专升本（高等数学一）模拟试卷8

专升本（高等数学一）模拟试卷8（共8

套）

（共224题）

专升本（高等数学一）模拟试卷第1套

一、选择题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

1而2

1、极限1°1=（）

A、o

1

B、2

C、I

D、2

标准答案：A

lim1=0.

知识点解析：注意所给吸限为X-8,它不是重要极限的形式，由于

即当x->8时，1为无穷小量，而sin2x为有界函数，利用无穷小量性质可知

lim*亩2耳=lim工・sin2x=0,

…，zLN故选A。

2、下列关系式正确的是()

A、dJf(x)dx=Rx)+C

B、Jf(x)dx=f(x)

次/(x)dz=fix)

c、

\/(x)dr=/(x)+C

标准答案：C

知识点解析：A,dff(x)dx=f(x)dx；Bj「(x)dx=Rx)+C；C,

利fCr)dr=(jfCr)dr)=

f(x)dx=(jf(x)dx),=f(x).则选C,由C知D不正确。

*x2sin工」

-KT，

3、/

A、-2

B、-1

C、0

D、1

标准答案：C

“x2sinx1

知识点解析：因为被积函数丁+1是奇函数，所以在对称区间内」

=0o

4、方程z=x?+y2表示的二次曲面是()

A、椭球面

B、柱面

C、圆锥面

D、抛物面

标准答案：D

知识点解析：耍熟记主要的几个二次曲面的方程表达式，根据旋转抛物面的方程知

本题应选Do

5、若D为x2+y2q所确定的区域,

A、2

B、兀

C、4兀

D、8兀

标准答案：B

知识点解析:因为D：

=SD=H,故选B。

2

,,,~.-z-ln(cos2z)

6、已知导函数y=ktan2x的一个原函数为3，则k=()

7

B4D・T

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

,「2in/ccd'2—sin2xX24.

.-rln(cosZx)="rX-----x---=一卞tan02z,

知识点解析：由题意L3」3cos2H3所以有

_4.-A

ktan2x=3tan2x,贝Uk=故选D。

之一1尸士

7、级数"I小+Q(a>0为常数)()

A、绝对收敛

B、条件收敛

C、发散

D、收敛性与a有关

标准答案：A

£(-■，而IF《

知识点解析:因为原级数为由+0旧•十口且级数

“I砂为尸2>i的p级数，收敛。所以级数“I公+a收敛。因此原级数绝

对收敛，故选A。

../(工。+2-)一/(10)

hm工-------：*-----

8、设r(xo)=l,则Ih=()

A、2

B、1

1

c、2

D、0

标准答案：A

一/5)

J]im./(%+2,h)

知识点解析：由P(xo)=l可知应考虑将＞7h化为导数定义的等

「—2A)—/Gro)..2[/5+2/0-/5)]

Jim--------：--------_lim-------T：---

h2h

价形式，…I=2f(x0)=2,故

选Ao

9、函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导，且P(x)>0,F(x)V0,则曲线y=f(x)在(a,b)

内()

A、单调增加且上凹

B、单调增加且下凹

C、单调减少且上凹

D、单调减少且下凹

标准答案：B

知识点解析:因为E(x)>0,所以函数f(x)在区间(a,b)内是单调增加的,又F(x)

<0,所以函数f(x)是下凹的,即曲线f(x)在(a,b)内是单调增加且下凹,故选B。

10、设f(x)为连续函数，则=()

A、f(b)-f(a)

B、f(b)

C、-f(a)

D、0

标准答案：D

知识点解析：由于f(X)为连续函数，可知hbf(X)dx存在，它表示一个确定的常数

曾

值，EljhtdjJ«*f(x)dx=0.故选De

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

小设f(x)在处连续，且明碧二2,则f⑴二

标准答案：2

lim=lim/^Cx)

知识点解析:由题设条件，有1工一1一=「(1),则「⑴=2。

(2x4-a(z&O),

12、设f(x)J]2(x>0),且f(x)在点x=0处连续，则&二o

标准答案：0

知识点解析：本题考查的知识点为函数连续性的判定。由于点x=0为函数的分段

点，且在点x=0两侧f(x)的表达式不同，因此应考查左连续、右连续。

lim/(x)=lim(2x+a)=a,lim/(x)=limjr2=0.

