=120°,

故答案为120°.

【点睛】本题考行正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题.

【变式6-1]（2019•海南）如图，。。与正五边形A8CDE的边AB、QE分别相切于点8、D,则劣弧正所

对的圆心角NBOD的大小为度.

【分析】根据正多边形内角和公式可求出NE、/D,根据切线的性质可求出NQ4E、NOCD,从而可求

出N4OC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.

【答案】解：•・•五边形ABCOE是正五边形,

=108°.

*：AB.DE与。。相切,

：,ZOBA=ZODE=90°f

：.ZBOD=（5-2）x!80°-90°-108°-108°-90°=144°,

故答案为：144.

【点睛】本题主要考查r切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是

解决本题的关键.

【变式6-2]（2019•青岛）如图，五边形A8CDE是。。的内接正五边形，A/是。O的直径，则N8Q/的

度数是。.

第18页共40页

【分析】连接A。，根据圆周隹定理得到乙4。"=90。，根据五边形的内角和得到NA5C=NC=108。，求

得乙48。=72。，由圆周角定理得到Nr=NA3O=72。，求得/外。=18。，于是得到结论.

【答案】解：连接A。，

•・・A/是。0的直径，

，N4O尸=90。，

•・•五边形ABCDE是。。的内接正五边形，

；・NABC=NC=108。，

NABO=72。，

：.ZF=ZABD=12°,

AZMD=18°,

：,ZCDF=ZDAF=\^°,

・•・ZZ?DF=36O+18O=54°,

故答案为：54.

【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中

考常考题型.

【变式6-3]（2019•江岸区校级模拟）如图，。。的半径为2,正八边形A8COMGH内接于30,对角线

CE.。尸相交于点M,则△〃£尸的面积是.

【分析】设OE交。产于M由正八边形的性质得出。NEO尸=.360°=45。,DE=FE»由垂径

8

定理得出NOE尸=NOFE=NOEO,OELDF,得出△ON/7是等腰直角三角形，因此ON=FN=®OF

第19页共40页

=&，N(»'M=45。，得出EN=OE-()M=2-a,证出△EMN是等腰直角三角形，得出MN=£N,

得出M/=0E=2,由三角形面积公式即可得出结果.

【答案】解：设0E交DF于N,如图所示：

,/正八边形ABCDEFGH内接于0O,

:・DE=FE,Z£OF=^—=45°,而二菽，

8

/.N。上"=Z。卜七="ED,OE±D卜,

・•・AON/是等腰直角三角形，

：.ON=FN=®OF=®NOFM=450,

2

：,EN=OE-OM=2-V2»ZOEF=NOFE=NOED=B5。,

:.ZCED=ZDFE=61.5°-450=22.5°,

・•・/MEN=45。,

•••△EMN是等腰直角三角形，

:.MN=EN,

：.MF=MN+FN=ON+EN=OE=2,

的面积=XW\EN=LX2X(2-V2)=2-V2：

22

故答案为：2-J].

【点睛】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、正八边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰

三角形的性质等知识；熟练掌握正八边形的性质，证明△ON尸和△是等腰直角三角形是解题的关键.

【考点7与圆有关的求最值】

【例7】（2019•清江浦区一模）正△ABC的边长为4,。人的半径为2,。是。4上动点，E为CD中点,

则BE的最大值为.

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'D

BC

【分析】连接AD,通过圆的半径和等边三角形的边长，E点的运动轨迹是以产为圆心FE为半径的圆,

可以判断点B,E,尸三点共线，此时BE与圆A相切时8E的值最大，利用三角形的性质即可求解；

【答案】解：连接A。，

VOA的半径是2,

:.0A与AC边交于AC的中点入

••,E为C。中点，

E点的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的圆，

・•・当点8,E,F二点共线，此时3K与圆A相切时，3K的值最大，

VAF=2,48=4,

・・・8尸=2的，

•••七为C。中点，歹是AC的中点，

：.EF=^\D=\i

2

:・BE=2近+1；

故答案为2心1.

【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，等边三角形的性质；利用中位线的性质，直角三角形的边角关

系是求解的关键.

【变式7-1](2019•亭湖区校级三模)如图，在平面直角坐标系中，点P(3,4),。。半径为2,A(2.6,

0),3(5.2,0),点M是。P上的动点，点。是M8的中点，则AC的最小值为.

第21页共40页

【分析】如图，连接0P交。P于连接0M.因为。4=44CM=CB,所以AC=^OM,所以当

2

。用最小时，AC最小，M运动到“时，OM最小，由此即可解决问题.

【答案】解：如图，连接。。交。。于AT,连接0M,

VP(3,4),

・••由勾股定理得：OP=g32+q2=5,

•・・O4=A8=2.6,CM=CB,

・・・AC=&M,

2

・••当OM最小时，AC最小，

・•・当M运动到AT时，OM最小，

此时AC的最小值=L。卬=工(OP-PMD=工义(5-2)=2

2222

故答案为

2

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解

题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题

型.

