中考数学专题复习《二次函数综合题》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《二次函数综合题》测试卷•附带答

案

学校:班级:姓名:考号:

1.(2024・上海奉贤二模24)如图，在直角坐标平面X。)，中，抛物线)，二以2一2办+。与穴轴

交于点A、B,与轴正半轴交于点。，顶点为。，点A坐标为(-1,0).

(I)写出这条抛物线的井口方向，并求顶点尸的坐标(用”的代数式表示)；

(2)将抛物线向下平移后经过点(0,1)，顶点P平移至〃.如果锐角NCPP的正切值为

求。的值；

(3)设抛物线对称轴与/轴交于点。，射线PC与工轴交于点E，如果/EDC=/BPE,

求此抛物线的表达式.

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2.（2024♦上海虹口二模24）新定义：已知抛物线），=⑪2+尿（其中出七二0）,我们

把抛物线y=cx2+ar+〃称为）,=,4+公+。的“轮换抛物线”.例如：抛物线

），=2尤2+3工+1的“轮换抛物线”为），=J+2x+3.

已知抛物线C］：）=4〃疗+（46—5）x+m的“轮换抛物线”为G，抛物线J、C2与）'轴

分别交于点石、尸，点E在点厂的上方，抛物线G的顶点为尸.

（1）如果点七的坐标为（0,1）,求抛物线Q的表达式；

（2）设抛物线C2的对称轴与直线y=3x+8相交于点。，如果四边形PQE/7为平行四边

形，求点E的坐标；

（3）已知点M（-4,〃）在抛物线G上，点N坐标为，2,—7,当NMNSMEF时，

求加的值.

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3.（2024•上海黄浦二模24）问题：己知抛物线心y=^-2x,抛物线W的顶点在抛物线

L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点.请求出一个满足条件的抛物线W的表

（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是®

再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是一②；然后求出抛物线L

的顶点是一③；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系

数的值为一④；最后写出抛物线W的表达式是®

（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W,请再写出一个抛物线W的表

达式.

（3）如果问题中抛物线〃和W在工轴上所截得的线段长相等，求抛物线卬的表达式.

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4.（2024.上海金山二模24）已知：抛物线y=/+云+。经过点A（3,0）、8（0,-3）,顶点

为P.

（I）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；

（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点0在直线45上，且点。在y轴右侧.

①若点8平移后得到的点。在x轴上，求此时抛物线的解析式；

②若平移后的抛物线与丁轴相交于点。，且△BOQ是直角三角形，求此时抛物线的解析

式.

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5.（2024・上海静安二模24）如图，在平面直角坐标系入3,中，已知抛物线关于直线工二|

对称，且经过点40,3）和点8（3,0）,横坐标为4的点C在此抛物线上.

（2）联结48、BC、AC,求tan/BAC的值；

（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且NQ4C=45。，过点。作PQ_L），轴，垂足为

Q,请说明ZAPQ=/BAC,并求点P的坐标.

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6.（2024.上海闵行二模24）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线），二gf十区+。与工

轴相交于A（—1,0）、B两点,且与），轴交于点。（0,-2）.

1

X

2

I

-2-10I23iix

-I

-2

-3

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点。是工正半轴上一点，ZADC=2ZACO,且四边形A。。。是菱形，请直接

写出点。和点Q的坐标（不需要说明理由）；

（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对

于平面内的•个多边形，画出它的任意•边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，

那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”.如果点E是抛物线对称轴上

的一个动点，纵坐标为/,且四边形AC跖是凹四边形（线段AE与线段8C不相交），求/

的取值范围.

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7.（2024.上海浦东二模24）在平面直角坐标系xOy中，已知直线＞二-X+2与4轴、），

轴分别交于点八、点8,抛物线G：丁=-产+辰+。经过点A、B两点,顶点为点C.

（1）求氏c的值；

（2）如果点。在抛物线G的对称轴上，射线平分NCAO,求点。的坐标；

（3）将抛物线C平移,使得新抛物线G的顶点E在射线BAI.,抛物线。2与5轴交于点F,

如果△助方是等腰三角形，求抛物线。2的表达式.