1r1r1rLO，由于f(x)在点x=0连续，

lim/(x)=limf(工)

因此…=f(0),从而a=0。

13、-\x)=o

标准答案：e"

知识点解析：

・

蚓(1+)1=则i+(T).(F«T)lim1+(--

4^00L

14、函数y=x2-2x在区间［1,2］上满足拉格朗日中值定理条件的9o

3.

标准答案：2

知识点解析：因为y=xZ2x在［1,2］上满足拉格朗日中值定理的条件，

则设/GO=工2_2了,有£(冬二^(1)=(2-2XY，即《=2s—2,29=3,

4-1xX-f1

所以8=看

1

15、若J-8°ekXdx=3,则k=o

标准答案：3

知识点解析：因为

「efcdr=-1[°卢或版)=4•y0=十,所以4=4/=3.

J-ooRJ-ooR-OORR3

sinJT

16、已知f(x)的一个原函数为工则JxP(x)dx=

2sinx।

cosx---------rC

标准答案：］

也所以/(X)=(电三)'

知识点解析：因为f(x)的一个原函数为工""J\,所以

fxf(x)drx=Jxd(x)=xf(x)-Jf(x)dx

工.zcosz-sinz_J(sinz)，业=

■Z

17、曲线丫二市1的铅直渐近线为o

标准答案：x=-2

知识点解析：由干题目只求铅育渐近线，所给函数表达式为分式,可知

lim0f=8,

L-22+z因此所给曲线的铅直渐近线为x=2。

18、空间直角坐标系中方程y=x2表示的曲线是

标准答案：母线平行于z轴的抛物柱面

知识点解析：本题考查二次曲面方程的识别。

19、函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是________,

标准答案：(2,-2)

j/x=4-2x=0,

知识点解析：％=-4-2、=0,

OO

20、若级数W收敛于s,贝收敛于

标准答案:S-UI

8

£%=2/一%，而2/收敛于s.则Su-

知识点解析：因为“2-1I-2收敛于S-U1，

三、简单解答题(本题共5题，每题7.0分，共5分0)

21、计算f”々2.

标准答案：令t=石\则x=[2,dx=2tdto当x=l时，1=1；当x=4时，t=2。

于可塞JjgZa

知识点解析：本题考查定积分的计算，可以利用换元积分法或凑微分法进行计算,

注意换元时要将积分上、下限也随之变换。

22、试证:当x>0时，有不等式x>sinx>x-2。

标准答案：先证x>sinx(x>0)。设f(x)=x-sinx,则P(x)=l-cosxNO(x>0),所以

f(x)为单调递增函数，于是对x>0有f(x)>f(0)=0,BPx-sinx>0,亦即x>sinx(x

X2

>0)o再证sinx>x-2]x>0)。令g(x)=sinx-x+2贝ijg'(x)=cosx・l+x,g"(x)=-

sinx+l>0,所以g'(x)单调递增，又g'(0尸0,可知g'(x)>g'⑼=0(x>0),那么有

g(x)单调递增。又g(0)=0,可知g(x)>g(0)=0(x>0),

所以sinz-z+§>0,

即.‘"”一次—以综上可得：当x>。

o

时，x>sinx>x-4o

知识点解析：可将不等式分成两部分来证，即x>sinx,sinx>x-2,分别设

X2

f(x)=x・sinx和g(x尸sinx・x+彳，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出,

L产一!二2±j=£±l

23、已知直线2—1加，平面兀：-nx+2y-z+4=0,试确定m,n

的值，使得直线L在平面兀上。

标准答案：要使直线L在平面兀匕只要育线L平行干平面兀，口有一点在平面兀

上即可。直线L的方向向量为s={2,-1,m),平面兀的法线向量为，l={-n,2,-

1),由直线平行于平面工得s.n=O,即-2n2m=0①又点P(1,-2,-1)为直线L上

的点，把此点的坐标代人平面兀的方程得・44+1+4=0⑦联立①，②解得

\m=-4,

In=1.