【变式7-2](2018♦周村区二模)在RsABC中,4cB=90。,IC=8,BC=6,点。是以点A为圆心4

为半径的圆上一点，连接80,点M为8。中点，线段CM长度的最大值为.

第22页共40页

【分析】作的中点乂连接上用、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及二角形的中

位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解.

【答案】解：作/W的中点E,连接EM、CE.

6--1,1.△ABC中，AB=dA'2+BC2=462+82=1。,

：E是直角△ABC斜边AB上的中点，

；・CE=1AB=5.

2

•・・M是BZ）的中点，E是AB的中点，

：.ME=^AD=2.

2

Z.ffiACEM中，5-2<CM<5+2,即3<GW<7.

・••最大值为7,

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半解答.

【变式7-3]（2018秋・]江区期末）如图，在RSABC中,ZC=90°,BC=3,AC=4f。、E分别是AC、

BC上的一点，且。£=3,若以。£为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为.

第23页共40页

【分析】如图，连接0M,作于”，CK_L4/3于K.由题意〃2=2M〃=纣斤二斤，。加=卓，

2

推出欲求MN的最大值，只要求出0H的最小值即可.

【答案】解：如图，连接。M,作于H,CK_LA8于K.

*：OHA.MN,

:・MH=HN,

・•・MN=2MH=2n0M2~0H方

VZDCE=90°,OD=OE,

・•・OC=OD=OE=0M=W,

2

・•・欲求MN的最大值，只要求出O”的最小值即可,

・.•oc=W,

2

・••点O的运动轨迹是以c为圆心w为半径的圆，

2

在RSAC3中,•:BC=3,AC=4,

：.AB=5,

・・・_LA8・CK=LAC・8C,

22

第24页共40页

・r”12

5

当C,O,〃共线，且与CK重合时，0”的值最小，

:.OH的最小值为卫-

5210

MN的最大值=2J3）2_（_5_）2=卷,

故答案为卫.

5

【点睛】本题考杳最小与圆的;立置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考

问题，属于中考常考题型.

【考点8垂径定理的应用】

【例8】（2018秋•朝阳区期末）•些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图，把-

个直径为10加〃?的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8〃皿，求这个孔道的直径A8.

【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA,过点O作0O_L居于点D,则A/X2AQ,在RsAOD

中利用勾股定理即可求出4。的长，进而得出A3的长.

【答案】解：连接04,过点。作于点。，

则AB=2AD,

钢珠的直径是1»

.••钢珠的半径是5〃加，

•・•钢珠顶端离零件表面的距离为8〃见,

/.OD=3nnn,

在RSAOO中,

第25页共40页

7^=VOA2-OD2=V52-32=4//W/,

.•・A8=240=2x4=Smm.

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.

【变式8-1](2018秋•丹江口市期末)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆

材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB

为。。的直径，弦SJL/1B于点E,A石=1寸，€7)=10寸，求直径八8的长.请你解答这个问题.

【分析]连接OC，由直径AB与弦CO垂直，根据垂径定理得到E为。。的中点，由CD的长求出。E

的长，设OC=OA=x寸，则48=2K寸，0E=(x-1)寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即

可得出直径AB的长.

【答案】解：如图所示，连接。C.

•・•弦CDL48,48为圆。的直径,

・•・£为CO的中点，

又・・・CD=10寸,

ACF=DF=XcD=S寸，

2

设OC=Q4=x寸，则寸，0E=(x-1)寸,

由勾股定理得：ON+C^nOC?,

即(x-I)2+52=/,

解得：x=13,

：.AB=26寸、

第26页共40页

即直径A8的长为26寸.

【点睛】此题考杳了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一

半，弦心距及圆的半径构造直用三角形，利用勾股定理来解决问题.

【变式8-2]（2018秋•兴化市期口）在直径为1000亳米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面

宽A8=600亳米.

（1）求油的最大深度；

（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800亳米，此时油面上升了多少亳米？

【分析】（1〉首先过点O作0ALA3于点G,交OO于点G,连接OA,由垂径定理即可求得A尸的长,

然后由勾股定理，求得。尸的长，继而求得油的最大深度.

（2）分两种情况：根据（1）求得OE=300即,可得油面上升EF=OF-OE,可得结论，同理可得当

油面在圆心O的上方时，油面上升的高度.

【答案】解：（1）过。作交A8于凡交圆。于G,连接OA,

•*»AF-B=300/〃〃?，

2

•・•直径MN=1000〃"〃

.\OA=500inm

由勾股定理得，OF=d0/TF2=个50O2-3002=400〃]〃?，

则GF=OG-OF=\^mnu

（2）油面宽变为800亳米时，存在两种情况：

当油面CD在圆心。的下方时，连接OC,

•・•OELCD,

••CE=400/7/7//»OE=Q0c2-CE2=300〃?/〃，

则EF=OG-OE-FG=100/ww,

同理，当CO在圆心。上方时，可得E尸=700.

