备考2025年中考数学技巧专题突破（全国）专题2-3 八种隐圆类最值问题圆来如此简单（解析版）

专题2-3八种隐圆类最值问题，圆来如此简单

在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中

必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个

“隐藏圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！

知识点梳理

题型一定点定长得圆

2023年湖北省鄂州市中考数学真题

2023·邵阳市中考真题

2023·广西南宁市二模

2022·辽宁抚顺·中考真题

2022·长春·中考真题

题型二直角的对边是直径

2023·菏泽市中考真题

2022·通辽·中考真题

2023·汕头市金平区一模

2023·广州市天河区三模

2022·成都市成华区二诊

题型三对角互补得圆

2023年·广元市一模

题型四定弦定角得圆

2023·成都市新都区二模

2023·成都市金牛区二模

2023·达州·中考真题

题型五四点共圆

题型六相切时取到最值

2023·随州市中考真题

2022·江苏无锡·中考真题

2022扬州中考真题

题型七定角定高面积最小、周长最小问题

题型八米勒角（最大张角）模型

徐州中考

知识点梳理

一、定点定长得圆

在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，

并进行计算

二、直角的对边是直径

前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°

今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定

弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)

三、对角互补

前世：在⊙O上任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补

今生：若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D四点共圆

四、定弦定角模型

定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点

的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．

前世：在⊙O中，若弦AB长度固定则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆

周角，需要根据题目灵活运用)

今生：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知C点并不是唯一固定的

点，C在⊙O的优弧ACB上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运

动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动)

五、四点共圆模型

前世:在⊙O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD)

今生:若四边形ABCD中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中

长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形

相似也可)，选填题可以直接使用

六、定角定高（探照灯模型）

什么叫定角定高，如右图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则

△ABC的面积有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

问题解决：如果顶角和高，都为定值，那么三角形ABC的外接圆的大小，也就是半径，是会随着A点

的运动而发生变化的。从而弦BC的长也会发生变化，它会有一个最小值，由于它的高AD是定值，因

此三角形ABC的面积就有一个最小值。

所谓定角定高是指三角形的一条边和这条边上的高是定值．一般是考查直角三角形，此时我们可

以取斜边中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及斜垂关系来解决面积最小值问

题；通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的问题．这类问题都是在等腰时取得最小值．

当定角不是直角时，通过构造平行线的对称点来解决周长最小值的方法仍然适用，而面积最小值

可以通过构造三角形的外心或外接圆来解决．

七、米勒角（最大张角）问题

【问题提出】己知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，当P在何处时，∠APB

最大?

米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题.

米勒定理：

已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABP的外接

圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。

知识铺垫：对于同一个圆来说，同弧所对的圆周角＞圆外角，即CD＞P

问题解决

证明：在直线l上任取一点Q（不与P点重合），连接AQ、BQ，∠AQB即为圆O的圆外角

∴∠APB＞∠AQB，∠APB最大

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大

题型一定点定长得圆

1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接

AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）

5

A．2B．C．3D．10

2

【答案】A

【思路点拨】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利

用勾股定理求出线段长即可．

【详解】解：连接AM，如图所示：

∵点B和M关于AP对称，

∴AB＝AM＝3，

∴M在以A圆心，3为半径的圆上，

∴当A，M，C三点共线时，CM最短，

∵在矩形ABCD中，AC＝32425，

AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2

2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的

中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？

【答案】4

【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则

APPGAPPG，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为A为固定点，G在圆上运动，可知当A'、

G、D三点共线时，此时A'G最短，为4

2023年湖北省鄂州市中考数学真题

3

3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OAOB35，点C为平面内一动点，BC，连接AC，

2

点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA1:2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