知识点解析•：此题的关健是抓住直线L在平面兀上，即意味着满足两个条件：其

一，直线L与平面兀平行；其二，直线L上的点也满足平面兀的方程。这样即可

由下面方法求得m,n的值。

24、已知f(7t)=l,且J("f(x)+F'(x)]sinxdx=3,求f(0)。

标准答案：El^9fo7l[Rx)-i-f(x)]sinxdx=fo7lf(x)sinxdx+Jo，lf,(x)sinxdx,而

J()"F(x)sinxdx=Jo"sinxdf[x)=sinxf(x)|o"Jo"r(x)cosxdx=-Jo%osxdf(x)=-f(x)cosx|J-

Jo"f(x)sinxdx=f(兀)+f(O)-Jo"f(x)sinxdx,LUf()II[f(x)+P,(x)]sinxdx=f(7i)+f(0)=3o又

f(n)=l,所以f(0)=2。

知识点解析：由于"[fW+fYxHsinxdxToMfxWinxdx+Jo'F,a/inxdx,对

JoT(x)sinxdx采用凑微分和分部积分后与df(x)sinxdx相加，代入条件即可求出

f(0)o

25、设f(x,y)=cos(x2y),求

标准答案:

由=­sin(x2j>)•2内，siM/y)•x2

222

得=-cos(zR•Axy-sin(xjz)•2yt

=­cos(x2j)•x**

ay

因此f2Z22

/jo()=[—cos(x^)•4J>—sinCx^)•2y]|X-1=一〃，

‘'"(1号)=[-cosCr')・x4]x-l=0.

知识点解析：在做此题时要注意，对谁求偏导数只需把谁看成变量，其他都看成常

数，用一元函数求导的方法求导即可。

四、复杂解答题(本题共3题，每题7.0分，共3分0)

/三=♦+1—2-5

26、已知直线：3~4-7,若平面兀过点M(-2,9,5)且与1垂直，求

平面兀的方程。

标准答案：由题意可知，直线1的方向向量k{3,4,-7}必定平行于所求平面兀的

法向量n,因此可取n=s={3,4,-7}。利用平面的点法式方程可知3[x-(-2)]+4(y-

9)-7(z-5)=0,即3(x+2)+4(y-9)-7(z-5)=0为所求平面方程。或写为一般式方程：

3x+4y-7z+5=0o

知识点解析：由直线的方向向量可以确定平面的法向量，进而求出平面的点法式方

程。

―^--4-jf——(1+1)3-1---

27、设y=222,判定该函数的极值、单调性以及该曲线的

凹向与拐点。

标准答案：所给函数的定义域为(心，+00),

/=1+1一(工+1)7

匕子1令y'=0,得驻点xi=2,X2=0.当x;

』=I+1CT+DT

1时，y'不存在。3/Gr+ir在烂・1处y”不存

在，当x#-l时，y">0o列表分析

X(-00,-2)-2(-2,-1)-1(-1.0)0(0,+8)

9

y—0+不存在—0+

y++不存在++

y、上凹板小值0/上凹极大值1、上凹极小值0/上凹

由上表可知，函数y的单调递减区间为(-8,・2),(-1,0)；单调递增区间为(・2,・

1),(0,+oo)ox=-2与x=0为其两个极小值点,极小值f(-2)=0,f(0)=0；x=-l为其

极大值点，极大值f(-l)=l。曲线在(-00,+8)上都是上凹的，没有拐点。

知识点解析：木题考查利用函数的一阶导数y',二阶导数y”的符号来判定函数的

单调性、极值、凹凸性和拐点。

28、求y”-2y'-3y=ex的通解。

标准答案：(1)先求出其相应的齐次方程通解Y=Ciyi+C2y2；(2)再求出它的一个特

解y*：(3)y=C1yi+C2y2+y*即为所求方程的通解。其对应的齐次方程的特征方程

为J-2r-3=0,特征根为门=-1,r2=3,相应齐次方程的通解为丫=0夕+©203、。设

方程的特解为y*二Ae、，代入y”-2y，-3y=ex,得A=4,原方程的特解y*=4*

原方程的通解为丫=€：©*2263'4(其中Ci，C2为任意常数)。

知识点解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。

专升本(高等数学一)模拟试卷第2套

一、选择题(本题共70题，每题J.0分，共70分。)

1、当x-0时，x是InU+x?)的

A、高阶无穷小

B、同阶但不等价无穷小

C、等价无穷小

D、低阶无穷小

标准答案：D

lim-------=Iim-7=hm—=.