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8.（20241：海普陀二模24）在平面直角坐标系X0V中（如图），已知抛物线

y=-〃2『+〃（〃工0）与x轴交于点A、B,抛物线的顶点?在第一象限，且

（1）当点尸的坐标为（4,3）时，求这个抛物线的表达式；

（2）抛物线y=。（/-/力：「+〃（〃。0）表达式中有三个待定系数，求待定系数〃与〃之间的

数后关系：

（3）以点P为圆心，Q4为半径作0P,与直线），=x+g相交于点M、N.当点P在

直线y=上时，用含。的代数式表示A/N的长.

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9.（2024•上海青浦二模24）在平面直角坐标系X。），中，抛物线），=以？+法-3的图像与

x轴交于点4—3,0）和点8（1,0）.与y轴交于点C,D是线段QA上一点.

（1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标；

（2）如图,过点。作/X；Ix轴，交该抛物线干点G,当=时，求

的面积；

（3）点。为该抛物线上第三象限内一点，当。。=1,且NDC5+NP3C=45。时，求点

P的坐标.

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10.（2024.上海松江二模24）如图，在平面直角坐标系X©中，己知点4（2,0）、点3（0,2）,

抛物线）,=一/+瓜+。经过点A,且顶点。在线段A8上（与点A、B不重合）.

（2）将抛物线向右平移加（相＞0）个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对

称轴交于点。，连接PO,交x轴于点E.

①如果m=2,求M7DP的面积；

②如果上C=£'P,求加的值.

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11.(2024•上海徐汇二模24)如图，在平面直角坐标系X。)，中，抛物线

y=ax2-4ax+4(。＞0)与x轴交于点A(l,0)和点8,与丁轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式及点3的坐标；

(2)已知点M(0,m),联结8C,过点用作MG_L8C,垂足为G,点。是人轴上的动

点，分别联结G。、MD,以G。、MO为边作平行四边形GOMN.

①当机=2时，且uGZXWN的顶点N正好落在)'轴上，求点。的坐标；

2

②当,〃20时，且点。在运动过程中存在唯一的位置，使得aGOMN是矩形，求〃7的值.

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12.（2024•上海杨浦二模24）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切

的圆叫做这个点与已知直线的点切圆.如图1,已知直线/外有一点〃，圆Q经过点”且与

直线/相切，则称圆。是点”与直线/的点切圆.阅读以上材料，解决问题：

己知直线。4外有一点P,PA1OA,OA=4,AP=2,圆M是点P与直线。4的点切

圆.

图I图2

（1）如果圆心M在线段QP上，那么圆M的半径长是（直接写出答案）.

（2）如图2,以。为坐标原点、Q4为x轴的正半轴建立平面直角坐标系点P在第

一象限，设圆心M的坐标是（工,丁）.

①求），关于x的函数解析式；

②点B是①中所求函数图象上的一点，连接BP并延长交此函数图象于另一点C.如果

CP:BP=1:4,求点8的坐标.

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13.（2024.上海嘉定二模24）在平面直角坐标系xO.V（如图）中，己知抛物线y=av2+bx+3

经过点41,0）、B（-2,3）两点，与＞轴的交点为。点，对称轴为直线/.

（2）已知以点。为圆心，半径为圆记作圆C,以点A为圆心的圆记作圆人如果圆

A与圆。外切，试判断对称轴直线/与圆A的位置关系，请说明理由；

（3）已知点。在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果N8OC=NB4C,请求出点。的

坐标.

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14.（2024・上海长宁二模24）（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ad+2x+c与X轴分别交于点A、8（点A在

点B左侧），与），轴交于点。（0,6）,其对称轴为直线x=2.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点尸是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与），轴、线段交于

点D、E.

①当b=OF时，求CZ）的长；

②联结AC,如果△Ab的面积是△COE面积的3倍，求点尸的坐标.

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15.（2024・上海宝山二模24）（本题满分12分,第⑴小题满分4分，第（2）小题满分4分，

第⑶小题满分4分）

在平面直角坐标系xOy中（如图11），已知开口向下的抛物线y=o^-2x+4经过点

P（0,4）,顶点为A.