3636612612

A．,B．5,5C．,D．5,5

55555555

【答案】D

335，

【思路点拨】由题意可得点C在以点B为圆心，为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D0，

22

OMOA2

连接BD，分别过C、M作CFOA，MEOA，垂足为F、E，先证OAM∽DAC，得，

CDAD3

从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，

CD取得最大值，然后分别证BDO∽CDF，AEM∽AFC，利用相似三角形的性质即可求解．

3

【详解】解：∵点C为平面内一动点，BC，

2

3

∴点C在以点B为圆心，为半径的OB上，

2

35，

在x轴的负半轴上取点D0，连接BD，分别过C、M作CFOA，MEOA，垂足为F、E，

2

∵OAOB35，

95

∴ADODOA，

2

OA2

∴，

AD3

∵CM:MA1:2，

OA2CM

∴，

AD3AC

∵OAMDAC，

∴OAM∽DAC，

OMOA2

∴，

CDAD3

∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD

取得最大值，

35

∵OAOB35，OD，

2

2

2

∴223515，

BDOBOD35

22

∴CDBCBD9，

OM2

∵，

CD3

∴OM6，

∵y轴x轴，CFOA，

∴DOBDFC90，

∵BDOCDF，

∴BDO∽CDF，

15

OBBD

∴即352，

CFCD

CF9

185

解得CF，

5

同理可得，AEM∽AFC，

ME2

MEAM2

∴即1853，

CFAC3

5

125

解得ME，

5

2

1256565125

∴222，∴当线段取最大值时，点的坐标是，

OEOMME6OMM

5555

2023·邵阳市中考真题

4．如图，在矩形ABCD中，AB2,AD7，动点P在矩形的边上沿BCDA运动．当点P不与

点A、B重合时，将ABP沿AP对折，得到ABP，连接CB，则在点P的运动过程中，线段CB的最小

值为．

【答案】112

【思路点拨】根据折叠的性质得出B在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，

当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解．

【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB2,AD7，

∴BCAD7，ACBC2AB27411，

如图所示，当点P在BC上时，

∵ABAB2

∴B在A为圆心，2为半径的弧上运动，

当A,B,C三点共线时，CB最短，

此时CBACAB112，

当点P在DC上时，如图所示，

此时CB112

当P在AD上时，如图所示，此时CB112

综上所述，CB的最小值为112

2023·广西南宁市二模

5．在矩形ABCD中，AB3，将AB绕点B顺时针旋转α（0＜＜90）得到BE，连接DE，若DE的最小

值为2，则BC的长为．

【答案】4

【思路点拨】根据三角形不等式得到BEDE＞BD，当点B，点E，点D三点共线时，BEDE取得最小

值，得到BD5，根据勾股定理计算BC即可．

【详解】∵BEDE＞BD，

∴当点B，点E，点D三点共线时，BEDE取得最小值，

∵BEAB3,

∴DE的最小值为2，

∴BD5，

∵矩形ABCD，AB3，

∴ABCD3,BCD90

∴BCBD2CD24

2022·辽宁抚顺·中考真题

6．如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将ABE沿

BE翻折得到FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．

【答案】555

【详解】解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为

10，点E是边AD上一动点，连接BE，将ABE沿BE翻折得到FBE，连接GF，则BFBA10，因此

动点轨迹是以B为圆心，BA10为半径的圆周上，如图所示：

③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：

在RtBCG中，C90，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG5,BC10，根据勾

股定理可得BGCG2BC25210255，

当G、F、B三点共线时，GF最小为5510，

接下来，求AE的长：连接EG，如图所示

根据翻折可知EFEA,EFBEAB90，设AEx，则根据等面积法可知

S正方形SEDGSBCGSBAESBEG，即

11111

100DEDGBCCGABAEBGEF510x51010x55x整理得51x20，

22222

202051

解得xAE555

515151

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边AD、BC上的动点，且CF＝2AE，连接EF，

将四边形ABFE沿EF翻折，点A、B的对应点分别为A'、B'，连接A'D，则A'D的最小值为___________．

A′

AED

B′

BFC

－

【答案】735

3

提示：连接AC交EF于点O，连接OA'、OD，作OH⊥AD于H

A′

AEHD

O

B′

BFC

则△AOE∽△COF

15

∵CF＝2AE，∴CO＝2AO，∴A'O＝AO＝AC＝

33

443

∴AH＝AO＝，OH＝AO＝1

535

4873

∴DH＝AD－AH＝4－＝，OD＝OH2＋DH2＝

333

73－5

∴A'D≥OD－OA'＝

3

8．如图，半圆O的直径AB的长为6，长度为2的弦CD在半圆上滑动，E是CD的中点，DF⊥AB于F，

连接AC、EF，当线段EF的长最大时，AC的长为___________．

C

E

D

AOFB

【答案】23

提示：连接OD、OE，取OD的中点M，连接ME、MF

CE

ECD

D

M

M

AOFBAHOFB

1

则OE⊥CD，ME＝MF＝OD

2

EF≤ME＋MF＝OD，当E、M、F三点共线时EF最大

此时四边形EOFD为矩形，CD∥AB

连接OC，作CH⊥AB于H

1

则OH＝CD＝1，AH＝2，CH＝22，AC＝23

2

2022·长春·中考真题

9．如图，在YABCD中，AB4，ADBD13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线ADDB

