备考2025年中考数学技巧专题突破（全国）专题1-1 一网打尽全等三角形模型 ·十个模型（解析版）

专题1-1一网打尽全等三角形模型（10个模型）

目录

模型梳理................................................................................................................................................................2

题型一倍长中线模型......................................................................................................................................13

题型二一线三等角模型..................................................................................................................................15

题型三半角模型..............................................................................................................................................22

2022·山东日照真题.....................................................................................................................................23

题型四手拉手模型..........................................................................................................................................30

2022·张家界真题.........................................................................................................................................33

2022·贵阳中考.............................................................................................................................................33

题型五对角互补+邻边相等模型...................................................................................................................43

题型六平行线夹中点模型..............................................................................................................................46

题型七截长补短模型......................................................................................................................................47

题型八绝配角模型..........................................................................................................................................57

2023·深圳宝安区二模................................................................................................................................60

2023·深圳中学联考二模............................................................................................................................61

题型九婆罗摩笈模型......................................................................................................................................67

2022武汉·中考真题....................................................................................................................................68

2020·宿迁中考真题.....................................................................................................................................73

题型十脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）..............................................................................................................84

模型梳理

模型1倍长中线模型

（一）基本模型

A已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延

长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．

BDC

结论1：△ACD≌△EBD．

E

已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点

AE是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，

E使DF＝DE，连接CF．

BDC

F

结论2：△BDE≌△CDF．

（二）结论推导

结论1：△ACD≌△EBD．

证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．

∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．

结论2：△BDE≌△CDF．

证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．

∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．

（三）解题技巧

遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的

顶点，构造出全等三角形．

模型2一线三等角模型

（一）基本模型

C已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，

DAP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．

2

13

APB结论1：△CAP≌△PBD．

D

已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2

＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．

A23

1BP

结论2：△APC≌△BDP．

C

（二）结论推导

结论1：△CAP≌△PBD．

证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．

∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．

结论2：△APC≌△BDP．

证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，

∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．

（三）解题技巧

在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，

再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线

三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．

模型3半角模型

（一）基本模型

等边三角形含半角

已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，

A

BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，

∠EDF＝60°．

E

F

BC结论1：EF＝BE＋CF，

∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．

D

正方形含半角

已知：四边形ABCD是正方形，点E，

ADF分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．

F

结论2：EF＝BE＋DF，

∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．

BEC

等腰直角三角形含半

已知：△ABC是等腰直角三角形，

角

∠＝，点，在上，

ABAC90°DEBC

∠DAE＝45°．

结论：2＝2＋2．

BDEC3DEBDCE

（二）结论推导

结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．

证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

A

∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，

E

F

∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．

BC

∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，

DG

∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．

∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，

∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．

∴∠DEB＝∠DEF．

∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．

结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．

证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．

∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，AD

F

∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．

∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，

GBEC

∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．

∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，

∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．

∴∠AFD＝∠AFE．

∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．

结论3：DE2＝BD2＋CE2．

证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

A

∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，F

∴∠＝，∴2＝2＋2＝2＋2，

ECF90°EFCFCEBDCEBDEC

∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，

∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．

∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，

∴EF＝DE，∴DE2＝BD2＋CE2．

（三）解题技巧

对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．

模型4手拉手模型

（一）基本模型

已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，

AE连接BD，CE相交于O，连接OA．

O

D

结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，

BC结论2：∠BOC＝∠BAC，

结论3：OA平分∠BOE．

（二）结论推导

结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．

证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．

∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE．

AE

结论2：∠BOC＝∠BAC．O

D

F

证明：设OB与AC相交于点F．BC

∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．

∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．

结论3：OA平分∠BOE．

证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．H

AE

O

∵△ABD≌△ACE，∴SABD＝SACE，D

G

△△BC

11

∴BDAG＝CEAH．

22

∵BD＝CE，∴AG＝AH，

∴OA平分∠BOE．

（三）解题技巧

如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角

形，可以用旋转的方法构造旋转全等．

模型5对角互补+邻边相等模型

模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。

如图，EOFECF180，CECF

作垂线旋转

模型6平行线夹中点模型

【结论】如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M为BC中点，则△BME≌△CMF

口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行

模型7截长补短模型

【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长:指在长线段中截取一段等于已知线

段:补短:指将短线段延长,延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词

句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程,截长补短法(往往需证2次全等)。

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，

可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，

∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），

可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，

又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

模型8绝配角模型

（一）基本模型

A已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，

∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．

结论：＝．

EBDCACEC

（二）结论推导

结论：AC＝EC．

证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，

∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．

∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，

∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．

（三）解题技巧

如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一

般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．

模型9婆罗摩笈模型

如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B

【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②SCBE＝SABD，③CE＝2BN．

【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直）

过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，

易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM

∴AP＝DQ

易证：△APN≌△DQN

∴AN＝DN

②如图，由①知，SCBM＝SBAP，SEBM＝SBDQ，SAPN＝SDQN

∴SABD＝SABN＋SDBN＝SBAP＋SAPN＋SBDQ－SDQN

＝SBAP＋SBDQ＝SCBM＋SEBM＝SCBE,即SCBE＝SABD，得证.