（1）求直线PA的表达式；

（2）如果将绕点。逆时针旋转90°,点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表

达式；

（3）将（2）中得到的抛物线沿射线以平移，平移后抛物线的顶点为从与），轴交于点C.

如果尸C=求心〃NP8C的值.v

P。4）

O

图II

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16.（2024.上海宝山二模24）如图，已知在平面直角坐标系中，直线）,=且工+3与x

-3

轴相交于点A,与），轴相交于点8,抛物线=+云+c经过点8和点C（L0）,顶点

为。.

（1）求抛物线c的表达式及顶点。的坐标；

（2）设抛物线与1轴的另一个交点为E,若点夕在），轴上，当/~七。=90。时，求点P的

坐标；

（3）将抛物线G平移，得到抛物线C2.平移后抛物线G的顶点。落在x轴上的点M处，

将△M48沿直线A8翻折，得到△QA8,如果点。恰好落在抛物线C2的图像上，求

平移后的抛物线G的表达式.

参考答案

1.（2024・上海奉贤二模24）如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线），=以2-2〃工+。与x轴

交于点A、B,与），轴正半轴交于点C,顶点为P，点A坐标为（-1,0）.

（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P的坐标（用〃的代数式表示）;

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(2)将抛物线向下平移后经过点(0,1),顶点。平移至P.如果锐角/CPP的正切值为g,

求。的值；

(3)设抛物线对称轴与x轴交于点。，射线PC与％轴交于点E，如果/EDC=/BPE,

求此抛物线的表达式.

【答案】(1)抛物线开口向下，

3

(2)a=——

2

(3)y=-x2+2x+3

【分析】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，正切的定义，相似三角形的性质与判

定；

(1)将点(一1,0)代入解析式可得c=-3a,根据抛物线与y轴正半轴交于点C,得出”0,

即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；

(2)过点C作CH_LP产于点〃，设向下平移加个单位〃2>0,平移后的抛物线为

y=a(x—l『一4。—加，根据题意得出尸77=2,得出一3々一2=一〃z，点：(0,1)代入

y=a(x—l)2—4。一机，得出a—4。—根=1,联立解方程组，即可求解；

EDEC

(3)根据题意可得&EDCS二则——二—,根据题意得出直线PC的解析式为

EPEB

y=-ax-^a,进而得出后(一3,0),由抛物线对称轴与工轴交于点O,得出10a0),则

ED=4,EB=6,勾股定理可得CE,尸E,进而代入比例式，即可求解.

【小问1详解】

解：:抛物线y=4/2-%r+c与4轴交于点(一1,0)

，a+加+c=0

c=-3a

•・•抛物线与y轴正半轴交于点c,

/.-3«>0

a<0

，抛物线开口向下，

二抛物线解析式为y=ajc-2ax-=—4a

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・•・o（ii）

【小问2详解】

解：如图所示，过点C作CH^LP产于点H，

设向卜.平移用个单位机〉0,平移后的抛物线为），=。（刀—if—4。一，〃

•••夕（1,―帽），锐角/C"尸的正切值为g，

：・CH=1,则户〃=2，9（1,7〃一相）

-3a-2=-4a-m®

将点（0,1）代入y=1）2-4a-in

a-4a-m=\®

7

m=—

9

联立①②得j

a=--

2

【小问3详解】

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,:y=ajc-2ox-3a=a(;c+l)(x-3)

当y=0时，x}=-l,x2=3

・•・3(3,0)

VC(0,-3tz),尸(la)

设直线PC的解析式为y=kx+t

t=-3a

••

k+t=-4a

k=-a

t=-3a

・•・直线PC解析式为y=-ax-3a,

当y=0时，x=-3

.•・E(-3,0)

•••抛物线对称轴与％轴交于点D,

・•・£)(1,0)

ED=4,EB=6,

勾股定理可得CE=ylco1+ECr=J9+9/=3,1+/，

PE=ylED2+PDr=，16+1而=4vm

•：/CED=/BEP,/EDC=/BPE

：・AEDCS^EPB

■ED_EC

"~EP=~EB

.43.1+/

4/1+4?6

解得：a=T(正值舍去)

・•・抛物线解析式为尸-/+2x+3.

