备考2025年中考数学技巧专题突破（全国）专题2-2 费马点与加权费马点详细总结（解析版）

专题2-2费马点与加权费马点详细总结

知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题型一普通费马点最值问题

题型二加权费马点·单系数型

题型三加权费马点·多系数型

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图ABC所有的内角都小于120度，在ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，

当PA＋PB＋PC的△值最小时，求此时∠APB与∠APC的△度数.

【问题处理】如图1，将ACP绕着点C顺时针旋转60度得到A’CP’，则ACP≌A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，

又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC，△∴PA＋PB△＋PC＝△P’A’＋PB＋PP’，

△

如图2，当且仅当点B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC最小，最小值为A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝

120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：

1对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

2对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．

【如何作费马点】如图3，连接AA’，我们发现ACA’为等边三角形，点P在A’B上，同理，我们可以得到等边

BAB’，点P也在CB’上，因此，我们可以以A△BC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交

△点即为费马点。（最大角小于120°时）△

【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

【答案】62

2

【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位

置？这不重要！

如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根

据勾股定理，BD2BH2DH2即可得出结果．

【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME

的最小值为______．

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．

分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，

易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【类型一单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：2对应旋转90°，3对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求AP＋BP＋2PC的最小值

【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩

【策略一：旋转特殊角】如图1，APC绕点C逆时针旋转90°，易知P’P＝2PC，A’B即为所求

△

方法一：如图2，B，P，P’，A’共线时取最小，此时∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝22，

PC＝CH－PH＝232，∴PP’＝2622，PB＋PP’＋A’P’＝2622

方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝23BH423，由勾股可得A’B＝

2622

【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）

如图4，将三角形BPC绕点B旋转45°，再扩大为原来的2倍，得到△BP'C'

则AP＋BP＋2PCAP＋PP'P'CAC'

补充：也可以按图5方式旋转

【练习2】在△ABC中，AC＝3，BC＝23，P为三角形ABC内部一点，求AP＋BP＋3PC的最小值

Rt

【策略一：旋转特殊角】如图1，APC绕点C逆时针旋转120°，则有PP’＝3PC，

AP＋BP＋PC＝AP'＋BP＋PP'A△'B27

【策略二：旋转放缩】如图2，APC绕点A逆时针旋转30°，再扩大为原来的3倍，

△

则AP＋BP＋3PCPP'＋BPP'C'BC'，计算略

【类型二多系数类】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

【例3】如图，在△ABC中，ACB60，BC3，AC4，在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，

1331

则（1）PAPBPC的最小值为________；（2）PAPBPC的最小值为________

2222

11

【简答】（1）将最小系数提到括号外，得到(PA3PB2PC)

22

中间大小系数为3，故放大倍数为3倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转△PBC．

如图1，将△PBC绕点C逆时针旋转90°，并放大为3倍，B'P'3BP，PP'2PC．

11179

PA3PB2PCPAPP'P'B'AB'．

2222

11

（2）将最小系数提到括号外，得到(3PAPB2PC)，

22

如图2，将△APB绕点C逆时针旋转90°，并放大为3倍，A'P'3AP，PP'2PC．

111

(3PAPB2PC)A'P'BPPP'A'B93

222

【练习3】如图，在△ABC中，ACB60，BC33，AC6，在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，

则2PAPB5PC的最小值为________．

【简答】将△PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到△PAC，PA2PA，PP5PC

2PAPB5PCAPPPPBAB，AC2AC12，A'CB9060150，

13

AHAC6，CHAC63，BH93，由勾股定理可得AB331，

22

2PAPB5PC的最小值为331.

