中考数学阅读理解题专题

中考下台下——各我2008中考与败

（阅读理解题）

一、学问网络梳理

阅读理解题是近几年新出现的一种新题型，这种题型特点显明、内容

丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读实力，而且

综合考查学生的数学意识和数学综合应用实力，尤其侧重于考查学生的数

学思维实力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从仿照到创建的思维

过程，符合学生的认知规律。阅读理解题一般由两部分组成:一是阅读材

料；二是考查内容.它要求学生依据阅读获得的信息回答问题.供应的阅读

材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新数学公式

的推导与应用，或供应新闻背景材料等.考查内容既有考查基础的，又有考

查自学实力和探究实力等综合素养的.

这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料

所给的信息加以搜集整理，在此基础上，依据题目的要求进行推理解答。

涉和到的数学学问许多，几乎涉和全部中考内容。

阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查

学生的阅读实力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用实力，尤

其是侧重于考查学生的数学思维实力和创新意识，此类题目能够帮助考生

实现从仿照到创建的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目

之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势。

题型1考杳解题思维过程的阅读理解题

言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高数学索养的

前提。数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学

习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测解题者理解解题过程、驾

驭基本数学思想方法和辨别是非的实力而设置的。

题型2考查订正错误挖病根实力的阅读理解题

理解基本概念不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握概念的内涵或

实质，理解概念间的相互联系，形成学问脉络，从而整体地获得学问。这

类试题意在检测解题者对学问的理解以和相识问题和解决问题的实力。

题型3考查归纳、探究规律实力的阅读理解题

对材料信息的加工提练和运用，对规律的归纳和发觉能反映出一个人

的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和实力。这类试题意在检测

解题者的数学化实力以和驾驭数学的创新意识和才能。

题型4考查驾驭新学问实力的阅读理解题

命题者给定一个生疏的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类

考题能考查解题者自学实力和阅读理解实力，能考查解题者接收、加工和

利用信息的实力。

解阅读新学问，应用新学问的阅读理解题时，首先做到仔细阅读题目

中介绍的新学问，包括定义、公式、表示方法和如何计算等，并且正确理

解引进的新学问，读懂范例的应用；其次，依据介绍的新学问、新方法进

行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错。

第一课时代数阅读题

［目标导学］

此类阅读理解题一般以数式的运算、方程（不等式）的计算以和函数

学问为背景，考查相关的学问；内容可以包括定义新思路、新方法，这主

要是考查学生的理解应变实力，也可以是供应全新的的阅读材料，介绍新

学问，用来考查学生的学以致用的实力。

［例题精析］

例1（。7资阳）已知坐标平面上的机器人接受指令"反，A］ff（a>0,

00</lvl8（r）后的行动结果为：在原地顺时针旋转力后，再向面对方向

沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它

完成一次指令［2,60°］后，所在位置的坐标为（D）

A.（-1,-VS）B.（-1,6）C.（G,-1）

D.（・>/5,-1）

例2（07台州）为确保信息平安，信息须要加密传输，发送方由明文1密

文（加密），接收方由密文->明文（解密）.已知加密规则为：明文a，b,c

对应的密文。+1，必+4,3c+9.例如明文1,2,3对应的密文2,8,18.假

如接收方收到密文7,18,15,则解密得到的明文为（B）

A.4,5,6B.6,7,2C.2,6,7D.7,2,6

例3.（03无锡市）读一读：式子“1+2+3+4+5+……+100”表示从

1起先的100个连续自然数的和.山于上述式子比较长，书写也不便利，

100

士〃

为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+……+100”表示为I,

这里是求和符号.例如:“1+3+5+7+9+……+99"（即从

50

Z（2〃-1）

1起先的100以内的连续奇数的和）可表示为I；又如“N+23

10

+33+43+53+634-73+83+93+103W可表示为1.同学们，通过对

以上材料的阅读，请解答下列问题：

①2+4+6+8+10+……+100（即从2起先的100以内的连续偶

数的和）用求和符号可表示为；

②计算：I=（填写最终的计算结果）.

