专题 反比例函数大题 中考数学

专题02反比例函数大题（二大题型）

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有

交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数），=内1和反比例函数），=上在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

x

①当ki与ki同号时，正比例函数〉=内］和反比例函数y="在同一直角坐标系中有2个交点：

x

ko

②当匕与内异号时，1T比例函数＞=匕工和反比例函数y=一二在同一百角坐标系中有0个交点.

x

题型二.反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能

力和从实际问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、

待定系数法和其他学科中的知识.

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.已知点在图象上，那么点一定满足这个

函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点乜一定在函数图象上.还能利川图象直接比

较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法.

压轴题预测

题型一.反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题）

b?

1.（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线y与直线），,交于A,8两点.点4（2,0和点8（加-3）在

x'2

双曲线上，点。为x轴正半轴上的一点.

（1）求双曲线y的表达式和。，的值；

x

（2）请直接写出使得）［＞为的X的取值范围；

（3）若A44c的面积为12,求此时C点的坐标.

yjk

2.(2023•苏州)如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y=A(x>o)的图象交于点44,〃).将点A沿大

釉正方向平移，〃个单位长度得到点8,D为入轴正半轴上的点，点13的横坐标大于点D的横坐标，连接BD,

的中点C在反比例函数)，=«(x>0)的图象上.

x

(1)求〃，2的值;

(2)当/〃为何值时，的值最大？最大值是多少？

3.（2（）24・常州模拟）如图，反比例函数），=4的图象与一次函数），=2"+人的图象交于点4-1,2）,8（4.」）.

x~2

（1）求函数y=4■和y=+〃的表达式；

x

（2）若在x轴上有一动点C,当人改=25.。8时，求点。的坐标.

4.（2024•常州模拟）如图，一次函数y=履+"攵工0）与函数为），，二竺“>0）的图象交于44,1）,4d,々）两

~x2

点.

（1）求这两个函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足％-兑>。时工的取值范围：

（3）点"在线段4AI-.过点。作x轴的垂线,垂足为例,交函数%的图象干点Q,若AP。。的面积为3.

求点P的坐标.

5.（2024•沐阳县模拟）如图，反比例函数），=与的图象与一次函数），=〃“+〃的图象相交于9-1,3）

x

两点.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）设直线交），轴于点C,点N（1,0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NMJ_x轴交反比例函数

），=人的图象于点M,连接CV,OM.若加边形c。次＞3,求"I勺取值范围.

x

6.（2024•宿迁二模）已知函数），=•!•的图象。函数），=&（4二0）的图象交于点尸（,〃,〃）

x

（1）若/"=2〃，求A的值和点〜的坐标.

（2）当|相|”|川时，结合函数图象，直接写出实数k的取值范围.

7.（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系X。），中，一次函数），=」i+5和），=-2.v的图象相交于

2

点A,反比例函数y=V的图象经过点A.

x

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数y='x+5的图象与反比例函数），=七的图象的另一个交点为“，连接04，求AA/3O的面

2x

积.

8.（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数尸质+人的图象与反比例函数），='的图象相交于点A（2,4）、

x

4（4,〃）.。是），轴上的一点，连接C4、CB.

（1）求一次函数、反比例函数的表达式：

（2）若的面积是6,求点C的坐标.

9.（2024•姜堰区一模）如图，一次函数y=-2x+“的图象与反比例函数必=4（4>0）的图象在第一象限相

X

交于点A（〃?,〃），B（m-2,3〃）.

（1）求a、k的值；

（2）当时，直接写出；的取值范围.

10.（2024•昆山市模拟）如图，一次函数丁=勺、+仇女尸0）的图象与反比例函数），=8■化工。）的图象相交于

X

4,8两点，其中点4的坐标为（-2,1）,点8的坐标为

（1）求这两个函数的表达式：

（2）根据图象，直接写出满足后科+〃>人的取值范围；

x

（3）求A/WO的面积.

11.（2024•兴化市一模）已知函教y=4伙是常数，心（）），函数K=_'+9.

x-2

（1）若函数y和函数％的图象交于点42,6）,点8（4,〃-2）.

①求4,〃的值.