题型一普通费马点最值问题

1．（2021滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P是△ABC内一点，则

PA＋PB＋PC的最小值为_________．

B

P

CA

【答案】7

【解析】将△ABP绕点A顺时针旋转60°到△AB′P′，连接P′P，B′C．

B'

P'

B

P

CA

则AB′＝AB＝2，PB＝P′B′，∠BAB′＝60°，PA＝P′A，∠PAP′＝60°，

∴△P′PA是等边三角形，∴PA＝P′P．

∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝90°，

3

∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝3，

2

∴B′C＝AC2BA2＝7．

∵PA＋PB＋PC＝P′P＋P′B′＋PC≥B′C，

∴PA＋PB＋PC的最小值为7．

2．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA

＋PC＝PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝42，点O是△MNG内一点，则点O到△

MNG三个顶点的距离和的最小值是______．

【解析】过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG＝75°，∠GMH＝60°，可得∠HMQ＝45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ＝HQ＝4，∴NH＝

NQ2HQ210016229

4．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

【解析】如图1，以AD为边构造等边ACD，连接BD，BD的长即为PA＋PB＋PC的最小值．

考虑到ABC和ACD都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形

△

如图2，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，222

△△BDBHDH=6+2

图1图2

5．已知，在ABC中，∠ACB＝30°，AC＝4，AB＝7(CBCA)点P是ABC内一动点，则PA＋PB＋PC

的最小值△为________△

原图图1

【解析】如图1，将APC逆时针旋转30°，得AP’C’，BC’即PA＋PB＋PC最小值，考虑到∠

BCA＝30°，∴∠△BCC’＝90°，作AH⊥BC，△可得BC＝33，∴BC’＝43

6．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋

ME的最小值为______．

【解析】如图1，依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边ADF、

等边AMG，连接FG，易证AMD≌△AGF，∴MD＝GF∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF

△

如图2，过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．FG＝4＋

△△23

7．A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之

间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，则应当如何修建？最小

长度是多少？

【解析】如图1，ABP绕点B逆时针旋转60°，得到A’P’B；同样，将DCQ绕点C顺时针旋转60°，得到

D’CQ’，连结A’A、D’D，则ABA’、DCD’均为等边三角形，连结PP’、QQ’，则BPP’，

△△△

QCQ’均为等边三角形，AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ＝A’P’＋PP’＋PQ＋QQ’＋DQ’

△△△△

△

如图2，当点A’，P’，P，Q，Q’，D’共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段A’D’的长，此时点P，

Q在A’D’上，最小值为．

223a

2023·随州中考真题

8．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，

该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点）

当ABC的三个内角均小于120时，

如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60得到APC，连接PP，

由PCPC，PCP60，可知△PCP为①三角形，故PPPC，又PAPA，故

PAPBPCPAPBPPAB，

由②可知，当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，如图2，最小值为AB，此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有APCBPCAPB③；

已知当ABC有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若BAC120，

则该三角形的“费马点”为④点．

(2)如图4，在ABC中，三个内角均小于120，且AC3，BC4，ACB30，已知点P为ABC的“费

马点”，求PAPBPC的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC4km，BC23km，ACB60．现欲

建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a

元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果

用含a的式子表示）

【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120；④．

(2)5

A

(3)213a

【解题思路】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

（2）根据（1）的方法将△APC绕，点C顺时针旋转60得到APC，即可得出可知当B，P，P，A在同

一条直线上时，PAPBPC取最小值，最小值为AB，在根据ACB30可证明

ACAACPBCPPCP90，由勾股定理求AB即可，

（3）由总的铺设成本a(PAPB2PC)，通过将△APC绕，点C顺时针旋转90得到APC，得到等

腰直角PPC，得到2PCPP，即可得出当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPP取最小值，

即PAPB2PC取最小值为AB，然后根据已知和旋转性质求出AB即可．

【详解】（1）解：∵PCPC，PCP60，

∴△PCP为等边三角形；

∴PPPC，PPCPPC60，

又PAPA，故PAPBPCPAPBPPAB，

由两点之间线段最短可知，当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，

最小值为AB，此时的P点为该三角形的“费马点”，

∴BPCPPC180，APCPPC180，

∴BPC120，APC120，

又∵APCAPC，

∴APCAPC120，

∴APB360APCBPC120，

∴APCBPCAPB120；

∵BAC120，

∴BCAC，BCAB，

∴BCABACAB，BCACABAC，

∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．

又∵已知当ABC有一个内角大于或等于120时，“费马点”为该三角形的某个顶点．

∴该三角形的“费马点”为点A，

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120；④A．

（2）将△APC绕，点C顺时针旋转60得到APC，连接PP，

由（1）可知当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPC取最小值，最小值为AB，

∵ACPACP，

∴ACPBCPACPBCPACB30，

又∵PCP60

∴BCAACPBCPPCP90，

由旋转性质可知：ACAC3，

∴ABBC2AC242325，

∴PAPBPC最小值为5，

（3）∵总的铺设成本PAaPBaPC2aa(PAPB2PC)