以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A，连结AP、

AM．设点P的运动时间为t秒．

(1)点D到边AB的距离为__________；

(2)用含t的代数式表示线段DP的长；

(3)连结AD，当线段AD最短时，求△DPA的面积；

(4)当M、A、C三点共线时，直接写出t的值．

【答案】(1)3

(2)当0≤t≤1时，DP1313t；当1＜t≤2时，PD13t13；

3

(3)

5

220

(4)或

311

【思路点拨】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；

（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；

（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得

到当点D、A′、M三点共线时，线段AD最短，此时点P在AD上，再证明PDE∽△ADM，可得

2

DE33t,PE22t，从而得到AEDEAD23t，在RtAPE中，由勾股△定理可得t，即可求

5

解；

（4）分两种情况讨论：当点A位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点A（A）位于CM的延长线

上时，此时点P在BD上，即可求解．

【详解】（1）解：如图，连接DM，

∵AB=4，ADBD13，点M为边AB的中点，

∴AM=BM=2，DM⊥AB，

∴DMAD2AM23，

即点D到边AB的距离为3；

故答案为：3

（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，

DP1313t；

当1＜t≤2时，点P在BD边上，PD13t13；

综上所述，当0≤t≤1时，DP1313t；当1＜t≤2时，PD13t13；

（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，

∵作点A关于直线PM的对称点A，

∴A′M=AM=2，

∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，

∴当点D、A′、M三点共线时，线段AD最短，此时点P在AD上，

∴AD1，

根据题意得：APAP13t，DP1313t，

由（1）得：DM⊥AB，

∵PE⊥DM，

∴PE∥AB，

∴△PDE∽△ADM，

PDDEPE

∴，

ADDMAM

1313tDEPE

∴，

1332

解得：DE33t,PE22t，

∴AEDEAD23t，

在RtAPE中，AP2PE2AE2，

2222

∴13t22t23t，解得：t，

5

6

∴PE，

5

1163

∴SADPE1；

DPA2255

（4）解：如图，

当点M、A、C三点共线时，且点A位于M、C之间时，此时点P在AD上，

连接AA′，A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则AA′⊥PM，

∵AB为直径，

∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，

∴PM∥A′B，

∴∠PMF=∠ABA′，

过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，

在YABCD中，AB∥DC，

∵DM⊥AB，

∴DM∥CN，

∴四边形CDMN为平行四边形，

∴CN=DM=3，MN=CD=4，

∴CM=5，

CN3

∴sinCMN，

CM5

∵AM=2，

36

∴AG2，

55

8

∴MG，

5

2

∴BGBMMG，

5

AG

∴tanABA3，

BG

∴tanPMFtanABA3，

PF

∴3，即PF=3FM，

FM

DMPF3AMAF2

∵tanDAM，cosDAM，

AMAF2ADAP13

3

∴PFAF，

2

3

∴3FMAF，即AF=2FM，

2

∵AM=2，

4

∴AF，

3

4

2

∴32，解得：t；

3

13t13

如图，当点A（A）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，PB21313t，

过点A作AGAB于点G′，则AMACMN，取AA的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作

HK⊥AB于点K，过点P作PT⊥AB于点T，

62

同理：AG,AG，

55

∵HK⊥AB，AGAB，

∴HK∥A′′G′，

∴AHKAAG，

∵点H是AA的中点，

HKAKAH1

∴，

AGAGAA2

31

∴HK,AK，

55

9

∴MK，

5

HK1

∴tanPMTtanHMK，

MK3

PT1

∴，即MT=3PT，

MT3

DMPT3BTBM2

∵tanPBT，cosPBT，

BMBT2PBBD13

2