分析：本题就是先给读者供应全新的的阅读材料，介绍了求和符号

的意义，这是学生没有遇到过的新学问，只有通过阅读理解它的意

义，才能正确解答下面有关问题。求和符号的下,面和上面的数字分别表示

求和加数的首、尾数字序数，求和符号右边的代数式表示求和加数的性质。

50

解：（1）±2〃；（2）50o

n-1

［解题启示］

本题是一道在初中和中学学问的连接点上命题的代数阅读理解题，学

生只有正确阅读理解求和符号的意义、书写格式等学问，才能迁移

运用，再发散开放。

例4.（05陕西省）阅读：我们知道，在数轴上，x=i表示一个点.而在

平面直角坐标系中，*=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程

2.y+l=0的全部解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+l的图象，

它也是一条直线，如图2-4・10可以得出：直线x=l与直线）=2A+1的交点

P的坐标（1,3）就是方程组［二;

在直角坐标系中，尤力表示一个平面区域，即直线以和它左侧的部

分,如图2-4-11；>2A+1也表示一个平面区域，即直线"2户】以和它下

方的部分，如图2-4-12.回答下列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中，

（1）用作图象的方法求出方程组，的解.

y=-2x+2

x>-2

（2）用阴影表示”-2n2,所围成的区域.

y>0

yy

=2x+#

分析：通过阅读本题所供应的材料，我们要明白两点：方程组的解与两

直线交点坐标的关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法.

解：（1）如图2-4-13,在坐标中分别作出直线片-2和直线

广-2r+2,这两条直线的交点P（-2,6）,贝二2是方程组卜的

[y=6[y=-2x+2

解.

例5（05镇江市）阅读下列一段文字，然后解答问题.

修建润扬大桥，途经镇江某地，需搬迁一批农户，为了节约土地资源

和爱护环境，政府确定统一规划建房小区，并且投资一部分资金用于小区

建设和补偿到政府规划小区建房的搬迁农户.建房小区除建房占地外，其余

部分政府每千方米投资10。元进行小区建设；搬迁农户在建房小区建房，

每户占地100平方米，政府每户补偿4万元，此项政策，吸引了搬迁农

户到政府规划小区建房，这时建房占地面积占政府规划小区总面积的

20%.

政府乂激励非搬迁户到规划小区建房，每户建房占地12。平方米，但

每户需向政府交纳土地运用费2.8万元，这样又有20户非搬迁户申请加

入.此项政策，政府不但可以收取土地运用费，同时还可以增加小区建房占

地面积，从而削减小区建设的投资费用.若这20户非搬迁户到政府规划小

区建房后，此时建房占地面积占政府规划规划小区总面积的40%.

(1)设到政府规划小区建房的搬迁农户为x户，政府规划小区总面积为

V平方米.

可得方程组解得

(2)在20户非搬迁户加•入建房用厂请测算政府共需投资

万元

在20户非搬迁户加入建房后，请测算政府将收取的土地运用费投

入后，还需投资万元.

(3)设非搬迁户申请加入建房并被政府批准的有z户，政府将收取的土

地运用费投入后，还需投资。万元.①求。与z的函数关系式；②当p

不高于140万元，而又使建房占地面积不超过规划小区总面积的

35%时，那么政府可以批准多少户非搬迁户加入建房？

分析：本题通过文字给出了大量的数据信息厂答题时要仔细审题，顺

理各种数据间关系，建立方程、函数和不等式模型使问题得以解决。

l()0.r+20xl20=40%y

x=24

[)，=12000

(2)192

112

(3)①P=24x4-2.8z+(120-24-1.2z)

=192-4z.

192-4z„140

②由题意得J

2400+120z„35%xl20CO

解得《.'.13gijz15.

z,,15.

政府可批准13、14或15户非搬迁户加入建房.

［解题启示］

本题实质是方程组、函数和不等式组综合应用题，以阅读理解型问题

形式出现，突出了过程学问的考查。

［课堂训练］

-二基础训练：

1.（05浙江）在日常生活中如取款、上网等都须要密码.有一种用“因

式分解”法产生的密码，便利记忆.原理是：如对于多项式--＞」，

因式分解的结果是（-y）（x+），）（/+/,若取k9,产9时，则各个因

式的值是：（X一列=0,（x+j）=18,（A2+y2）=162,于是就可以把

“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式41—犷，取货10,

产10时，用上述方法产生的密码是：（写出一个即可）.

2.（03青岛）九年义务教化三年制初级中学教科书《代数》第三册第52

页的例2是这样的：“解方程--6/+5=0”.这是一个一元四次方程，

依据该方程的特点，它的解法通常是：设-=y,那么/=），?,于是原方

程可变为-6），+5=。①，解这个方程得：yi=l,y2=5.当y=1

时，x2=1,/.x=±1;当y=5时，x2=5,x=±V5o所以原方

程有四个根：Xi=1,x2=-l,x3=V5,x4=-^5o

⑴在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，

体现了转化的数学思想.

⑵解方程（丁-寸_467）-12=0时，若设y=x2-x,则原方程可化

为.