2.(2024•上海虹口二模24)新定义：已知抛物线)，=ca2+Z?x+c(其中曲。。0),我们把

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抛物线y=c/+〃/+人称为），=〃/++c的“轮换抛物线”.例如：抛物线

），=2f+3x+l的“轮换抛物线”为），=犬+2尤+3.

已知抛物线C"y=4〃i/+（4机—5）x+〃?的“轮换抛物线”为J抛物线G、。2与y轴

分别交于点E、/，点E在点尸的上方，抛物线G的顶点为夕.

（1）如果点£的坐标为（0,1）,求抛物线g的表达式；

（2）设抛物线G的对称轴与直线）'=3工+8相交于点。，如果四边形PQE/7为平行四边

形，求点E的坐标；

（3）已知点M（-4,/?）在抛物线C2上，点N坐标为-2,-7g）,当2MNs4PEF时，

求〃？的值.

2

【答案】（1）y=x+4x-\（2）（3）,〃=T或导

【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似

三角形性质，

（1）将点E（O］）代入表达式，求出机的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；

（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点心尸坐标，并求出P、。坐标，根据

平行四边形性质得出PQ=EF列方程并解出，〃值，进而解决问题；

（3）先求M（-4,4m-5）,结合求出的点P、E、尸坐标得虚尸％2及。尸2,根据相似三角

形性质得出关于小的方程，解方程即可解决.

【小问1详解】

解：抛物线a：y=4/加+（4〃?-5）x+"?与y轴交于点f坐标为（0,1）,

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当/=0,>=1代入，得机=1,

\4/〃-5=-1»

「•抛物线G表达式为y=4/—x+1,

••・抛物线C1的“轮换抛物线”为G表达式为>=犬+4%-1；

【小问2详解】

解：抛物线G：y=4〃笳+（4〃?-5）/+机，

当R=0时，y=m,即与），轴交点为E（O,m）,

•・,抛物线C|：）=4/九/+（4根-5）x+〃z的“轮换抛物线”为C”

「•抛物线J表达式为y=nvc+4〃吠+（4〃”5）,

同理抛物线C2与），轴交点为b（0,4〃-5）,

抛物线C对称轴为直线A=--=-2,

2m

当x=—2时，y=-5,

「•抛物线G顶点坐标为。（一2,-5）,

当工=一2时，y=3x+8=2,

••・抛物线G的对称轴与直线y=3犬+8交点Q（—2,2）,

点上在点尸的上方，

\ni>4m-5»

解得：m<—,

3

\EF=m-4m-5）=5-3m,

四边形PQE尸为平行四边形,

\PQ=EF,即2・（・5）=5・3m,

解得：m=~—,

3

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(2

:.E0,——

13

【小问3详解】

解：•.•点在抛物线G上,

当x=-4时,y=//tv2+4mr+(4，〃・5)=4m-5,即M(・4,4必5),

12,-7力，P(-2,-5),E(O,/n),/(0,4〃?-5),

点N坐标为

；：2『〃2机？,

\PN2=(-2+2)2+*5+7,PF=(-2+(4z-5+5)=4+16

vSPEF=^EF?\xp\；(5-3〃z)?25-3m,

S2=JPN?M引=；?|5+7：?(2+4)=：

PMNs&PEF,

妻；笆

SPMNWPN?

,5-3m4+16/w2

V-=^5-，

24

17

解得:in=-

}32

3.（2024•上海黄浦二模24）问题：已知抛物线L：y=r-2x,抛物线W的顶点在抛物线

L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线心的顶点.请求出一个满足条件的抛物线W的表

达式.

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（I）解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点）,你所取的点是①；

再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是②；然后求出抛物线L

的顶点是一③；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系

数的值为④；最后写出抛物线W的表达式是

（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W,请再写出一个抛物线W的表

达式.

（3）如果问题中抛物线£和卬在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式.