∴当PAPB2PC最小时，总的铺设成本最低，

将△APC绕，点C顺时针旋转90得到APC，连接PP，AB

由旋转性质可知：PCPC，PCPACA90，PAPA，ACAC4km，

∴PP2PC，

∴PAPB2PCPAPBPP，

当B，P，P，A在同一条直线上时，PAPBPP取最小值，即PAPB2PC取最小值为AB，

过点A作AHBC，垂足为H，

∵ACB60，ACA90，

∴ACH30，

1

∴AHAC2km，

2

∴HCAC2AH2422223(km)，

∴BHBCCH2323=43(km)，

∴ABAH2BH2(43)222213(km)

PAPB2PC的最小值为213km

总的铺设成本PAaPBaPC2aa(PAPB2PC)=213a（元）

广东省江门市一模

9．如图，在ABC中，BAC90,AB5,AC23，点P为ABC内部一点，则点P到ABC三个顶点

之和的最小值是．

【答案】67

【分析】将ABP绕着点A顺时针旋转60，得到△AEH，连接EP，CH，过点C作CNAH，交HA的

延长线于N，由旋转的性质可得BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，易得

△AEP是等边三角形，可得AEAPEP，进而得到APBPPCEPEHPC，当点H、E、P、C共

线时，APBPPC有最小值HC，再求出CN和HN的长度，由勾股定理可求解．

【详解】解：将ABP绕着点A顺时针旋转60，得到△AEH，连接EP，CH，过点C作CNAH，交HA

的延长线于N，

∴BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，

∴HABEAP60，

∴△AEP是等边三角形，

∴AEAPEP，

∴APBPPCEPEHPC，

∴当点H、E、P、C共线时，APBPPC有最小值HC．

∵NAC180BAHBAC180609030，AC23，

1

∴CNAC3，

2

22

∴ANAC2CN22333，

∴HNAHAN538．

2

在Rt△CNH中，CHHN2CN282367，

即点P到ABC三个顶点之和的最小值是67

武汉中考

10．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：

PA+PC=PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG

三个顶点的距离和的最小值是______．

【答案】229

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，

直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最

小值．（此处不再证明）

过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，

根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，

∴MQ=HQ=4，

∴NH=NQ2HQ210016229．

2023·四川宜宾·中考真题

11．如图，抛物线yax2bxc经过点A3,0，顶点为M1,m，且抛物线与y轴的交点B在0，2和

0，3之间（不含端点），则下列结论：

①当3x1时，y0；

333

②当ABM的面积为时，a；

22

③当ABM为直角三角形时，在AOB内存在唯一点P，使得PAPOPB的值最小，最小值的平方为

1893．

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②

【解题思路】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为

yax1x3，即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点O为

旋转中心，将AOB顺时针旋转60至AOA'，连接AA'，PP'，A'B，得到PAPOPBP'A+PP'PBA'B，

判断③．

【详解】解：∵抛物线yax2bxc经过点A3,0，顶点为M1,m，

∴对称轴x=1，

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为1,0，

由图象可得：当3x1时，y0；

∴①正确，符合题意；

∵抛物线与x轴的另一交点坐标为1,0，

∴设抛物线为yax1x3，

当x=1时，y4a，当x=0时，y3a，

∴M1,4a，B0,3a，

如图所示，过点M作平行于y轴的直线l，过点A作AEl，过点B作BNl，

133

∴SVSVSVMFAO=，

ABMAMFBMF22

设直线AB的解析式为yk'xb'，

3k+b0

把B0,3a，A3,0代入得：，

b3a

ka

解得：，

b3a

∴直线AB的解析式为yax3a，

当x=1是，y2a，

∴F1,2a，

∴MF2a，

133

∴2a3=，

22

3

解得：a，故②正确；

2