②当y＞必时，直接写出x的取值范围.

（2）若点C（8,⑼在函数x的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点。，点。恰

好落在函数X的图象上，求/〃的值.

12.（2024•南通模拟）如图，直线A3交双曲线），=人于A、B两点,交x轴于点C,且4恰为线段AC的

x

中点，连接OA.若S^AC=6.求出的值.

13.(2024•亭湖区模拟)如图，等腰三角形O4B中，AO=M，点区坐标为(4,0)顶点A在反比例函数)，二人

x

的图象匕且△044的面枳为12.

(1)k=.

(2)过4点直线对应的解析式为)，=x+〃与双曲线丁二人在第一，三象限交点分别为点M,

x

①求点M,N的坐标.

②直接写出不等式或-％-〃..0的解集.

X

14.(2024•常熟市模拟)如图，一次函数y=4x-l的图象与)，轴相交于8点，与反比例函数)，=«伏工0,x>0)

2

图象相交于点4(/〃,2).

(1)求反比例函数的表达式：

(2)点。在点A的左侧，过点。作y轴平行线，交反比例函数的图象于点。，连接80.设点C的横坐标

为a，求当〃为何值时，MCD的面积最大，这个最大值是多少？

15.（2024•东海县一模）一次函数），=-.r+5与反比例函数），=&的图象在第一象限交于A,B两点，其中

x

A（1,4）.

（1）求反比例函数表达式；

（2）结合图象，直接写出r+5,,4时，”的取值范围；

X

（3）若把一次函数），=[i+5的图象向下平移〃个单位，使之与反比例函数），=&的图象只有一个交点，请

X

直接写出〃的值.

16.（2024•钟楼区校级模拟）如图，已知反比例函数K的图象与一次函数）,=依+8的图象相交于点

x

4（2,3）和点8（〃.一2）.

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）直接写出不等式人＞"+8的解集；

x

（3）若点?是“轴上一点，且满足AP44的面积是10,请求出点户的坐标.

17.（2024•姑苏区校级模拟）如图，以大轴上长为1的线段为宽作矩形A8CD,矩形长4）、BC交直

线y=-x+3于点/、E,反比例函数），=々“>0）的图象正好经过点尸、E.

（1）线段所长为

18.（2024•昆山市一模）如图，在平面直角坐标系入Qv中，一次函数y=Kx+b（K，〃为常数，且4工0）与

反比例函数），=&（4,为常数，旦占工。）的图象交于点儿，〃，6）,伏4,-3）.

X

（1）求反比例函数和一次函数的表达式：

（2）当&■>%/+〃>（）时，直接写出自变量x的取值范围：

X

（3）己知一次函数y=A/+〃的图象与x轴交于点C,点2在x轴上，若A/HC的面积为9；求点尸的坐标.

19.（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数）『力+〃的图象与反比例函数），,=々，分别交于点A和点8,

x

且A、8两点的坐标分别是4-1,-2）和B（2.加），连接Q4、OB.

k

（1）求一次函数y=%x+b与反比例函数％="的函数表达式;

x

（2）求A4O4的面积.

20.（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数），=2x+〃的图象与x轴交于点

4-1,0）,与），轴交于点8,与反比例函数y=£（x>0）的图象交于点C,且他=8C.点。是x轴正半轴

X

上一点，连接CD,ZO£>C=45°.

（1）求）和&的值:

（2）求A4CO的面积.

21.(2024•姑苏区校级一模)如图，一次函数》="+〃的图象与反比例函数K=2(x>0)的图象交于点

~x

A(4,l)和点8(2,〃).

(1)求一次函数和反比例函数解析式；

(2)过点8作8C_Ly轴于点C,连接04,求四边形。48c的面枳;

(3)根据图象直接写出使去+成立的x的取值范围.

L

22.(2024♦新北区一模)如图，反比例函数)，=£(x>0)与一次函数y=2x+〃］的图象交于点AQ4),BCLy

X

轴于点。，分别交反比例函数与一次函数的图象于点3、C.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式：

(2)连接/W,若07)=1,求A4HC的面积.