【答案】（1）y=-x2（2）y=-（x-2）2

（3）+1或y=++1

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.

（1）根据题目所给方法，给定顶点坐标为（0,0）计算即可解题；

（2）仿照（1）中的方法，给定坐标为（2,0）计算即可解题；

（3）抛物线W的顶点坐标为（利,〃22一26）（加工1）,把抛物线/，的顶点是代入求出

”的值，然后再根据抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等得到抛物线M过（阳+1,0）,

代入得T+〃/-26=0、求出〃?值，即可得到解析式.

【小问I详解】

先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是（0,0）；再将该点作为抛物线卬的顶点，

可设抛物线W的表达式是y=o?；然后求出抛物线L的顶点是再将抛物线L的

顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为。=-1;最后写出抛物线W的

表达式是y=.

【小问2详解】

解：y=x2-2x=（x-l）2-1,

・•・抛物线L的顶点是（1,-1）,

取抛物线W的顶点坐标为（2,0）,

设抛物线W的解析式为y=把（1,一1）代入得：。二一1,

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:.抛物线w的解析式为y=-（x-2）2：

【小问3详解】

解.：令y=0,则/一2工=0,解得：%,=0,X2=2,

•••抛物线L在工轴上所截得的线段长为2，

设抛物线W的顶点坐标为（加,帆2-2机）（加工1）,

设解析式为y=a（x-/〃）2+〃z2-2/〃，把（1,一1）代入得：a（ni-\）2+77Z2-2//z=-l，

整理得（a+l）（〃2-l『=o,即。二一1,

/.y=-（x-/n）"+m2-Im,

又•・•抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，

•••抛物线M在x轴上所截得的线段长为2，

2

・•・抛物线M过（m+1,0）,代入得t+m-2m=0，

解得：加二应+1或m=-亚+1,

・•・抛物线的解析式为），=一（不一夜一l『+i或）,=一（工+&一1『+].

4.（2024•上海金山二模24）已知：抛物线y=/+云+（.经过点水3,0）、8（0,-3）,顶点

为P.

（1）求抛物线的解析式及顶点尸的坐标；

（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点。在），轴右侧.

①若点B平移后得到的点。在x轴上，求此时抛物线的解析式；

②若平移后的抛物线与y轴相交于点。，且△4。。是直角三角形，求此时抛物线的解析

式.

【答案】（I）），=/2A3,顶点尸的坐标是（1,一1）

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（2）©y=x2-4x+3：②y=f-24-1

【分析】（1）把点A和点4的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可；

（2）①先求直线的解析式，设Q点的坐标是再根据抛物线平称的规律求解

即可；

②抛物线与），轴的交点是。（0,r+/-3）,分两种情况：/8。。=90。或/次2。=90。，

根据等腰直角三角形的性质求解即可.

【小问1详解】

9+3Z?+c=0

由题意得：.，

c=-3

・••8=-2,c=-3,抛物线的解析式为y=x2-2x-3,

丁二工2一2工一3二（工一1）~一4,顶点。的坐标是（1,-4）.

【小问2详解】

①设直线AB的解析式是）'=〃氏+〃，

3m+71=0

・•・〈-，

72=-3

/.m=1,〃=一3,

・•・直线AB的解析式是y=X-3,

设。点的坐标是（?"一3）,其中，＞0,此时抛物线的解析式是），=（工一。2十，一3,

•・•点B平移后得到的点C在x轴上，

・•・抛物线向上平移了3个单位，

，，-3=-1,即7=2，

・•・此时抛物线的解析式是y=（x-2『+2-3,即），=f-41+3.

②抛物线y=（x-/）2+7-3,与.y轴的交点是。（0,/+/-3）,

如果N4OQ=9（）。，即OQ_Ly轴不合题意，

如果N3QD=90。,

•・ZAO8=900,AO=BO^

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，NOW=N。朋=45。，

・•・/QBD=NBDQ=45。,

/.QB=QD,

作QE_Ly轴，则BE=DE，

QE=^BD,

VQE=t,BD=hf,

解得％=。(不合题意，舍去)或4=1，

/«/=1»

此时抛物线的解析式是y=(x-+1—3,即)，=V-21一1.