根据无穷小阶的比较的定义可知，

当XT0时，X是的低阶无穷小，因此

知识点解析：选D.

2、设y=2-cosx,则y'=

A^1-sinx

B、1+sinx

C、-sinx

D、sinx

标准答案：D

知识点解析：y=2-cosx,则y*=2,-(cosx)*=sinx,>因此选Do

3、曲线y=x+(l/x)的凹区间是

A、(-00,-1)

B、(-1,+8)

C>(-00,0)

D、(0,+oo)

标准答案：D

»=的定义域为(-8,0),(0.+oo).

X

,,I•2

y=］一7，y=p・

可知当x>0时，/>0,曲线为凹；当x<0时，/<0,曲线为凸.

知识点解析：因此曲线的凹区间为(0，+8),应选D.

曲线-的水平渐近线为

4、2+X

A^x=-2

B、x=2

C、y=l

D>y=-2

标准答案：C

lim乙=1,可知y=l为曲线的水平渐近线，因此选C.

知识点解析：-2+x

5、若y=ksin2x的一个原函数是(2/3)cos2x,贝Uk二

A、-4/3

B、-2/3

C、-2/3

D、-4/3

标准答案：D

由于:cos2x为Asin2x的原函数，因此

-cos2x=—sin2x=isin2x*

13J3

4

可知％=--，应选D.

知识点解析：3

6、若f(x)有连续导数，下列等式中一定成立的是

A、djRx)dx=f(x)dx

B、djf(x)dx=f(x)

C、dff(x)dx=f(x)+C

D、fdf(x)=f(x)

标准答案：A

知识点解析：若设F，(x)=f(x),由不定积分定义知，Jf(x)dx=F(x)+C。从而有:

dJf(x)dx=djF(x)+C]=F(x)dx=nx)dx,故A正确。D中应为Jdf(x)=f(x)+C。

7、方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是

A,椭圆面

B、圆锥面

C、旋转抛物面

D、柱面

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

设收敛，4=力4，则hmq

8、h,川—

A,必定存在且值为0

B、必定存在且值可能为0

C、必定存在且值一定不为0

D、可能不存在

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

设区域O={(xj)|-lWxWL-2WyW2}・则jjx>drdy=

9、。

A、0

B、2

C、4

D、8

标准答案：A

积分区域关于y轴对称,被积函数盯为x的奇函数，可知

jjxydxdy=0,应选A.

D

或者直接计算jjxydxdy=['xdxfydy=0.

知识点解析：。“

力

设z=+/-2x+4y+5•®J-=

10、砂

A、2x-2

B、2y+4

C、2x+2y+2

D、2y+4+x2-2x

标准答案：B

z=x2+>2-2x+4y+5»

第=2y+4.故选B.

知识点解析:力

二、填空题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

的间断点为___________.

11、x+3

标准答案：x=-3

知识点解析：暂无解析

12、—2x

标准答案：1/2

知识点解析：暂无解析

13、设f（x尸sinx/2,则r（0）=。

标准答案：1/2

知识点解析：暂无解析

14、设y=ex,则dy=。

标准答案：eAdx

知识点解析：暂无解析

15、曲线y=2x?-x+l在点（1,2）处的切线方程为

标准答案：y-2=3（x-l）（或写为y=3x-l）

知识点解析：暂无解析

—(0V2+rd/=

16、dxJ，

-J2+x2

标准答案：

知识点解析：暂无解析

17、LI--+---x=-djc=»_____

标准答案：arctanx+C

知识点解析•：暂无解析

2

18、函数f(x)=2x+4x+2的极小值点为x=0

标准答案：-1

知识点解析：暂无解析

若Hm㈤=2,则幕级数的收敛半径为_____________.

19、FaM

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

20、微分方程y，+4y=0的通解为。

标准答案：y=Ce-4x

知识点解析•：暂无解析

三、简单解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分0)

求limf------

sinx

21、

^1111=0.

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

22、若y=y(x)由方程y=x?+y2,求dy。

对丁=一+必两边微分

dy=2xdx+2yd.y,

所以dy=2x..