23.（2024•武进区校级模拟）如图，直线），=T+3与），轴交于点A,与x轴交于点。，与反比例函数

y=A（kwO）的图象交于点C,过点C作CBJLx轴于点3,4）=347.

（1）求点A的坐标及反比例函数的解析式；

（2）若点E是直线），=-％+3与反比例函数），=«（〃工0）图象的另一个交点，求△（%>£的面积.

24.（2024•东海县一模）如图1,在平面直角坐标系中，一次函数），=x+h的图象经过点A（-2,0）,与反比

例函数y=A的图象交于9〃,4）,C两点.

x

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点M是反比例函数图象在第一象限上的点，且%皿=4,请求出点M的坐标；

（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象.将该双曲线在第一象限的一支沿射线笈C

方向平移，使其经过点C,再将双曲线在第三象限的一支沿射线C4方向平移，使其经过点4,平移后的两

条曲线相交于p，Q两点，如图2,此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”，PQ为这只“眸”的

“眸径”,请求出“眸径”■。的长.

图1图2

25.（2024•泗阳县校级二模）如图，已知A（-4,〃），伏2,-4）是一次函数），=履+〃的图象和反比例函数y=%

X

的图象的两个交点.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求直线A2与x轴的交点C的坐标及AAOB的面积；

（3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的工的取值范围.

题型二.反比例函数综合题（共8小题）

26.（2024•泰兴市一模）如图1,在平面直角坐标系xO），中，O为坐标原点，点A、C在反比例函数y=±

x

的图象上，点8、。在反比例函数），=-3的图象上，顺次连接这四个点得到四边形

x

（1）若对角线AC、RD交干点.O,首线AC的表达式为y=8x,直线力的表达式为y=—x.

①求证：四边形AAS为平行四边形；

②求一人AC力的面积；

（2）如图2,四边形A48为平夕亍四边形，A5平行于％轴，求AC、放）的交点坐标；

（3）如图3,四边形A4CO为平夕亍四边形，求证：AC,8。相交于点O.

27.（2024•东台市一模）如图，已知4-3,2）,伏〃,-3）是一次函数y=日+力的图象与反比例函数y='的

X

图象的两个交点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求AACM的面积；

（3）在坐标轴上是否存在一点尸，使AAOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标.

28.（2023•泰州）在平面直角坐标系xQy中，点>B（m-a,0）（。>，〃>0）的位置和函数y}=—（x>0）

x

弘=竺二£*〈0）的图象如图所示.以/W为边在x轴上方作正方形A3CD,4）边与函数x的图象相交于

X

点E,CO边与函数为、%的图象分别相交于点G、H,一次函数％的图象经过点E、G,与），轴相交于

点、P,连接

（1）若m=2,々=4,求函数的表达式及APG"的面积；

（2）当“、/〃在满足a>〃?>0的条件下任意变化时，APG”的面积是否变化？请说明理由;

（3）试判断直线与3C边的交点是否在函数乃的图象上？并说明理由.

29.（2024•盐城模拟）【发现问题】

小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值的矩形中，其周长

的取值范围如何呢？

【解决问题】

小明尝试从函数图象的角度进行探究：

（I）建立函数模型

设一矩形的面积为4,周长为〃?，相邻的两边长为x、y,则个=4,2（x+y）=m,即y=±,y=-x+—,

x2

那么满足要求的（M），）应该是函数与），=-X+'的图象在第一象限内的公共点坐标.

x2

（2）画出函数图象

①画函数）,=M（x>0）的图象：

x

②在同一直角坐标系中直接画出y=—x的图象，则），=-%+］的图象可以看成是由y=—x的图象向上平移

个单位长度得到.

（3）研究函数图象

平移直线），=-大，观察两函数的图象；

①当直线平移到与函数），=&*>（））的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为—，周长/〃的值

x

为：

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长加

的取值范围.

【结论运用】

（4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为

---------((I(((A

49一1.2.2.4一$.6i

30.（2023•镇江）如图，正比例函数），=-3工与反比例函数），=々壮0）的图象交于A、两点，C点

x

在龙轴负半轴上，Z4CO=45°.