∵点B是抛物线与y轴的交点，

∴当x0时，y3a，

∴B0,3a，

∵ABM为直角三角形，

当AMB90时，

∴AM2BM2AB2，

222222

∵AM=24a416a2，BM=1a1a2，AB=33a99a2，

∴416a21a299a2，整理得：8a24，

22

解得：a或（舍）

22

32

∴B0,，

2

当ABM90时，

∴AB2BM2AM2，

∴416a299a21a2，整理得：6a26

解得：a1或1（舍）

∴B0,3，

当MAB90时，

∴AB2AM2BM2，

∴416a21a299a2，无解；

以点O为旋转中心，将AOB顺时针旋转60至AOA'，连接AA'，PP'，A'B，如图所示，

则AOA'，POP'为等边三角形，

∴OP=PP'，APAP'，

∴PAPOPBPA+PPPBAB，

∵AOA'为等边三角形，A3,0

3

333

∴x'=，y'=tan60=，

A2A22

骣

'琪333

∴A琪,，

桫琪22

32

当B0,时，

2

骣2骣2

'2琪3琪33325496

∵AB=琪+琪+=+，

桫琪2桫琪2242

当B0,3时，

骣2骣2

'2琪3琪33

AB=琪+琪+3=18+93，此时不符合题意，故③错误；

桫琪2桫琪2

故答案为：①②．

一题四问，从特殊到一般

12．背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图

1，当ABC三个内角均小于120°时，费马点P在ABC内部，当APBAPCCPB120时，则

PAPBPC取得最小值．

(1)如图2，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数，为

了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时ACP≌ABP这样就可以利用旋转变换，

将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出APB_______；

知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问

题．

(2)如图3，ABC三个内角均小于120°，在ABC外侧作等边三角形ABB，连接CB，求证：CB过ABC

的费马点．

(3)如图4，在RTABC中，C90，AC1，ABC30，点P为ABC的费马点，连接AP、BP、CP，

求PAPBPC的值．

(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB2；求AEBECE

的最小值．

【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)7；(4)62．

【分析】（1）根据旋转性质得出ABP≌△ACP，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

根据ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股

定理逆定理22222，得出是直角三角形，∠，可求∠∠

△PPPC3425PC△PP′CPP′C=90°AP′C=APP+

∠即可；

PPC=60°+90°=150°△

（2）将APB逆时针旋转60°，得到AB′P′，连结PP′，根据APB≌AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

根据∠PAP′=∠BAB′=60°，APP′和ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据PAPBPCPPPBPC，

△△△△

根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，点P在CB′上即可；

△△

（3）将APB逆时针旋转60°，得到AP′B′，连结BB′，PP′，得出APB≌△AP′B′，可证APP′和ABB′均

为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据PAPBPCPPPBPC，可得点C，点P，

△△△△△

点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理

BC=AB2AC222123，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在RtCBB′

2

中，B′C=BC2BB23227即可；△

（4）将BCE逆时针旋转60°得到CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出

BCE≌CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证ECE′与BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，