标准答案："2y

知识点解析：暂无解析

设/(必为连续函数，且/(x)=3x-2j：/(x)dx,求J；/(x)dr.

23、

记/=£/(*)dx,则/(x)=3x-2Z,两边求积分，有

A=J^/(x)dr=J；3xdx-2J；Mr.

从而

彳c—3—K—24,

2o

34=3，

2

故dx=一・

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

24、求二元函数z=x2-xy+/+x+y的极值。

z^-xy+^+x+y,则由

标准答案：》YC=-3<0,/>0.因此点(-1,-1)为z的极小值点，极小值为T.

知识点解析：暂无解析

25、求微分方程万-(l/x)y=・l的通解。

方程丁，_1丁=_1为一阶线性微分方程.

x

通解为

"e5"(Jq(x)e""dx+q=e%［j-，%dx+C

=ebu(J-e-tordx+C)=xf-J-dx+C|=x(C-inx).

标准答案：I*1

知识点解析：暂无解析

26、求由曲线y=l-x2在点(1/2,3/4］处的切线与该曲线及x轴所围图形的面积A。

标准答案：

(平面图形见右图阴影部分)

知识点解析：暂无解析

27、

计算JJydxd八其中区域。是由曲线/+/=］、直线y=x及x轴在第一象限围成的区域.

D

标准答案:

。的图形见右图阴影部分.

在极坐标系下D可以表示为

owewLOWYI.

4

因此”.油4=J：d8£rsin6rdr

知识点解析：暂无解析

28、求通过点(1,2)的曲线方程，使此曲线在［1,x］上形成的曲边梯形面积的值等

于此曲线弧终点的横坐标x与纵坐标y乘积的2倍减去4。

依题意，有1］/(/)d/=2xy-4»其中y=/(x).

两端对x求导，得/=2^+2刈'，

从而29'=一八即^-=--.

yx

解此微分方程，得21”=-lnx+InC,/=£.

x

将y(1)=2代入，得出C=4.所求曲线方程为y=

标准答案：7x

知识点解析：暂无解析

专升本(高等数学一)模拟试卷第3套

一、选择题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

1、

设f（z）为连续函数,则f/(f)dx=

A./(1)-/(0)

B.2[/(1)-/(0)]

C.2[/(2)-/(0)]

叫，（圻八叼

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：暂无解析

2、

极限lim/左七;=

8\XJ

A.B.e

C.e2D.l

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

3、

函数f（H）=\"在工=0处连续，则0=

[ax=0

A.-1RI

C.0D.2

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

函数；y=ln(14-x2)的单调减区间是

A.(-5,5)B.(—oo,0)

C.(0,4-oo)D.(—00,4-00)

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

5、

sin2x•cosxdr

B4

%A—3—

COD.1

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

6、

设sin%为fGc)的原函数，则

A.一sinxB.sinx

C.—cosxD.cosx

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

7、

在空间中，方程/+丁—2»-0表示

A.球面B.圆柱面

C.旋转抛物面D.锥面

A、

B、

c、

D、

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

8、

当NV工0时，八工>〉0；当J7>工）时、八工）<0,那么No是/<x）的

A.无法确定是什么点B.驻点

C.极大值点D.极小值点

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

9、

已知lim丛&存在，则】im

x-»OXj?-»o工

A./（x）a/（o）

C.f（0）D.1r（o>

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

10、

方程S—S—=o的通解y=

A.Ge-"+G/RGe*

CG/i+GerD.G。"

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

二、填空题（本题共70题，每题1.0分，共10分。）

11、

5

*•8+—fi)^=______.

标准答案：e

知识点解析：暂无解析

12、

313—2?+1

(1+2>

标准答案：3

知识点解析：暂无解析

13、

(ke2xxV0

设函数八/=…在1=0处连续，则常数A=.

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

14、

函数八幻=詈的间断点是,x=是第一类间断点，了=

_______是第二类间断点.

标准答案：

i=o或n=垢+号a=o,士1,士2,…),0/孤+亍a=o,土晨±2…

知识点解析：暂无解析

15、

曲线夕=e*+z上点(0,1)处的切线方程为.

标准答案：y=2x+l

知识点解析：暂无解析

16、

设函数fCr)=后一则它在区间内单调减小,在区间内

单调增加.