3.（攀枝花）先阅读下列材料，再解答后面的问题

材料：一般地，n个相同的因数。相乘：”记为九如23=8,此时，

M、

3叫做以2为底8的对数，记为log?8（即log28=3）。一般地，若

/=力（。〉0且。=1力>0）,贝I」n叫做以。为底b的对数，记为

log,*（即log,*=〃）.如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为

k）ga81（即唾381=4）o

问题：（1）计算以下各对数的值

log,4=log216=log,64=

（2）视察（1）中三数4、16、64之间满意怎样的关系式？

log24>log216>log264之间又满意怎样的关系式？

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

log”M+log”N=（6/>0且〃w1,M>0,N>0）

依据骞的运算法则：a-i以和对数的含义证明上述结

论。

二.拓展训练：

1.（04十堰市）先阅读理解下列例题，再按例题解一元二次不等式：

6x2-x-2>0

解：把6/-工一2分解因式，得6/7一2=（3x-2）（2x-l）

又6/-工-2>0,所以（3x-2）（2x-l）>0

山有理数的乘法法则”两数相乘，同号得正“有

（1）?”2>0或⑵产-2<0

o

解不等式组（1）得x>：

解不等式组（2）得x<-1

0I

所以（3x—2）（2x-l）>。的解集为x>；或x<-i

作业题：①求分式不等式沁〈。的解集。

2%-3

②通过阅读例题和作业题①，你学会了什么学问和方法?

2.（04大连）阅读材料，解答问题：

材料：“小聪设计的一个电子嬉戏是：一电

子跳蚤从这PJ-3,9）起先，按点的横坐标

依次增加1的规律，在抛物线），=/上向右跳

动，得到点P2、P3、P,、P5……（如图12所

示）。过Pl、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3

垂直于X轴，垂足为H］、比、H3,则

SNgp、-s梯形巴丹也褐-s悌形6%也八一s梯形5日出遍

=-（9+1）x2--（9+4）x1-1（4+1）x1

222

=1

即ZkPlP2P3的面积为1。

问题:

⑴求四边形P】P2P3P4和P2P3P4P5的面积（要求：写出其中一个四边形面积

的求解过程，另一个干脆写出答案）；

⑵猜想四边形P「FnPn+Fn+2的面积，并说

明理由（利用图13）

⑶若将抛物线y=r改为抛物线

）,=/+法+C,其它条件不变，猜想四边形

Pn_FnPn+Fn+2的面积（干脆写出答案）

图13

［课后训练］

一.基础训练：

1.（03青岛）探究数字“黑洞”：“黑洞”原指特别惊奇的天体，它体

积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来.无

独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满意某种条件的全部数，通过

一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌.譬如：随意

找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再

相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、

求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=,

我们称它为数字“黑洞”.

T为何具有如此魔力？通过仔细的视察、分析，你肯定能发觉它的奇妙!

2.先阅读下列材料，然后解答题后的问题.

材料：从A、B、C三人中选择取二人当代表，有A和B、A和C、

B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元

素组合，记作C；=^^=3.

2x1

一般地，从，”个元素中选取〃个元素组合，记作

（1_（，〃-〃+1）

'其n（n-l）（n-2）L3x2x1,

问题：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法有种.

3.（2003年广西壮族自治区中考题）阅读下列一段话，并解决后面

的问题.

视察下面一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2.

一般地，假如一列数等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个

常数叫做等比数列的公比.

(1)等比数列5,-15,45,……的第4项是.

(2)假如一列数《，的，出，％,……是等比数列，且公比为夕，那么

依据规定，有%=q,%=，h幺=q、"=q、LL

qa.丹丹

所以％="闻,%=%q=(6q)q=/4=&q=(4/)q=qq'LL

q,=(用4和，/的代数式表示)

(3)一等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.

4(07甘肃白银等3市)阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法:

方法一：教材中方法方法二：

2

ar+bx+c=,/a^+bx+c=09

/.4a2A2+4aZ7A+4ac=0,

“(1+2)2二2二生

配期可得：4a(2ax+b)2=〃-4ac.

(1+T-)-=；-；当时，

2a4a2

2ax+b=±\Jb2-4ac,

2ax=-b±\]b2-4ac.

2

当-人-金小川时,,-b±x/b-4ac

>•X—•

2a

请回答下列问题:

(1)两种方法有什么异同？你认为哪个方法好?

（2）说说你有什么感想?

二.拓展训练:

1.（03青岛）在抗击“非典”的斗争中，某市依据疫情的发展状况，确定

全市中、小学放假两周，以切实保障广阔中、小学生的平安.腾飞中

学初三（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关切同学

们的安危，两周内全班每两个同学都通过一次电话，相互勉励，共同

提高.假如该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？

为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列

s=65=10$=15

⑴若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，依据上述模型中的数据,

在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点,并用平滑的曲线连接起来;

⑵依据日中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图

像上？假如在，求出该函数的解析式;

⑶求该班56名同学间共通了多少次电

话.