∴BTPT，

3

9

∴MTBT，

2

∵MT+BT=BM=2，

4

∴BT，

11

4

20

∴112，解得：t；

11

21313t13

220

综上所述，t的值为或

311

题型二直角的对边是直径

10．如图，在ABC中，ACB30，AC4，D为BC上的一个动点，以BD为直径的O与AB相切于

点B，交AD于点E，则CE的最小值为．

【答案】131

【思路点拨】取AB的中点F，连接BE，EF，CF，则CECFEF．由AB与O相切，可得ABC90，

1

通过解直角三角形可得ABAC2，BCAC2AB223，CFBF2BC213．根据BD是O

2

1

的直径，可得ABE是直角三角形，从而EFAB1，因此CE131，即CE的最小值为131．

2

【详解】取AB的中点F，连接BE，EF，CF，则CECFEF

∵AB与O相切，

∴ABBC，即ABC90，

∵ACB30，AC4，

11

∴ABAC42，

22

BCAC2AB2422223．

∵点F是AB的中点，

11

∴BFAB21，

22

2

∴在RtBCF中，CFBF2BC2122313．

∵BD是O的直径，

∴BED90，

∴AEB180BED1809090，

∵点F是AB的中点，

11

∴EFAB21，

22

∴CECFEF131，即CE的最小值为131

11．（2021威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF，连接DE

与AF交于点G，连接BG，则BG的最小值为_________．

CFB

GE

DA

【答案】51

【解析】取AD的中点M，连接BM，GM，

CFB

GE

DMA

11

则DM＝AM＝AD＝AB＝1，

22

∴BM＝AM2AB2＝1222＝5．

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°．

∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，

∴∠ADE＝∠BAF．

∵∠BAF＋∠DAF＝90°，

∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠DGA＝90°．

1

∵GM＝AD＝1．

2

∵BG＋GM≥BM，∴BG≥BM－GM，

∴BG的最小值为51．

12．（2023·嘉兴·二模）在Rt△ABC中，C90,A30,BC2，点D,E分别是AB,AC的中点，点F是

AC上的一个动点，连结DF，作BQDF交DF于点Q，连结EQ．点F从点C向点A运动的过程

中，EQ的最小值为．

【答案】31

【思路点拨】作ENAB于N，取BD中点M，连接MQ，ME，由直角三角形的性质求出MQ的长，MB

的长，EN的长，AN的长，得到MN的长，由勾股定理求出ME的长，由EQMEMQ，即可求出EQ的

最小值．

【详解】解：如图，作ENAB于N，取BD中点M，连接MQ，ME，

C90，A30，BC2，

AB2BC4，AC3BC23，

D是AB中点，

1

BDAB2，

2

BQD90，M是BD中点，

11

MQBD1，MBBD1，

22

E是AC的中点，

1

AEAC3，

2

133

NEAE，AN3NE，

222

33

MNABMBAN41，

22

MEMN2EN23，

EQMEMQ，

EQ31，EQ的最小值是31

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝6，

OC＝4，点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使得边EF经过点B，当

点F到原点O的距离最大时，点F的坐标为___________．

yF

CB

E

ODAx

【答案】（24，32）

55

提示：取BC中点M，连接OF、OM、FM

yF

CB

MH

GE

ODAx

1

则FM＝CM＝BC＝3，OM＝CM2＋CO2＝5

2

OF≤OM＋FM＝8，当点F在OM延长线上时OF最大

作CG⊥OF于G，FH⊥BC于H

则△FMH≌△CMG（AAS），∴FH＝CG，MH＝MG

129

在△COM中，由面积法可得CG＝，勾股得MG＝

55

1292432

∴FH＝，MH＝，∴F（，）

5555

2023·菏泽市中考真题

14．如图，在四边形ABCD中，ABCBAD90,AB5,AD4,ADBC，点E在线段BC上运动，点

F在线段AE上，∠ADF∠BAE，则线段BF的最小值为．

【答案】292

【思路点拨】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与O的交点为点F，证明DFA90，

可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与O的交点F时，线段BF有最小值，据此求

解即可．

【详解】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与O的交点为点F，