答：此时油面上升了100亳米或700亳米.

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【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结

合思想的应用.

【变式8-3］（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度回=60米，拱高PO=I8米.

（I）求圆弧所在的圆的半径「的长；

（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即。石=4米时，是否

【分析】（1）连结。4,利用「表示出。D的长，在RSAO。中根据勾股定理求出，•的值即可；

（2）连结04,在RSAEO中，由勾股定理得出AE的长，进而可得出的长，据此可得出结论.

【答案】解：（1）连结。4,

由题意得：4。=工8=30,OD=（r-18）

2

在RS4。。中,由勾股定理得:户=302+（「-18）2,

解得，r=34；

（2）连结OA1,

,：OE=OP-PE=30,

・••在RSA'O中,由勾股定理得：AfE2=A'O2-OE2,即：4,E2=342-302,

解得：AfE=16.

；・AE=32.

•・・AE=32>30,

・••不需要采取紧急措施.

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【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解

是解答此题的关键.

【考点9切线的性质与判定】

【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

【例9】（2019•白银）如图，在AABC中，AB=AC,NZMC=I2O。，点。在3C边上，。。经过点A和点

3且与3c边相交于点£

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）若CE=2加，求。。的半径.

【分析】（1）连接AO,根据等腰三角形的性质得到N4=/C=30。，Z/MD=Z/y=30°,求得N4OC

=60。，根据三角形的内角和得到ND4C=180。・60。-30。=90。，于是得到AC是。。的切线；

（2）连接A£,推出△ADE是等边三角形，得至ijAE=OE,NAE£>=60。，求得NE4C=NAEO-/C=

30°,得至UAE=CE=2加，于是得到结论.

【答案】（1）证明：连接AD

\'AB=ACfN5AC=120°,

AZfi=ZC=30°,

•；AD=BD,

・・・NR4O=NB=30。，

・•・ZADC=60°,

:.NOAC=180°-60°-30°=90°,

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JAC是。。的切线;

（2）解：连接AE,

*：AD=DE,ZADE=60°,

・•・ZVIOE是等边三角形，

：,AE=DE,ZAED=60°,

/.ZEAC=ZAED-ZC=30°,

；・NEAC=NC,

：,AE=CE=2yJ~3,

・•・0D的半径4。=2%.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅

助线是解题的关键.

【变式9-1］（2019•凉山州）如图，点。是以为直径的。。上一点，过点8作。。的切线，交的延

长线「点C,E是AC的中点，连接1并延长与人A的延长线交于点汽

（1）求证：。尸是。。的切线：

（2）若OB=BF,E-=4,求A。的长.

【分析】（1）连接0。，由4E为。。的直径得N8OC=90。，根据知/1=/3、由00=08知

N2=N4,根据是。。的切线得N3+/4=90。，即/1+/2=90。，得证；

（2）根据直角三角形的性质得到/尸=30。，BE=LEF=2,求得DE=BE=2,得到DF=6,根据三角

2

形的内角和得到OD=OA,求得乙4=2。0=5/80。=30。，根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【答案】解；（1）如图，连接OO,BD,

第30页共40页

•・・A4为0()的直径,

/.ZADB=ZBDC=90°,

在RS8。。中，°：BE=EC,

:.DE=EC=BE,

AZ1=Z3,

•；BC是。。的切线，

:.Z3+Z4=90°,

/.ZI+Z4=90°,

又•・,Z2=Z4,

.\Z1+Z2=9O°,

・・・。小为。。的切线；

(2)YOB=BF,

：.0F=20D,

：.ZF=30°,

,?NFBE=9U0,

:.BE=LEF=2,

2

:・DE=BE=2,

:・DF=6,

VZF=30°,NO。尸=90°,

・•・//00=60。，

•：OD=OA,

NA=/A/X)=£N4">=30。,

/.ZA=ZF,

：,AD=DF=6.

第31页共40页

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅

助线是解题的关键.

【变式9-2]（2019•临沂）如图，A8是。。的直径，。是。。上一点，过点。作交8C的延长

线于。，交AC于点E,尸是。E的中点，连接CE

（1）求证：C尸是。。的切线.

（2）若NA=22.5。，求证：AC=DC.

【分析】（1）根据圆周角定理得到N4CB=NACO=90。，根据直角三角形的性质得到CF=EF=DF,

求得NAEO=N/^C=NFCE,根据等腰三角形的性质得到/OCA=/OAC,于是得到结论；

（2）根据三角形的内角和得到/OAE=NCQ石=22.5。，根据等腰三角形的性质得到N