（1）m-»k=，点C的坐标为；

（2）点P在x轴上，若以B、O、。为顶点的三角形与A4OC相似，求点P的坐标.

31.（2023•连云港）【问题情境建构函数】

（1）如图1,在矩形A8CD中，AB=4,M是8的中点，AEYBM,垂足为石.设8C=x,AE=y,

试用含工的代数式表示A

【由数想形新知初探】

（2）在上述表达式中，），与“成函数关系，其图象如图2所示.若x取任意实数，此时的函数图象是否具

有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象.

【数形结合深度探究】

（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随十的增大而增大;

②函数值y的取值范围是-4&＜），＜4&；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四

点A、B、C、D,使得四边形A8CD是平行四边形.其中正确的是—.（写出所有正确结论的序号）

【拄象回归拓展总结】

（4）若将（1）中的“4?=4”改成"AA=21'.此时），关干戈的函数表达式是：一般地,当人"0.

A•取任意实数时，类比•次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出

3条即可）.

32.(2024•武进区校级模拟)如图，在RtAABC中，4c=8,BC=4,AC_Lx轴，垂足为C,AB边与)，

轴交于点。，反比例函数)，=2(x>0),的图象经过点

x

(1)若肛=:求直线AB和反比例函数的表达式：

AB4

(2)若&=8,将A3边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数f勺图象于点E,交x轴于点尸，求点E的坐

33.(2024•苏州一模)如图，反比例函数y='的图象与一次函数y=七;+。的图象相交于4(3.1),8(-1,〃)

x

两点.

(I)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)设直线交)，轴于点C,点N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形6cMM是平行

四边形，求点M的坐标.

专题02反比例函数大题（二大题型）

压轴题密押

通用的解题思路：

题型一.反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有

交点，方程组无解，则两者无交点.

（2）判断正比例函数），=内1和反比例函数），=上在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

x

①当ki与ki同号时，正比例函数〉=内］和反比例函数），=占2在同一直角坐标系中有2个交点：

x

ko

②当匕与内异号时，1T比例函数、=匕工和反比例函数y=―^在同一百角坐标系中有0个交点.

x

题型二.反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能

力和从实际问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、

待定系数法和其他学科中的知识.

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.已知点在图象上，那么点一定满足这个

函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点乜一定在函数图象上.还能利川图象直接比

较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法.

压轴题预测

题型一.反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题）

k3

1.（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线,二一与直线力=一不交于A,8两点.点A（2,«）和点8（4-3）在

x2

双曲线上，点C为K轴正半轴上的一点.

（1）求双曲线乂=4的表达式和4,力的值；

X

（2）请直接写出使得y＞刈的1的取值范围；

（3）若A48c的面积为12,求此时C点的坐标.

yjk

【分析】（1）把点4（2,0和点8（瓦-3）代入％=3x,求出4与匕的值，再将A点坐标代入y=&,即可求

~2x

出反比例函数解析式；

（2）根据A与8横坐标，利用图象求出反比例函数值大于•次函数值时x的范闱即可；

（3）根据SM8C=SM"+SM"=12,求出0C的长，进而得到此时C点的坐标.

【解答】解：（1）•,•直线过点A（2,4）和点8（。,一3）,

33

d=—x2=3>—b--3,

22

:.b=-2.

,.双曲线x=A过点A（2,3）,

x

A=2x3=6,

・•・双曲线y=4的表达式为X=9；

xx

（2）观察图象，可得当x<-2或0<xv2时，反比例函数值大于一次函数值,

即使得％>必的x的取值范围是/<-2或0<x<2；

(3):3(2,3),5(-2,-3),

SMBC=Sg”+SAW=12,

-OCx3+lc?Cx3=l2，

22

OC=4,

二.此时C点的坐标为(4,0).

【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点

的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键.

2.(2023•苏州)如图，一次函数>，=2x的图象与反比例函数)，=±(x>0)的图象交于点44,〃),将点4沿x

x

轴正方向平移个单位长度得到点B,D为工轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD,

BQ的中点。在反比例函数y=七(x>0)的图象上.