标准答案：(1,2)(01)

知识点解析：暂无解析

17,

设"为/(x)的一个原函数，则f(x)=,

标准答案：7x

知识点解析：暂无解析

卜/"=.

工，+C

标准答案：6

知识点解析：暂无解析

19、

广义积分f8b"也=.

标准答案：1/2

知识点解析：暂无解析

20、

设函数z='则孕=.

Xydy-------

1

标准答案：

知识点解析：暂无解析

三、简单解答题（本题共5题，每题1.0分，共5分。）

21、

设e”-ev=si”求

解对e*=siny两边求导，得‘

e'-ez-y=cosy-y*

⑹+cos>)y/=et

，eJ

y=--------.

标准答案：e’+cosy

知识点解析：暂无解析

22、

求j--------心・

Jx(l+lnx)2

解r—5—斗悬幻刈+必幻

Jx(l+ln式产

=——--+C.

标准答案：1+Inx

知识点解析：暂无解析

设y=xsiru,求y'・

M因为产x*inx.

标准答案：贝1Jy-x'sinx+x(sinA)*=sku+xcosx.

知识点解析：暂无解析

24、

交换二次积分/=y)dy的积分次序.

标准答案：

制南题设知JJf(x,y)dxd3'中I的图形应满足

D

IWxWe,0£yWlru,因此/的图形见右图中阴影部分.

由y=lnj：・有x=e'.

所以I：匕广/3刈产心

知识点解析：暂无解析

25、

将函数ra)=hu展开成。-1)的等级数，并指出收缴区间.

标准答案：

解/(x)=lnx=ln[l+(x-l)]

因为―--=1—Jr-bx2-xy+,,,+(-l)rtxn+…

I+x

Yx3x4一

两边枳分：In[l4-.V]=X--4---—+-+(-l)n—；十…

234〃+1

从而皿心-巾(+噂一啜+-5守一

X-1)""

即lnx=£/(.l尸

M〃十।

由kfvl知0vxv2,即收敛区间为(0,2).

知识点解析：暂无解析

四、复杂解答题（本题共3题，每题1.0分，共3分0）

26、

将函数F（X）=——?_r展开成X-1的哥级数，并指明收敛区间

2-2x+广

（不考虑端点）・

标准答案：

解〃出=-----——W=-------L2=-----------2

2-2x+x21+1-2x+x21+

=1-(X-1)2+(A;-1)4-(X-1)，+…+(-I)*1(x-1)2"+…

所以产.

#二1

由心一1巾<1,Wlx-ll<L-l<r-l<b0<x<2,即收敛区间为(0，2).

知识点解析：暂无解析

27、

求由曲线xy=l及直线y=x,y=2所围的图形面积4

标准答案：

解平面图形见图中阴影部分.

=(2-1112)-^-0>=1—102.

知识点解析：暂无解析

28、

设直线y=以+方（。20,620）与直线x=0,式=1和丫=0所围平面

图形面积为2,求。、b值，使该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积匕最小.

标准答案：

解设所围图形面积为月，则

A=J；3+6)dx=^x2+^x=—\'b

。2

依题设A=2,即1+〃=2,〃+2,=4,«=4-2b,

设旋转体体积为K，则

匕=尤］：（奴+》）2dx=71,3与2+2abx+y）匕

=TL

将a=4-功代入此式，有力=々/-4“16）

3

24

令V：=—nb----x=0可解得6=2

33

2

又V；=-it>0,故匕在b=2时取唯一极小值，即最小值.当方二2时，々二0,

咨：当〃=0,办=2时，旋转体体积匕坡小.

知识点解析：暂无解析

专升本（高等数学一）模拟试卷第4套

一、选择题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

1、设函数y=ax?+c在区间（0,+00）上单调增加，则（）

A、aVO且c=0

B、a>0且c为任意实数

C、aVO且c，0

D、aVO且c为任意实数

标准答案：B

知识点解析：由题设有y'=2ax,则在（0,+8）上2ax>0。所以必有a>0且c为任

意实数，故选B。

2、微分方程y”+y=O的通解为（）

A、C）cosx+C2sinx

B、(Ci+C2X)ex

x

C、(Ci+C2x)e'

xx

D、Cie'+C2e

标准答案：A

知识点解析：由题意得微分方程的特征方程为J+yo,故尸土i为共枕复根，于是

通解为y=Cicosx+C2sinxo

心(17)%+十)At

3、设f(x)为连续函数，则枳分=()

A、0

B、1

C、n

1

D、n

标准答案：A

知识点解析：

设(+9)的原函数为F«+».