5.(2024.上海静安二模24)如图，在平面直角坐标系上。)，中，已知抛物线关于直线X=|对

称，且经过点4(),3)和点8(3,0),横坐标为4的点C在此抛物线上.

(2)联结A3、BC、AC,求tan/BAC的值；

(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且NA4C=45。，过点P作尸。JLy轴，垂足为

第26页共61页

Q,请说明NAR2=N84C,并求点P的坐标.

【答案】(I)该抛物线的表达式为)，=；/一坐工+3；

1<1744A

(2)tanZBAC=-(3)点P的坐标为—.

3139J

【分析】(1)运用待定系数法求解；

(2)先证得以03是等腰直角三角形，可得NABO=45。，AB=0OA=3O,过点。

作CE_Lx轴于E，则N23£C=9O0,CE=1,。匹=4,进而证得是等腰直角三角形，

可得NC%：=45。，BC=6CE=4i，推出NA3C=90。，再运用三角函数定义即可求

得答案；

(3)连接A3,先证得/4PQ=NB4C,得出tanNAQQ=tan/8AC=:，即梨=?,设

37。

j(1A

=,n

PQ=m,则AQ~»可得。。=3+1%得出夕mf3+-m,代入抛物线解析式求得

“二?,即可求得答案.

3

【小问1详解】

解：.•抛物线关于直线工=—对称，

2

=a(x-^]+Z,把40,3)、3(3,0)代入，

一•设抛物线的解析式为y

12)

[250

—a+kz=3

m4

得：j，

-a+k=0

14

i

a=—

2

解得：，

k=--

8

\(5f1

y=—x————=--X2-—x+3>

-212)8：52

15

•••该抛物线的表达式为y=~x^2—x+3o；

22

【小问2详解】

第27页共61页

解：在y=-9工+3中，令工=4,得y=1x42-』x4+3=l

2222

...C(4,l),

A(0,3)、8(3,0),

OA=OB=3,

是等腰直角三角形,

?.ZABO=45°,AB=4iOA=30,

如图，过点。作CE_Lx轴于£,则N8£C=90。，CE=T,OE=4,

:.BE=OE-OB=4-3=\,

BE=CE，

「.△BCE是等腰直角三角形,

.-.ZCBE=45°,RC=gCE=6,

/.ZABC=180°-ZAB6>-ZCBE=90°,

..tanNRAC=空=岸」；

AB3夜3

【小问3详解】

由（2）知JOB是等腰直角三角形,

/.ZBAO=45°,

第28页共61页

ZPAC=45°,

ZPAQ+ABAC=180°-ABAO-/PAC=90°,

•・•P。_Ly轴，

:.APQA=90°,

NB4Q+ZA尸Q=90。，

：.ZAPQ=^BAC,

tanZAPQ=tanZ.BAC=；,

•丝」

"PQ3'

设PQ="2,则AQ=，〃，

OQ=OA+AQ=3+g“z,

JQ11

I3)

点夕在对称轴右方的抛物线上，

3H—ifi——〃?—-m+3f且m>一,

3222

解得：〃2=:，

217..1fl7f517o44

当胆=—时，V=—X———X-----1-3=——，

3*2I3J239

一（1744]

二点户的坐标为—I-

6.（2024・上海闵行二模24）在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=十陵+。与工

轴相交于4（一1,0）、8两点，且与），轴交于点。（0,-2）.

第29页共61页

（1）求抛物线的表达式:

（2）如果点。是.丫正半轴上一点，ZADC=2ZACO,且四边形AQC。是菱形，请直接

写出点。和点Q的坐标（不需要说明理由）：

（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对

于平面内的一个多功形，画出它的仟意一切所在的直线，如果其余各i力都在这条直线的一侧，

那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”.如果点£是抛物线对称轴上

的一个动点，纵坐标为/,且四边形ACBE是凹四边形（线段AE与线段BC不相交），求，

的取值范围.