X

(1)求〃,左的值；

(2)当阳为何值时，4/0。的值最大？最大值是多少？

【分析】(1)首先将点A(4,〃)代入y=2x可求出〃，再将点A的坐标代入)，=■%即可求出女：

(2)过点C作直线轴于r，交A4于£,先证AECB和AR7。全等，得BE=DF,CE=CF=4,

进而可求出点C(8,4),根据平移的性质得点B(〃?+4,8),则8E=Ob=加-4,OD=\2-m,据此可得出

ABDD=m(\2-m)f最后求出这个二次函数的最大值即可.

【解答】解：⑴将点4(4,〃)代入y=2x,得：〃=8,

.•.点4的坐标为(4,8),

将点44,8)代入y=A,得:4=32.

x

(2).点K的横坐标大于点。的横坐标，

.•.点B在点。的右侧.

过点C作直线石尸J_x轴于产，交AB于E,

ZB=/CDF,

•・•点C为8。的中点，

BC=DC,

在AEC8和"C。中，

NB=NCDF

BC=DC,

NBCE=NDCF

...AECB^FCD(ASA),

；.BE=DF,CE=CF.

轴,点A的坐标为(4,8),

:.EF=S,

：.CE=CF=4,

.•.点C的纵坐标为4,

由(1)知：反比例函数的解析式为：y=—,

X

.•.当y=4时，％=8,

.•.点。的坐标为(8,4),

.•.点E的坐标为(8,8),点F的坐标为(8.0),

,・•点4(4,8),AB=m,轴，

.•.点8的坐标为(〃?+4,8),

/.BE=in+4-8=/zz-4,

/.DF—BE=m—4,

.•・。。=8—(〃i-4)=12—〃?

AB-OD=/n(l2-in)=-(m-6)2+36

.•.当m=6时,ABOO取得最大值,最大值为36.

【点评】此题主要考查了反比例函数的图象、二次函数的图象和性质，点的坐标平移等，解答此题的关键

是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解点的坐标的平移，难点是在解答（2）时，构造二次函数求最

值.

3.（2024•常州模拟）如图，反比例函数y="的图象与一次函数y=2,x+b的图象交于点A（-1,2）,8（4,--）.

x"2

（1）求函数y=4和y=占工+。的表达式；

（2）若在x轴上有一动点C,当5必8c=2SMOB时，求点。的坐标.

可；

（2）设48与），釉交于点。，过点C作CE//），轴交A8于点E,利用三角形的面积公式，列出方程，求解

即可.

b

【解答】解：（1）将点4-1,2）,8（4,-上I）分别代入反比例函数y=6和一次函数），=&/+〃的解析式，

2x

-k2+/?=2

2

鼠=-\

2

2

.••反比例函数的解析式为：y=-,一次函数的解析式为：y=--x+^.

x22

（2）如图，设八8与），轴交于点O,过点C作CE//），轴交/W于点E,

设C(m,0),

二.E{m—tn+-).

y22

13

CE=|—rn4—|.

22

3

令工=0,则y=e，

/.D(0,-)»

2

3

/.0。=二，

2

-XA)=；xgx|4-(—1)]=日.

-SM8C=2sMQB

解得m=-3或，〃=9,

点C的坐标为（-3,0）或（9,0）.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面枳，求函数的解析式，正确掌握反

比例函数的性质是解题的关键.

4.（2024•常州模拟）如图，一次函数x二h+"2工0）与函数为刈='（工＞0）的图象交于441）,8（1,。）两

x2

点.

（1）求这两个函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足y-片＞0时式的取值范围：

（3）点。在线段AB上，过点。作工轴的垂线，垂足为M,交函数外的图象于点Q，若△尸OQ的面积为3,

求点。的坐标.

【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数）、=丝（工＞0）,求得函数的解析式，进而求得B的坐标,

再将A、3两点坐标分别代入y=h+〃，可用待定系数法确定一次函数的解析式；

（2）由题意即求y的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取

值范围;

i44

（3）由题意，设P（p,-2〃+9）且一效卜4,则Q（〃,一），求得PQ=-2〃+9-一，根据三角形面积公式得到

2PP

5Ayo=:（-2〃+9-±＞〃=3.解得即可.