∵ABCBAD90，

∴AD∥BC，

∴DAEAEB，

∵∠ADF∠BAE，

∴∠DFA∠ABE90，

∴点F在以AD为直径的半圆上运动，

∴当点F运动到OB与O的交点F时，线段BF有最小值，

∵AD4，

1

∴AOOFAD2，，

2

∴BO522229，

BF的最小值为292

15．（2023·武汉·一模）如图，Rt△ABC中，ACB90，AC43，BC6．点P为ABC内一点，且

满足PA2PC2AC2．当PB的长度最小时，则△ACP的面积是．

【答案】63

【思路点拨】取AC中点O，连接OP，BO，由PA2PC2AC2即可得到APC90，再由BPBOOP，

1

可得当点P在线段BO上时，BP有最小值，然后利用直角三角形的性质可得POAOCOAC23，

2

即可推出BOC60，则COP是等边三角形，求得COP的面积，根据OAOC可得S△ACP2S△COP63．

【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OP，BO，

∵PA2PC2AC2，

∴APC90，

∴点P在以AC为直径的圆上运动，

在△BPO中，BPBOOP，

∴当点P在线段BO上时，BP有最小值，

∵点O是AC的中点，APC90，

1

∴POAOCOAC23，

2

CB

∴tanBOC3，

OC

∴BOC60，

∴COP是等边三角形，

33

∴SOC21233，

△COP44

∵OAOC，

∴S△ACP2S△COP63

2022·通辽·中考真题

16．如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，若AB23，BC3，点P从B点出发，在ABC内运动

且始终保持CBPBAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为．

3

【答案】

3

【思路点拨】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P

的位置，进而求出点P的运动路径长．

【详解】解：AC为O的直径，

ABC90.

ABPPBC90.

QPABPBC,

PABABP90.

∴APB90.

∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在ABC的内部，

如图，记以为直径的圆的圆心为O，连接OC交O于点，连接OP,CP.

AB1△11P1

Q

CPO1CO1P,

∴当点O1,P,C三点共线时，即点P在点P处时，CP有最小值，

∵AB23

∴O1B3

BC3

在RtBCO1中，tanBO1C3.

O1B3

∴∠BO1C60.

)6033

∴BP.

1803

3

∴.C,P两点距离最小时，点P的运动路径长为.

3

17．（2023·广州·三模）如图，矩形ABCD中，AB2，BC23，点E、F分别是线段AD，BC上的动

点，且AECF，过D作EF的垂线，垂足为H．

（1）当AE31时，BFE．

（2）当E在AD上运动时，CH的最小值为．

【答案】451

【思路点拨】（1）过点F作FMBC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF=EM，从而

问题解决；

1

（2）连接BD交EF于点O，可证明△DOE≌△BOF，易得ODBD2，由DHEF知，MH2，即

2

点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH的值最小，由三角函数知

识即可求得此时最小值．

【详解】解：（1）过点F作FMBC于M，如图，

则BMEEMF90；

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB90，

∴四边形ABME是矩形，

∴EMAB2，BMAE31；

∵AECF，

∴CFBM31，

∴MFBCBMCF232(31)2，

∴MEMF，

∵FMBC，

∴BFE45，

故答案为：45；

（2）连接BD交EF于点O，如图，

由矩形性质知：AD∥CB，ADBC23，

∴DEFBFE，ADAEBCCF，

∴DEBF，

∵EODFOB，

∴△DOE≌△BOF，

∴ODOB，

由勾股定理得BDAB2AD24，

1

∴ODBD2，

2

∵DHEF，设OD中点为M，

∴MH2，

即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，

由于点E在AD边上运动，

∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH的值最小，

CDCH

∵ACBD4，cosACD，

ACCD

CD24

∴CH1，

AC4

即CH的最小值为1

18．（2023·安阳·一模）如图，正方形ABCD的边长为22，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上