【答案】(1)y=ix2-1x-2⑵呜。｝

.22

（3）0<r<—或？<一5

4

【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可;

（2）先求出3点坐标，勾股定理逆定理求出NAC8=90。，根据NADC=2NACO,得到。

为AN的中点，再根据菱形的性质，求出。点坐标即可:

（3）求出直线ACBC的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形

的定义，讨论求解即可.

【小问1详解】

解：把A（—1,0）,。（0,-2）代入），=,/+云+0,得:

2

b=V,

-X(-1)2-/J+C=0

2V7,解得：＜

c=-2

第30页共61页

’22

【小问2详解】

*/y=—x2--x-2，

•22

i3

当丁二一x2—x—2=0时，解得：玉=-1，W=4,

22

6(4,0),

•・・A(-1,0),C(0,-2)

•••AB=5,AC="+22=68。="+2?=2行,

：-AC2+BC2=AB\

・•・ZACB=90°,

，ZACO+N8co=90。，

♦・•ZCBO+ZBCO=90c，

•・,ZACO=ZCBO,

*：ZADC=2ZACO^

・•・乙\DC=24)BC,

连接CO,则：ZADC=/DCB+/CBD=2NOBC，

・•・/DCB=/CBD,

/.ZDCB=ZACO,CD=BD,

ZDCB+ZDCA=ZACO+ZOAC=90°，

：.ZDCA=ZOAC,

/.CD=AD=BD，

••・。为48的中点，

••・唱4

•••AQCO是菱形，

・•.AQ//CD,

3

把点C光向右平移二个单位，再向上平移2个单位得到点。,

第31页共61页

3

，把点。先向右平移7•个单位，再向上平移2个单位得到点A,

2

FT；

13「

.y=­x2—x—2,

’22

・•・对称轴为直线x二g

2

.♦.对称轴与X轴的交点坐标为。f,0),

1//

VA（-1,O）,8（4,0）,C（0,-2）,

1

・•・设宜线BC的解析式为y=履一2,把3(4,0)代入，得：k2-

135

y=-x-2,当x=一时，y=——

.22-4

3_5

・•・直线3C与对称轴的交点坐标为产2,-4

(3

同法可得：直线AC的解析式为：>二一2工一2,直线AC与对称轴的交点坐标为M；,-5

•••点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为3且四边形ACBE是凹四边形，

・•・当点E在。,尸之间或点E在点M下方时，满足题意，

/.0</<—或/<—5.

4

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7.（2024•上海浦东二模24）在平面直角坐标系X。），中，已知直线y=-1+2与x轴、），轴

分别交于点A、点从抛物线G:y=-/+Z?x+c经过点人、B两点,顶点为点C.

（2）如果点。在抛物线G的对称轴上，射线A3平分NCAO,求点。的坐标；

（3）将抛物线G平移,使得新抛物线G的顶点石在射线BA上,抛物线C2与），轴交于点F,

如果△2?£尸是等腰三角形，求抛物线的表达式.

【答案】（1）b=l,c=2：

（3）y=—+1,一立+3或y=-（.r-1）2+1

【解析】

【分析】（1）由待定系数法即可求解：

（2）证明▲”）7/为等腰直角三角形，则点。0在AC上，点Q0D'代入AC的解析式，即

可求解；

（3）分情况讨论：当BE=BF时,列出方程，即可求解；当鹿=E/或8/=£F时，同

理可解.

第33页共61页

【小问1详解】

解：把x=0代入），二一1+2得），=2,

•••点B坐标是（0,2）,

把y=O代入y=r+2,得X=2,

・••点八坐标是（2,0）,

c=2

将点A、8坐标代入y二一厂+灰+c,得，

0=-22+22>+C，

h=\

解得

c=2

，抛物线的表达式是y=-x2+x+2.