△△

∠B′BC=60°，AEBECEAEEEEB，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，

△△△△

AEBECEAEEEEB最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求

11

∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=BB21，勾股定

22

理BF=BB2BF222123，可求AF=AB+BF=2+3，再根据勾股定理

2

AB′=AF2BF2231262即可．

【详解】（1）解：连结PP′，

∵ABP≌△ACP，

∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，

∴△APP′为等边三角形，

,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，

在P′PC中，PC=5，

22222，

PP△PC3425PC

∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，

∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，

∴∠APB=∠AP′C=150°，

故答案为150°；

（2）证明：将APB逆时针旋转60°，得到AB′P′，连结PP′，

∵△APB≌AB′P′，

△△

∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

△

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，

∴△APP′和ABB′均为等边三角形，

∴PP′=AP，

△

∵PAPBPCPPPBPC，

∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，

∴点P在CB′上，

∴CB过ABC的费马点．

（3）解：将APB逆时针旋转60°，得到AP′B′，连结BB′，PP′，

∴△APB≌△AP′B′，

△△

∴AP′=AP，AB′=AB，

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，

∴△APP′和ABB′均为等边三角形，

∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，

△

∵PAPBPCPPPBPC

∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，PAPBPC最小=CB′，

∵C90，AC1，ABC30，

∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=AB2AC222123

∴BB′=AB=2，

∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，

2

∴在RtCBB′中，B′C=BC2BB23227

∴PA△PBPC最小=CB′=7；

（4）解：将BCE逆时针旋转60°得到CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，

∴△BCE≌△CE′B′，

△△

∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，

∵∠ECE′=∠BCB′=60°，

∴△ECE′与BCB′均为等边三角形，

∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，

△

∵AEBECEAEEEEB，

∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，AEBECEAEEEEB最小=AB′，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=2，∠ABC=90°，

∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，

∵B′F⊥AF，

11

∴BF=BB21，BF=BB2BF222123，

22

∴AF=AB+BF=2+3，

2

∴AB′=AF2BF2231262，

∴AEBECE最小=AB′=62．

题型二加权费马点·单系数型

2023·武汉·慧泉中学校月考

3

13．如图，Rt△ABC中，CAB30，BC，点P为ABC内一点，连接PA,PB,PC，则PCPB3PA

2

的最小值为.

3

【答案】13

2

【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得DP3AP，于是所求

PCPB3PA的最小值转化为求DEPDPB的最小值，根据两点之间线段最短可得DEPDPB的最

小值即为线段EB的长，然后求出EB的长即可解决问题.

【详解】解：将△ACP绕点A逆时针旋转120，得到△AED，连接DP,EB，过点E作EFBA交BA的延

长线于点F，过点A作AMDP于点M，如图，

则ADAP,DECP,DAP120,EAC120，

∵AMDP，

∴DMPM,ADMAPM30，

1

∴AMAP，

2

3

∴PMAP2AM2AP，

2

∴DP2PM3AP，

∴PCPB3PADEPDPBEB，即PCPB3PA的最小值为EB的长（当点E、D、P、B四点

共线时取最小值），

3

∵Rt△ABC中，CAB30，BC，

2

2

233

∴AB2BC3,AC33，

22

33

∴AEAC，

2

∵CAB30,EAC120，

∴EAF30，

1339

则在直角三角形AEF中，EFAE,AF3EF，

244

22

92133213

∴BF3，∴22

BEBFEF13

44442

西安市铁一中二模

14．已知，如图在ABC中，ACB30，BC5，AC6，在ABC内部有一点D，连接DA、DB、DC．则

DADB2DC的最小值是．

【答案】91．

【分析】把CDB顺时针旋转90°到CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，则CD=CD′，BD=B′D′，