③如图，由①得，PN＝QN，

∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.

【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．

【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线）

证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN，

易证：△PAD≌BDA

∴BC＝PD，BE=PA

∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，

又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，

易证：△CBE≌△PAB，

∴∠BCM＝∠ABN，

∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°

∴∠BMC＝90°

模型10脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）

模型成立条件：等腰三角形顶角互补

已知：ABC、ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，

△△

则△BFD是等腰直角三角形.

CC

F

EE

DD

BABA

【证明】法一：倍长中线

延长DF至点G，使得FG=FD，易证DEF≌GCF（SAS）；

△△

所以CG=ED=AD，∠2=∠7；

又∠1+∠2+∠3=360°，

∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），

∠4=∠6=90°；

所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，

所以∠1=∠5；

则BCG≌BAD（SAS），

△△

所以∠DBG=90°，BG=BD；

1

所以BF=DG=DF，BF⊥DF。

2

法二：构造手拉手模型

将△ABC沿AB对称，将△ADE沿AD对称

连接PE，CQ，易知△ACQ≌APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是CPE的中位线，CD是CQE

的中位线，故BF=DF，且BF△⊥FD△△

重点题型·归类精练

题型一倍长中线模型

1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，

求证：AF＝EF．

A

F

E

BDC

证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．

A

F

E

BDC

G

∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．

∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB，

∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，

∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BED．

∵∠AEF＝∠BED，∴∠DAC＝∠AEF，

2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的

延长线于点G，求证：BG＝CF．

G

A

F

BDEC

证明：延长GE到点H，使EH＝EG，连接CH．

G

A

F

BDEC

H

∵点E是BC的中点，∴BE＝CE．

∵∠BEG＝∠CEH，∴△BEG≌△CEH，

∴BG＝CH，∠G＝∠H．

∵EF∥AD，∴∠G＝∠BAD，∠CFE＝∠DAC．

∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠DAC，

∴∠H＝∠CFE，∴CF＝CH，∴BG＝CF．

3．如图，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点．

A

E

C

BFD

证明：过点B作BG∥DE，交EF的延长线于点G．

A

E

C

BFD

G

则∠G＝∠DEF，∠GBF＝∠EDF．

∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，

∴∠ACE＝∠AEC．

∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BCF＝∠DEF，

∴∠G＝∠BCF，∴BG＝BC，∴BG＝DE，

∴△BGF≌△DEF，∴BF＝DF，

即F为BD的中点．

考点分析：全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．

思路点拨：过点B作BG∥DE，交EF的延长线于点G．先根据△ABC≌△ADE，得AC＝AE，BC＝DE，

再证BG＝BC，最后证△BGF≌△DEF即可．

题型二一线三等角模型

基础篇

1．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．

A

D

E

BC

证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBC＝90°．

∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，

∴∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＝∠EBC．

∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴CE＝BD．

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，

则△ACE的面积为_________．

A

D

E

BC

【答案】2

【解析】∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠D＝∠BEC＝90°，

∴∠EBC＋∠ECB＝90°．

∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ECB＝90°

∴∠DCA＝∠EBC．

∵AC＝BC，∴△CDA≌△BEC，

∴AD＝CE，CD＝BE＝6．

∵DE＝4，∴AD＝CE＝2，

11

∴SACE＝CE·AD＝×2×2＝2．

22

△

3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝5，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，连接