2p

【解答】解：（1）•.•反比例函数）2='*＞。）的图象经过点A（4,l）,

x

/.m=4.

4

.•.反比例函数解析式为％=-(x>0).

-X

14

把8(—>a)代入y=—(A>0)，得a=8.

22'x

.•.点3坐标为(；，8),

・・・一次函数解析式）履+〃图象经过44.1）,吟8）,

4k+b=\

-k+b=S

2

k=-2

b=9

故一次函数解析式为：y,=-2x+9.

(2)由y-乃>0，

＞），，，即反比例函数值小于一次函数值.

I

由图象可得,2-

(3)由题意，设P(p,—2〃+9)且耳领b4,

4

Q(p,—)•

P

4

/.PQ=—2〃+9——.

P

,14

•••S"OQ=彳(-2〃+9--)•〃=3.

2p

解得Pl=I-»"2=2.

/.P(-,4)或(2,5).

2

【点评】本题主要考杳一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.

5.(2024•沐阳县模拟)如图，反比例函数尸人的图象与一次函数\，=阻+〃的图象相交于,3(-1,3)

x

两点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式：

(2)设直线A8交y轴于点C,点N(1,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NA7_1_大轴交反比例函数

y=B的图象于点M,连接C7V,OM.若鼠边形8的＞3,求/的取值范围.

【分析】(1)将点B,点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和％的值，利用待定系数法可求一次函数

解析式；

(2)先求出点C坐标，由面积关系可求解.

【解答】解：3)•.•反比例函数)=&的图象与一次函数y=〃?x+〃的图象相交于44-1)，8(7,3)两点,

x

=-1x3=ax(-l),

.，.&=-3,a=3,

.•.点A(3,-l),反比例函数的解析式为＞=F，

3=-m+n

由题意可得:

-\-3m+n

m=-\

解得:

n=2

・•・一次函数解析式为），=T+2；

（2）♦,•直线A8交），轴于点C,

.,.点C（0,2）,

31

‘四边形COMN=S&OMN+S&0cz=—+—X2xf,

S四边形COMV>3'

-3+—1xc2x/>3e,

22

3

・・f>一・

2

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的

性质等知识，求出两个解析式是解题的关键.

6.（2024•宿迁二模）已知函数y=J的图象与函数），=6徐工0）的图象交于点P（〃?,〃）

x

（1）若加=2"，求Z的值和点。的坐标.

（2）当|〃?|“|〃|时,结合函数图象，直接写出实数*的取值范围.

【分析】（1）由），=履（女工0）得及=巴，然后由m=2zz可得到&的值，设P（2〃,〃），将点P的坐标代入反比

m

例函数解析式可求得〃的值；

（2）由），=履伏=0）得&=2,然后结合条件|〃?|“|〃|可得々的取值范围.

m

【解答】解：（1）vy=kx（k^Q）,

—=2」.

xm2n2

*.m=2〃，

/.P（2n,n）»

/.2n»n=1,解得：〃=±立^.

2

m=±>J2.

:.P（C,当或（-&,一当.

(2),/y=kx,

.yn

：.k=—=一

xm

v|/n|„\n\,

k.A.

【点评】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解

题的关键.

7.（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xO.v中，一次函数y=gx+5和y=-2x的图象相交于

点A,反比例函数），=七的图象经过点A.

x

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数），=,x+5的图象与反比例函数），=七的图象的另一个交点为3,连接03,求&48。的面

2x

积.

【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得:

（2）联立方程求得交点8的坐标，进而求得直线与％轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可.

【解答】解：⑴由）+5得尸7,

j—Ik4

/.A（-2,4）,

,反比例函数y=-的图象经过点4,

x

.♦.&=-2x4=-8,

・••反比例函数的表达式是尸-e；

8

.•"(—8,1),

由直线AB的解析式为y=；x+5得到直线与x轴的交点为(-10,。)，

SgoB—^xl0x4--^xlOxl=15.

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键.

8.(2023•常,州)在平面直角坐标系中，一次函数)，=心+〃的图象与反比例函数)，=》的图象相交于点42,4)、

x

8(4,〃).C是y轴上的一点，连接CA、CB.