51753

∠CDD′=∠C△D′D=45°，可求DD′=△2CD，在RtCEB′中，可求CE=，AE=，BE=，当点A、D、

222

D′、B′四点在一直线时，AB′最短，可求AB′=BD△+2CD+AD=91．

【详解】解：把CDB顺时针旋转90°到CD′B′，过B′作B′E⊥AC，交AC延长于E，

则CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，

△△

∴DD′=CD÷cos45°=2CD，

∵ACB30，BCB90，

∴BCE180ACBBCB180309060，

在RtCEB′中，

15

∴CE△=B′C·cos60°=5=，

22

517

∴AE=AC+CE=6+=，

22

353

∴BE=B′C·sin60°=5=，

22

当点A、D、D′、B′四点在一直线时，AB′最短，

2

2

∴221753364，

AB′最短=AEBE91

222

AB′=B′D′+D′D+AD=BD+2CD+AD=91．

故答案为：91．

2023·成都市郫都区中考二模

15．如图，矩形ABCD中，AB2，BC3，点E是AB的中点，点F是BC边上一动点．将ABEF沿着EF

翻折，使得点B落在点B'处，若点P是矩形内一动点，连接PB、PC、PD，则PB'2PCPD的最

小值为．

【答案】261

【分析】将△CDP绕点C顺时针旋转90得到CDP，连接PP，连接ED'，由等腰三角形CPP'得出

PP'2PC，再由折叠得出点B'的轨迹在点E为圆心，EB为半径的圆周上，所以EB'PB'PP'P'D'的

最小值为ED'，即PB'2PCPD的最小值为ED'EB'，经计算答出答案即可．

【详解】解：将△CDP绕点C顺时针旋转90得到CDP'，

连接PP'，连接ED'，

则B，C，D'共线，PDP'D'，

CD'CDAB2，

PP'2PC，

点E是AB的中点，

11

EBAB21，

22

BD'BCCD'325，

ED'BE2D'B2

1252

26，

由△BEF折叠成B'EF，

EBEB'EA，

点B在以点E为圆心，EB为半径的圆上，

EB'1，

两点间线段最短，

ED'EB'PB'PP'P'D'，

即ED'EB'PB'2PCPD

261PB'2PCPD，

PB'2PCPD261，

则PB'2PCPD的最小值为261．

故答案为：261．

题型三加权费马点·多系数型

15

16．在边长为4的正△ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）²的最小值

22

【解析】如图1，APC绕点C逆时针旋转90°，取P’C，A’C的中点M，N

511

易知PM＝PC，△MN＝P’A’＝PA，

222

15

则AP＋BP＋PC＝MN＋BP＋PM≤BN，BN²＝20＋83即为所求

22

17．在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP＋4BP＋5PC的最小值

33

【解析】如图1，APC绕点C逆时针旋转90°，在P’C，A’C上取M，N，使CM＝CP’，CN＝CA’，

44

5△33

易知PM＝PC，MN＝P’A’＝PA，3AP＋4BP＋5PC＝4（MN＋BP＋PM）≤BN

444

成都七中育才学校月考

18．在ABC中，AB3，AC4，BAC的角平分线交BC于E，过C作射线AE的垂线，垂足为D，连

3PC4PD5PA

接BD，当S△S△取大值时，在ACD内部取点P，则的最小值是．

ACEBED4

【答案】29

【分析】延长CD交AB于点F，过点A作BC边上的高AH，得出ADF≌ADC，则BF1，根据AD是

BE3

BAC的角平分线，得出，设S3S，则S4S，过点D分别作AF,AC的垂线，垂足为M,N，

EC4BDEEDC

1

得出SS，SS21S，则当S最大时，SS取得最大值，进而可得当

42ABC△ACE△BEDABC△ACE△BED

3

CAB90时，S取得最大值，则CAD45，延长BA至C，使得ACAC3，作PAPA，

ABC4

33PC4PD5PA

APAP，连接PP,CP，构造CAP∽CAP，可得PCPPPDCD，进而勾

44

股定理，即可求解．

【详解】解：如图所示，延长CD交AB于点F，过点A作BC边上的高AH，

∵BAC的角平分线交BC于E，ADCF

∴FADCAD,ADCADF

又ADAD

∴ADF≌ADC，

∴AFAC4，DCDF

则BF1

∵AD是BAC的角平分线，设E到AB的距离为d，则E到AC的距离也为d，

11

BEAHABd

S

∴ABE22

S11

AECECAHACd

22

BE3

∴，

EC4

设SBDE3S，则SEDC4S

∵DCDF

∴SBDFSBDC7S，

过点D分别作AF,AC的垂线，垂足为M,N

27S

∴DMDN14S，

1

11

∴S314S21S,S414S28S

ABD2ADC2

∴SAECSADCSAEC28S4S24S，SABC2SADCSFBC228S27S42S

∴S△ACES△BED24S3S21S

1

∵SS

42ABC

∴当SABC最大时，S△ACES△BED取得最大值，

设AB边上的高为CG

∴CGACsinCAB

1

∴SABACsinCAB

ABC2

∴当CAB90时，SABC取得最大值，

2

则CAD45，则△ADC是等腰直角三角形，则ADAC22，

2

33

如图所示，延长BA至C，使得ACAC3，作PAPA，APAP，连接PP,CP

44

∴CAPCA