BD，则BD的长为_________．

A

D

BC

【答案】10

【解析】过点D作DE⊥BC于点E．

A

D

BCE

∵∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝5，

∴AB＝AC2BC2＝2，∠BAC＋∠ACB＝90°，

∵∠ACD＝90°，∴∠ECD＋∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝∠ECD．

∵∠ABC＝∠E＝90°，AC＝CD，

∴△ABC＝△CED，∴DE＝BC＝1，CE＝AB＝2，

∴BE＝3，∴BD＝BE2DE2＝10．

考点分析：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．

思路点拨：过点D作DE⊥BC于点E，先证△ABC≌△CED，再在Rt△BDE中用勾股定理求解．

4．如图，在Rt△ABC中，ABC90，过点B作BEAC，延长BE到点D，使得BDAC，连接AD，

CD，若AB4，AD5，则CD的长为________．

【答案】58

【详解】解：过D点分别作DGBC于点G，DFAB交BA的延长线于点F，勾股即可

5．如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求证：CD＝AB．

AB

D

C

证明：过点C作CE⊥BD于点E．

AB

E

D

C

∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，

∴∠ABD＋∠CBE＝90°．

∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE．

∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴AD＝BE．

∵BD＝2AD，∴BD＝2BE，∴BE＝DE，

∴BC＝CD，∴CD＝AB．

提高篇

6．如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，点E在BC上，点F是CE的中点，

连接AF，DF，求证：AF＝DF且AF⊥DF．

A

E

B

FC

D

【解析】证明：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H．

A

HEG

B

FC

D

∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴AG＝1BC，BH＝1BE．

22

∵点F是CE的中点，∴CF＝1CE，

2

1

∴FH＝BC－BH－CF＝BC－BE－CE＝BC，

112

22

∴AG＝FH，∴FG＝FH－GH＝AG－GH＝BG－GH＝BH＝DH．

∵∠AGF＝∠FHD＝90°，∴△AFG≌△FDH，

∴AF＝DF，∠AFG＝∠FDH．

∵∠DFH＋∠FDH＝90°，∴∠DFH＋∠AFG＝90°，

∴∠AFD＝90°，∴AF⊥DF．

考点分析：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．

思路点拨：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H．先根据等腰直角三角形的性质推导等线

段，再证△AFG≌△FDH，即可得到结论．

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，

则△ACE的面积为_________．

A

ED

BC

【答案】8

【解析】过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F．

A

F

ED

BC

∵CE⊥BD，AF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFA＝90°，

∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠BCE＝90°，

∴∠FCA＝∠EBC．

∵AC＝BC，∴△CAF≌△BCE，

11

∴AF＝CE＝4，∴SACE＝CE·AF＝×4×4＝8．

22

△

8．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，点A在边DE上，连接BE交CD

于点F，求证：AE＝2DF．

E

A

D

F

BC

【答案】证明：过点B作BG⊥CD于点G．则∠BGC＝∠CDA＝90°，

E

A

D

F∴∠GBC＋∠GCB＝90°．

G

BC

∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠GCB＝90°，

∴∠DCA＝∠GBC．

∵AC＝BC，∴△CAD≌△BCG，

∴AD＝CG，CD＝BG．

∵CD＝DE，∴AE＝DG，BG＝DE．

∵∠BFG＝∠EFD，∠BGF＝∠EDF＝90°，

∴△BFG≌△EFD，∴FG＝DF，

∴AE＝DG＝2DF．

9．如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DE⊥AC于

点E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的长．

A

E

D

B

C

解：过点B作BF⊥AC于点F．

A

E

D

BF

C

∵∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠DAE＝90°．

∵∠AFB＝90°，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAE．

∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE，

∴AF＝DE＝8．

∵BE＝BC，BF⊥AC，∴EF＝CF．

设EF＝CF＝x，则AE＝8－x，AD＝AC＝8＋x．

在Rt△AED中，82＋(8－x)2＝(8＋x)2，

解得x＝2，∴AE＝8－x＝6．

10．如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接CF．

（1）求∠AFD的度数；

（2）求证：AF⊥CF．

AD

EF

BC

【答案】解：（1）过点A作AG⊥AF交DE于点G．

AD

GN

M

EF

BC

∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠FAG＝∠BAD，∴∠FAB＝∠GAD．

∵AF平分∠BAE，∴∠FAB＝∠FAE，

∴∠FAE＝∠GAD．

∵AE＝AB，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADG．

∴△AEF≌△ADG，∴AF＝AG，

∴∠AFD＝∠AGF＝45°．

（2）分别过点A，C作DE的垂线，垂足为M，N．

则∠AMD＝∠DNC＝90°，∴∠ADM＋∠DAM＝90°．

∵正方形ABCD，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠ADM＋∠CDN＝90°，∴∠DAM＝∠CDN，