则「(1一次)4++)山=卜"+：)《+十)

=F(n4--F(~+〃)=0,

'n,U)故选A。

工-1_jy+1=――2

4、平面x+2y-z+3=0与空间直线一§一1~的位置关系是()

A、互相垂直

B、互相平行但直线不在平面上

C、既不平行也不垂直

D、直线在平面上

标准答案：D

知识点解析：平面兀：x+2y-z+3=0的法向量n={l,2,-1),直线

/产二1=X±1==2

31

一1的方向向量s={3,-1,1),(xo,yo，z0)=(l,-h2),因

为3x1+(-1)x2+1x(")=0,所以直线与平面平行,乂点(1,・1,2)满足平面方程(即直

线1上的点在平面兀上)，因此直线在平面上。故选D。

5、设aVxVb,f(x)<0,r'(x)V0,则在区间(a,b)内曲线弧y=f(x)的图形()

A、沿x轴正向下降且向上凹

B、沿x轴正向下降且向下凹

C、沿x轴正向上升且向上凹

D、沿x轴正向上升且向下凹

标准答案：B

知识点解析：当aVxVb时,f*(x)VO,因此曲线弧y=f(x)在(a,b)内下降,由于在

(a,b)内F'(x)VO,因此曲线弧y=f(x)在(a,b)内下凹,故选B。

6、设f(x)=e"2・l,g(x)-x2,则当x—>0时()

A、f(x)是比g(x)高阶的无穷小

B、f(x)是比g(x)低阶的无穷小

C、f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小

D、f(x)与g(x)是等价无穷小

标准答案：C

lim，玲、=lim--=lim=-f-

知识点解析：i)g(z)I"IX=.h故选c。

7、中心在(-1,2,-2)且与xOy平面相切的球面方程是()

A、(x+l)2+(y-2)2+(z+2)2=4

B、(x+l)~+(y-2/+(z+2广=2

C、x2+y2+z2=4

D、x2+y2+z2=2

标准答案：A

知识点解析：己知球心为(-1,2,-2),则代入球面标准方程为(x+l)2+(y-

2)2+(z+2)2=r2o又与xOy平面相切，则r=2。故选A。

8、函数z=xy在点(0,0)处()

A、有极大值

B、有极小值

C、不是驻点

D、无极值

标准答案：D

\zx=y=0,

知识点解析：由z=xy得％，="=解得驻点(0,0)。又因为A二z"|o,o=O,

B=z"|o,O=BC=z"yy|o,o=0，B2-AC=l>0,所以在(0,0)处无极值。故选D。

9、已知曲线y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线x-y16=0,又y=y(x)满

足微分方程(y“)2=l・(y，)2,则此曲线方程是y=()

A、-sinx

B、sinx

C、cosx

D、-cosx

标准答案：B

知识点解析：要选函数艰据题设应满足三个条件：(l)y(0)=0,(2)在原点处斜率

k=l,(3)代入(y")2=l-(y，)2应成立。故逐个验证后应选B。

10、设f(x,y)为连续，二次积分hdxJx2f(x,3,)dy交换积分次序后等于()

A>fo2dyfoyf(x,y)dx

B、JoidyJo'f(x,y)dx

22

C.fodyjyf(x,y)dx

D>f()2dyf()2f(x,y)dx

标准答案：A

知识点解析：积分区域D可以表示为gxW2,x<y<2,其图形如图中阴影部分所

交换积分次序，D也可以表示为OWy02,0<x<y,因此

222y

Jodxfxf(x,y)dy=JodyJof(x,y)dx,故选A。

二、填空题(本题共70题，每题1.0分，共70分。)

lim二士s’"

II、I/=O

标准答案：2

,«_0«

知识点解析：由于所给极限为0型极限，由极限的四则运算法则有

Hm注®Z=i+hm—=2.

LO.r…x

12、比较积分大小：J/lnxdxfi2(lnx)3dx.