(1)求一次函数、反比例函数的表达式：

(2)若A48C的面积是6,求点。的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法求得即可；

(2)先求得0(0,6),再根据SMBC=-Sgc。得5xCZ)•(4-2)=6,进而得出CD=6,据此可得点C的

坐标.

【解答】解：(1)•・•点4(2,4)在反比例函数)，='的图象上，

x

=2x4=8,

反比例函数解析式为)，=»;

X

Q

又7点8(4,〃)在)，=2上，

x

/./?=2»

.•.点5的坐标为(4,2),

f24+〃=4

把A(2,4)和44,2)两点的坐标代入一次函数)，=心+人得1.

4攵+〃=2

k=-\

解得

b=6

.•.一次函数的解析为)，=-x+6.

(2)对于一次函数1y=—x+6,令x=0,贝ijy=6,

即D(0,6),

根据题意得：S*=Smc”-SMS=5XCD•(4-2)=6,

解得：CD=6,

.•.OC=0或12,

...C(0,0)或(0,12).

【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标

同时满足一次函数与反比例函数解析式.

9.（2024•姜堰区一模）如图，一次函数y=-2x+a的图象与反比例函数为=&（2＞。）的图象在第一象限相

一x

交于点A（m,n）,B（m-2,3〃）.

（1）求〃、A的值；

【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到，〃=3,代入A、B点的坐标再代入一次函数解析

式组成方程组求出〃和〃，最后求出〃值即可；

（2）根据函数图象直接写出当x＞为＞0时自变量取值范围即可.

【解答】解：⑴•・•点4风〃），8（6-2,3〃）都在反比例函数图象上,

inn=3〃x（m-2）,

整理得:2〃（小—3）=0,

m工0,〃工0,

.♦.“I-3=(),解得m=3.

•・,A（3,〃），在直线y=-2x+a的图象上,

••比力IC

二.A（3,2）,

•.A（3,2）在反比例函数图象上，

:.k=6・

・二。=8,k=6・

（2）由（1）可知：43,2）,3（1,6）,根据函数图象可知，时，x的取值范围为：1<X<3.

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键.

10.（2024•昆山市模拟）如图，一次函数），=4.r+"A产0）的图象与反比例函数），="伏，/0）的图象相交于

X.

A,B两点，其中点4的坐标为（-2/），点8的坐标为

（1）求这两个函数的表达式；

（2）根据图象，直接写出满足女科+力>§的取值范围；

（3）求A4BO的面积.

【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；

（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；

（3）根据S,W）B=Sa：+S,xx代入数据计算即可.

【解答】解：（1）4-2,1）,在反比例函数图象上,

j・匕=—2x1=〃9

/.匕=〃=一2

?

.••反比例函数解析式为：y=--，

x

V/1(-2,1),8(1,-2)在一次函数图象上,

-2勺力=1解得:

k}+h=—2

•・「次函数解析式为：y=-x-\.

(2)根据两个函数图象及交点坐标，不等式&■的解集为：x<-2nJcO<A<l.

X

(3)设直线A8与y轴的交点为C,则即0。=1,

113

••5M08=S&A0C+S&B0C=；xlx2+7Xlxl=7。

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式.

L3

11.(2024•兴化市•模)己知函数凹=工(&是常数，4工0),函数%二-±八十9.

x2

(1)若函数y和函数为的图象交于点42,6),点8(4,〃-2).

①求火，〃的值.

②当X>当时，直接写出x的取值范围.

(2)若点C(8,〃i)在函数y的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点。，点。恰

好落在函数M的图象上，求机的值.

【分析】(1)①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可；

②根据图形分布和解答横坐标宜接写出不等式解集即可；

(2)先根据平移条件得到1),再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出〃?值即可.

【解答】解:(1)©-.函数y和函数为的图象交于点42,6),点8(4,〃-2),

.•.&=2X6=4X(〃-2),解得：k=V2,n=5.

17

②由①可知，反比例函数解析式为y="，图象分布在第一、三象限，4(2,6),8(4,3)

「•）i>为时，x的取值范围为：Ovxv2或x>4.

（2）•「点C（8,〃］）在函数y的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左