∴△ADM≌△DCN，∴AM＝DN，DM＝CN．

∵∠AMF＝90°，∠AFD＝45°，∴AM＝FM，

∴DN＝FM，∴DM＝FN，∴CN＝FN，

∴∠CFN＝45°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥CF．

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DF

＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．

A

D

E

BCF

解：过点A作AG⊥AB，过点B作BG⊥BC，AG与BG交于点G，

连接GF与AC交于点O，则∠GAB＝∠BDF＝90°．

∴∠GBA＋∠AGB＝∠GBA＋∠DBF＝90°，

G

A

O

D

E

BCF

∴∠AGB＝∠DBF．

∵AB＝AC＝DF，∴△AGB≌△DBF，

∴∠AGB＝∠ABC，AG＝DB，∴∠BGF＝∠BFG＝45°．

设∠BAC＝2x，则∠ABC＝∠ACB＝90°－x，∠GAO＝90°＋2x，

∴∠AGB＝∠ABC＝90°－x，∴∠AGO＝45°－x，

∴∠AOG＝45°－x，∴∠AGO＝∠AOG，

∴AG＝AO，∴DB＝AO．

∵AG⊥AB，DF⊥AB，∴AG∥DF，∠AGO＝∠EFO．

∵∠AOG＝∠EOF，∴∠EFO＝∠EOF，EF＝EO，

∴AD＋DE＝AB－DB－DF－EF＝m－AO－m－OE

＝2m－AE＝2m－n．

题型三半角模型

例题

例1如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，

F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________．

A

E

F

BC

D

考点分析：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质．

思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC

＝2AB＝2．

【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝

2AB＝2．

例2如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形

ABCD的边长为_________．

AD

F

BEC

【答案】1

【解析】由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝

2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1．

思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC

＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1．

例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，则

BF的长为_________．

C

AEFB

【答案】5

【解析】由半角模型可知EF2＝AE2＋BF2，则BF＝EF2AE2＝3222＝5．

222

思路点拨：由半角模型可知＝＋，则＝22＝．

EFAEBFBFEFAE5

2022·山东日照真题

例4如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以

CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．

（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；

（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；

②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

AA

EP

MEPM

F

F

CNBCNB

图1图2

思路点拨：（1）由条件可得S矩形PMCN＝SABC，则SPEF＝SAEM＋SBFN，EF2＝AE2BF2，

由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形；（2）①过点C作CH⊥EF于点H．当a＝b时，可得CM

△△△△

＝CN＝CH，△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，则∠ECM＝∠ECH，∠FCN＝∠FCH，∠ECF＝∠ECH＋

1

∠FCH＝∠ACB＝45°；②将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．可证△CEF≌△CGF，