【小问2详解】

由（1）知，抛物线的表达式为），=一％2+x+2,则其对称轴为直线x=

作点D关于直线AB的对称点课DD'交AB于点T,

VAB平分ZCAD,

・•・由轴对称的性质可得：DT=D'T，

过点D作x轴的平行线交AZTECH,连接

V4（2,0）,5（0,2）,

••・40AB=45°，则NDHB=45°，

第34页共61页

则，D7H为等腰直角三角形，

由轴对称的性质可得：▲£>'7H为等腰比角三角形,

・••_DDH为等腰直角三角形，则点排在AC上，

设点，

^y=ni=-.x+2,则x=2—6，

:.H(2-/77,/??),

：,DH=2-m--=--m=D'H，

22

点O'(?—川，])，

设育线为)'=依+〃，

2。+〃=0_3

・•・•19，解得：，“-2.

—〃+〃=一°

〔24〔〃二3

3

，直线4c的表达y=-：x+3,

2

将点加代入上式得：|=-|(2-w)+3,

解得：m=l,则点吗/)

【小问3详解】

设点£(〃?,一根+2)(例>0),

则抛物线的表达式为：y=-(x-m)2-m+2,

当x=0时，y=-(x-/?!)2-in+2=-tn2一m+2,

即点尸(0,->一加+2),而8(0,2),

•**BF=J(一〃"一〃z+2-2)2=nr+m>BE=+(-/«+2-2)2=\[lm，

FE=yjm2+(一>丫_品2+/,

2

当BE=BF时,则fn4m=42m，

第35页共61页

解得：m=0（舍去）或加=血—1，

则抛物线表达式为：），=一（工一加+1）2-&+3：

当BE=EF或BF=EF时,则血机=了或/+m=\/m2+/??4，

解得：〃?=1（不合题意的值已舍去），

即抛物线的表达式为：y=-（x-l）2+l,

综上，抛物线的表达式为：），=一（无一1『+1或》=一（人一血+1丫一血+3.

8.（2024.上海普陀二模24）在平面直角坐标系X。），中（如图），已知抛物线

y=+〃（〃工0〉与x轴交于点A、B,抛物线的顶点夕在第一象限，且

ZAPB=90°.

（1）当点P的坐标为（4,3）时，求这个抛物线的表达式；

（2）抛物线y=a^x-m\+〃（。W0）表达式中有三个待定系数，求待定系数a与〃之间的

数量关系；

（3）以点尸为圆心，Q4为半径作0P,0P与直线），=x+］相交于点M、N.当点P在

直线y=上时，用含口的代数式表示MN的长.

【答案】（I）y=--（r-4）24-3（2）a=--（3）MN=一^~

'3'7〃2a

【分析】（1）4q钻是等腰直角三角形，当点尸的坐标为（4,3）时，则y=a（x—4『+3抛

物线的对称轴为直线x=4,得出4（1,0）,B（7,0）,然后待定系数法求解析式，即可求解；

（2）根据（1）的方法求得〃一，0）,待定系数法求解析式，进而得二一;；

（3）根据尸（〃?,〃）在），二：x上得出〃?=2〃，根据（2）的结论得出。=一1,4（加一七0）

第36页共61页

即4(〃,0),与直线y=相交于点M、N.设直线y=x+］交x轴于点E，交了轴

于点F，得出P4〃MN,则」?PAS-BOE，求得PD=工〃,在Rt.PM。中勾股定

4

理求得MO,进而求得肋V,即可求解.

【小问1详解】

解：依题意，..小/是等腰直角三角形，

当点。的坐标为(4,3)时，则)，=。(工一4『+3抛物线的对称轴为直线x=4,

如图所示，过点P作PC_Lx轴于点C,

・•・PC=-AB=AC=CB=3

2

••・4(1,0),5(7,0)

将A(l,0)代入y=〃(x—4『+3

0=t/(l-4)2+3

解得：

・•・抛物线解析式为J=-1(X-4)2+3；

【小问2详解】

解：・・・抛物线丁=。(为一间2+，(。/0)与工轴交于点八、8,抛物线的顶点?在第一象限,

第37页共61页

・・・-PBC是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为（根,〃），

••・PC=AC=n,

代入y=z)~+〃(aHO)

/.a(/加一n—\2+n=0

即an2+〃=0，

•・•抛物线的顶点P在第•象限,则〃>0

【小问3详解】

,:P（7M»n）在y=—xAL

n=-m,即m=