的一个动点，且AECF，过点B作BGEF于点G，连接AG，则AG长的最小值为．

【答案】51

【思路点拨】连接AF，CE，AC，设AC与EF的交点为点O，得到平行四边形AECF，点O是AC的中

点，连接BD，则BD经过点O，且OAOB，G在以BO为直径的圆上运动，取OB的中点H，连接AH,GH，

根据三角形三边不等关系式，计算最值即可．

【详解】如图，连接AF，CE，AC，设AC与EF的交点为点O，

∵正方形ABCD，

∴AECF，

∵AECF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AOCO,OEOF，

∴点O是AC的中点，连接BD，

∵正方形ABCD，

∴点O是BD的中点，且OAOB，

取OB的中点H，连接AH,GH，

∵BGEF，

1

∴AHAO2OH2,GHOB，

2

∵GHAG≥AH,

∴当A,G,H三点共线时，AG取得最小值，

∵正方形ABCD的边长为22，

22

∴ACBD22224，

∴OAOBOCOD2，

1

∴GHOB1，AH22125，

2

∴AG长的最小值为51

19．（2023·深圳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为边BC上一动点，F为AE中

点，G为DE上一点，BFFG，则CG的最小值为．

【答案】132

【思路点拨】连接AG，根据矩形的性质可得ABCBCDADC90，DCAB3，根据中点的性质

1

和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得BFAEAFEF，推得AFFGEF，则

2

AGEAGD90，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O，G，

C三点共线时，CG的值最小，由此可解答．

【详解】解：如图1，连接AG，

四边形ABCD是矩形，

∴ABCBCDADC90，DCAB3，

∵F是AE的中点，

1

∴BFAEAFEF，

2

∵BFFG，

∴AFFGEF，

∴AGEAGD90，

∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，如图2：

当O，G，C三点共线时，CG的值最小，

∴ODOG2，

∴OC223213，∴CG的最小值为132

2023·汕头市金平区一模

20．如图，AB为O的直径，点C为OB中点，弦DE经过点C，且DEAB．点F为AEB上一动点，连

接DF．AGDF于点G．若AB4，在点F运动过程中，线段OG的长度的最小值为．

【答案】31

【思路点拨】如图，连接AD，OD，取AD的中点R，由AGDF．可得G在以R为圆心，AD为直径

的圆上运动，（圆的一部分）当R，O，G三点共线时，OG最小，再求解CD22123，

31RO1

ADCD2AC223，可得RARG3，sinCAD，则，可得RO1，从而可得

232AO2

答案．

【详解】解：如图，连接AD，OD，取AD的中点R，

∵AGDF．

∴G在以R为圆心，AD为直径的圆上运动，（圆的一部分）

当R，O，G三点共线时，OG最小，

∵AB4，点C为OB中点，

∴OBOAOD2，OC1，

∵DEAB，

∴CD22123，

∴ADCD2AC223，

31

∴RARG3，sinCAD，

232

RO1

∴，

AO2

∴RO1，∴OGRGRO31

2023·广州市天河区三模

21．如图，矩形ABCD中，AB2，BC23，点E、F分别是线段AD，BC上的动点，且AECF，过

D作EF的垂线，垂足为H．

（1）当AE31时，BFE．

（2）当E在AD上运动时，CH的最小值为．

【答案】451

【思路点拨】（1）过点F作FMBC于M，由条件可得四边形ABME是矩形，由题意可得MF=EM，从而

问题解决；

1

（2）连接BD交EF于点O，可证明△DOE≌△BOF，易得ODBD2，由DHEF知，MH2，即

2

点H在以OD中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，CH的值最小，由三角函数知

识即可求得此时最小值．

【详解】解：（1）过点F作FMBC于M，如图，

则BMEEMF90；

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB90，

∴四边形ABME是矩形，

∴EMAB2，BMAE31；

∵AECF，

∴CFBM31，

∴MFBCBMCF232(31)2，

∴MEMF，

∵FMBC，

∴BFE45，

故答案为：45；

（2）连接BD交EF于点O，如图，

由矩形性质知：AD∥CB，ADBC23，

∴DEFBFE，ADAEBCCF，

∴DEBF，

∵EODFOB，

∴△DOE≌△BOF，

∴ODOB，

由勾股定理得BDAB2AD24，

1

∴ODBD2，

2

∵DHEF，设OD中点为M，

∴MH2，

即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动，

由于点E在AD边上运动，

∴当点E与点A重合时，即EF与AC重合时，CH的值最小，

CDCH

∵ACBD4，cosACD，

ACCD

CD24

∴CH1，即CH的最小值为1

AC4

2022·成都市成华区二诊

22．如图，在ABC中，C90,B30,AC23．若点D为平面上一个动点，且满足ADC60，

则线段BD长度的最小值为，最大值为．

【答案】2722132

【思路点拨】根据题意进行分类讨论，即当点D在AC右侧时，点D在AC上运动；当点D在AC左侧时，

点D在AC上运动，再分别计算即可．

【详解】①如图，

以AC为底边，在AC的右侧作等腰三角形AOC，使OACOCA30

则AOC120

以O为圆心，以CO长为半径画优弧AC，连接BO交AC于点E

则当点D在AC右侧时，点