2

则①中的结论成立．

【解析】（1）由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形，理由如下：

1

∵SABC＝44＝8，S矩形PMCN＝ab＝8，

2

∴S△ABC＝S矩形PMCN，∴SPEF＝SAEM＋SBFN，

121212

∴△EF＝AEBF，∴E△F2＝AE2△BF2，△

444

∴由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形．

（2）①当a＝b时，a2＝8，∴CM＝CN＝a＝22．

如图1，过点C作CH⊥EF于点H．

∵AC＝BC＝4，∴CH＝22，∴CM＝CN＝CH，

∴△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，

∴∠ECM＝∠ECH，∠ECN＝∠FCH，

1

∴∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°．

2

②当a≠b时，①中的结论仍然成立，理由如下：

如图2，将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．

则∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2BF2＝AE2BF2．

∵EF2＝AE2BF2，∴EF＝FG．

∵CE＝CG，CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，

11

∴∠ECF＝∠GCF＝∠ECG＝∠ACB＝45°．

22

A

A

MEP

MEP

HF

F

CNB

CB

NG

图1图2

基础

1．如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，

若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________．

A

E

F

BC

D

【答案】1

【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝

2AB＝4，∴AB＝2．∵BE＝1，∴AE＝1．

2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EF＝BE＋DF．

（1）求证：∠EAF＝45°；

（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG．探究BC，CF与CG的数量关系，并证明．

AD

F

C

BE

G

【解析】解：（1）延长CB到点P，使BP＝DF，连接AP．

∵正方形ABCD，∴∠ABP＝∠D＝90°，AB＝AD，

∴△ABP≌△ADF，∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF．

∴∠PAF＝∠BAD＝90°．

∵EF＝BE＋DF，EP＝BE＋BP，∴EF＝EP．

∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEP，

∴∠EAF＝∠EAP＝45°．

（2）过点G作GH⊥DC于点H．

∵△ABP≌△ADF，∴∠P＝∠AFD．

∵△AEF≌△AEP，∠AEF＝∠P，∴∠AEF＝∠AFD．AD

∵FG平分∠EFC，∴∠EFG＝∠GFH，F

∴∠AFE＋∠EFG＝∠AFD＋∠GFH＝90．

∵∠EAF＝45°，∴AF＝FG，∴△ADF≌△FHG，C

PBE

∴AD＝FH，DF＝GH．GH

∵AD＝DC，∴FH＝DC，

2

∴CH＝DF，CH＝GH＝CG，

2

22

∴FH－CF＝CG，∴BC－CF＝CG．

22

提高

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分

别在边AC，BC上，且∠EPF＝45°，则△CEF的周长为_________．

C

F

E

P

AB

【答案】4

【解析】过点P作AC，BC，AB的垂线，垂足为M，N，H．

C

F

EN

M

P

AHB

∵两锐角的角平分线交于点P，∴PM＝PH＝PN，

∴四边形PMCN是正方形，∴CM＝CN＝PM＝PN．

∵∠EPF＝45°，∴EF＝EM＋FN．

1111

∵SABC＝ACPMBCPNABPH＝ACBC，

2222

∴PM△(AC＋BC＋AB)＝ACBC，

∴PM(6＋8＋10)＝6×8，∴PM＝2，CM＝CN＝2，

∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EM＋FN＝CM＋CN＝2＋2＝4．

4．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F，连接

EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ＝_________．

DC

PE

Q

FAB

【答案】52

3

【解答】连接DQ，过点F作FG⊥FB，交CA的延长线于点G．

DC

PE

Q

FAB

G

∵正方形ABCD，∴DA＝DC，∠DAF＝∠DCE＝∠ADC＝∠B＝90°，∠QCE＝45°，

∴FG∥BC，∴∠G＝∠QCE＝45°，∴AF＝FG．

∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，

∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE，DF＝DE，

∴FG＝CE，∴△FQG≌△EQC，

∴QE＝QF，QG＝QC，∴∠QDE＝45°，

∴AQ2＋CP2＝PQ2．

∵正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，

∴AC＝42，AF＝CE＝2，∴AG＝22，

∴CG＝62，∴QG＝QC＝32，∴AQ＝2，

52

∴(2)2(32PQ)2＝PQ2，解得PQ＝．

3

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上一点，将△BCD沿BD翻折得到△

122

BED，延长DE到点F，使∠DBF＝45°，若S△ADF＝S△BEF，则CD＋EF的值是_________．

4

F

A

E

D

BC

【答案】33

【解析】将四边形AFBC补成矩形GHBC，使点F在GH上．

HFG

A

E

D

BC

∵∠DBF＝45°，∴∠HBF＋∠DBC＝∠EBF＋∠DBE．

∵∠DBC＝∠DBE，∴∠HBF＝∠EBF．

∵∠H＝∠BEF＝90°，BF＝BF，∴△BHF≌△BEF，

∴BH＝BE＝BC＝8，∴HF＝EF，四边形GHBC是正方形，

∴DF＝DE＋EF＝CD＋HF．

设CD＝a，HF＝b，则DF＝a＋b，DG＝8－a，FG＝8－b，

在Rt△DFG中，(8－a)2＋(8－b)2＝(a＋b)2，

整理得64－8a－8b＝ab．①

1

∵SADF＝SBEF，∴SBHF＝SBEF＝4SADF，

4

△△△△△

∴8b＝4(6－a)(8－b)，

整理得8a＋8b－48＝ab．②

由①②解得a＋b＝7，ab＝8，

∴CD2＋EF2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝72－2×8＝33．

6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF＝45°．

（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；

（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的边长．

F

A

D

BCE

【解析】（1）证明：在BC上截取BG＝DF，连接AG．

F

A

D

BGCE

∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，

∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF．

∵∠BAD＝90°，∴∠BAG＋∠DAG＝90°，

∴∠DAF＋∠DAG＝90°，∴∠GAF＝90°．

∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝∠EAF＝45°，

∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF，

∴EF＝EG＝BE－BG＝BE－DF．

（2）设正方形ABCD的边长为x．

则CF＝x＋2，EF＝BE－DF＝BC＋CE－DF＝x＋5－2＝x＋3．

在Rt△CEF中，52＋(x＋2)2＝(x＋3)2，

解得x＝10，即ABCD的边长为10．

7．（1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在线段BC上，∠EAF＝45°，

用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；

（2）拓展应用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线

上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的长．

AA

BEFCBECF

图1图2

【答案】（1）BE2＋CF2＝EF2．

证明：如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ACD，连接DF．

D

AA

D

BEFCBECF

图1图2

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠ACD＝∠B＝45°，∴∠DCF＝90°，

∴CD2＋CF2＝DF2，∴BE2＋CF2＝DF2．

∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠CAF＝45°，

∴∠CAD＋∠CAF＝45°，∴∠EAF＝