标准答案：>

知识点解析：因为在[1,2]±lnx>(Inx)3,所以|lnxdx>|(lnx)3dx。

6r

13、设y=l+/,则y'=。

1(彳一1产

标准答案：(1+^)2

，_(］+x2)-2姆_e*(1—2z+J)_eV］一工产

知识点解析：“—一(1+02"(】+""HE'

f)Z

14、设z=y2x,则0*二o

标准答案：2xy2x-'

知识点解析：求七?只需将x看作常数，因此y2x可看作是暴函数，故

孕=2卬…

1-x

arctanT-：—

15、设尸1十”，则其在区间［0,2］上的最大值为o

7T

标准答案：4

y=arctan知/=—Tn~2<°»

知识点解析：由1+11+”所以y在［0,2］上单调递

K

减，于是ymax=ylx=O=arctanl=4。

16、微分方程y"+y'+y=0的通解为。

标准答案：尸"亿"毋+*曾“其中5C2为任意常数)

知识点解析：特征方程为J+r+IR,解得：

-1士舟M|i—11+痣i__1一向

一2,则—2S—2.所以通解为

y=ed(Geosyx+Gsin驿)(其中Cj,C2为任意常数)。

17、设曲线产f(x)在点(1,f(l))处的切线平行于x轴，则该切线方程为o

标准答案：y=f(1)

知识点解析：因为曲线y=f(x)在(1,f(l))处的切线平行于c轴，所以y()=0,即斜

率率0,则此处的切线方程为y-f(l)=0(x-l)=0,即y=f(l)o

——1=工=u+3

18、过点Mo(l.-2.0)且与直线3-11垂直的平面方程为

标准答案：3(x-l)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)

知识点解析：因为直线的方向向量s={3,-1,1),且平面与直线垂直，所以平面的

法向量n={3,-1,1},由点法式方程有平面方程为：3(x-l)-(y+2)+(z-0)=0,即3(x-

l)-(y+2)+z=0o

0(工一2一

19、级数3n的收敛区间为o(不包括端点)

标准答案：(1,3)

V(n一2)”Gc-2尸

知识点解析：级数'W3n的一般项an(x尸3〃，则由比值法有:

(工一2)小

（公3(九+1)殳一2)用

Iz-2|・

4Cz）(工一2分35+D(z-2》

3n

当|x-2|Vl时收敛，所以有-1VX-2V1,即1VXV30故收敛区间为(1,3)。

20、设二元函数z=ln(x+y2),则；」=。

标准答案：dx

3z_]dz_2_y

知识点解析：由于'工工+y2'3丁工+丁'函数z=ln(x+y2)的定义域为x+y2>

0o在z的定义域内Hi'ay为连续函数，因此dz存在，且

2X0

1+。21+02

=匹

三、简单解答题(本题共5题，每题7.0分，共5分0)

21、已知当XT0时，(/I+-1)与sir?x是等价无穷小量,求常数a的值。

标准答案：由于当XTO时,(刀+s-1)与sinjx是等价无穷小量,因此有

lim/1+/一1=lim(/1++-+D

Lsin2x_…(/1+++1)sin2x

=lim-J1十1=lim--------------------=4-=1.

解得a=2o

知识点解析：因为当XTO时,(4++一1)与sir?x是等价无穷小量,所以有

lim，1上写‘二=1

Isin'z

22、设yJ言，求%2_

令y=Inu.u=2F；

dy_1du_—(2+外一(2-z)一4

duu*dr(2+x)2一(2+N)2‘

标准答案：所唬=9品=±・

知识点解析：本题考查复合函数的求导，可利用链式法则求解。

-J[/(sinx)dx.

23>求证:J()“xf(sinx)dx=2J。

标准答案：Jo"xf(sinx)dx=JJ)(sint)dt=JJ)(7T-t)f(sint)dt=疝)阡(sint)dt-Jo7tmsin【)dt因为定

-yf/(sinx)dx

积分与积分变量无关，所以J()"xf(sinx)dx=2Jo。

知识点解析：解题思想是对左侧积分作替换，令X=7U・t,即

fWj/(sinx)dx…令”」」

Jo40(mi)f(sim)di打开括号后整理，再运用x=a・x,x=

a

2的思想，即可得证。

X

24、求曲线y=