2（04烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题:

在一条直线上有依次排列的双尸＞1）台机床在工作，我们要设置一个零件供

应站P,使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先

“退”到比较简洁的情形：

如图1所示，假如直线上有2台机床时，很明显设在A1和A?之间的任何

地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。

5p

甲1-

图1

如图2所示，假如直线上有3台机床时，不难推断，供应站设在中间一台

机床A2处最合适，因为假如P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为

A1和A3的距离，而假如把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距

离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A?到D的这一段，这是多

出来的，因此P放在A2处是最佳选择。

——A■■「DA■

甲乙丙

图2

不难知道，假如直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何

地方；有5台机床，P应设在第3台位置。

问题（1）：有n台机床时，P应设在何处?

问题（2）:依据问题（1）的结论，求区一咄”2中一渺…中-617|的最

小值。

3（07安徽芜湖）阅读以下材料，并解答以下问题.

“完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在

其次类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同

的方法，这是分类加法计数原理;完成一件事须要两个步骤，做第一步有m

种不同的方法，做其次步有n种不同的方法.那么完成这件事共有

N=mxn种不同的方法，这就是分花垂.法.计数原理.”如完成沿图1所

示的街道从A点动身向6点行进这件事（•规.定必.露包北走或向东走），会

有多种不同的走法,其中从Z点动身到某些交叉点的走法数已在图2填出.

⑴依据以上原理和图.2的提示，算出从Z动身到达其余交叉点的走法数,

将数字填入图2的空圆中，并回答从A点动身到3点的走法共有多少

种？

⑵运用适当的原理和方法算出从/点动身到达夕点，并禁止通过交叉点

。的走法有多少种？

（3）现由于交叉点C道路施工，禁止通行.求如任选一种走法，从A点

动身能顺当开车到达夕点（无返回）概率是多少？

其次课时几何阅读题

［目标导学］

此类阅读理解题包括新学问定义的阅读、理解和应用，几何量变更后

的规律探究，几何计算和证明过程的推断与推理等。

［例题精析］

例1.阅读下列语句:

（1）响应中心号召，开发大西南！

（2）“法轮功”是邪教.

（3）若『=1,贝l」X=l.

（4）台湾是中华人民共和国不行分割的领土。

（5）两直线平行，同位角相等。

在上述语句中，属于真命题的句子是笫（）句。

分析：命题是推断一件事情的句子。而真命题是题设成立能推出结论肯

定正确的命题。

解：属于真命题的句子是第（（2）、（4）、（5））句。

［解题启示］

此题主要是考查真命题的概念。推断是否真命题首先看是否是命题，再推

断其真假性。

例2.（04广西玉林）阅读下列材料，并解决后面的问题.

在锐角4ABC中，/A、NB、NC的对边分别是a、b、c.过A作

AD_LBC于D(如图)，则sinB=丝,sinc=^

cb

AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,

/_=，.同理有，=，_,，-=上

sinBsinCsinCsinAsinAsinB

/.(l_h_c.................................(*)

sinAsinRsinC

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、ZA,运用上述结论

(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、NB、ZC,请你依据

下列步骤填空，完成求解过程：

第一步，由条件--->

向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东45“的方

向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70。的方

向上(如图11),求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0.1.参

考数据：sin4(T=0.643,sin65"=0.906,sin701=0.904,sin75,,=0.966).

分析：本题取材于中学代数中的“正弦定理”内容，关键要通过阅读、

自学，从中了解正弦定理的内容和其证明并要会简洁应用。

解：(1)第一步：a、b、ZA；，_=上；其次步：NA、ZB；

sinAsinB

NA+NB+/C=180"

第三步：a、/A、NC或b、ZB.ZC,，_=，或，_=，

sinAsinCsinBsinC

(2)解：依题意,可求得NABC=i8(r—45“-70"=65",Z

A=180"—(30"+45"+65")=40"

BC=28.4X1=14.2

2

••AB14.2•AR=14.2xsin75014.2x0.966

sin75〃sin40"sin<)p0.643

答：货轮距灯塔A的距离约为21.3海里.

［解题启示］

近几年来，中考题中出现了与中学或高校学问有关的“渗透型”试题,

这类试题较好地考查了学生的自学实力，也体现了新课程思想理念，故在

复习中要引起重视。

例3(07浙江衢州)请阅读下列材料：

问题：如图(2),一圆柱的底面半径为5dm,BC是底面直径，求一只

蚂蚁从A点动身沿圆柱表面爬行到点C的最短路途。小明设计了两条路途:

路途1：侧面绽开图中的先端AC。如下图(2)所示：

沿AB翦开

另平

设路途1的长度为4，则1=AC2=AB2+AC2=52+（5乃）2=25+25乃?

路途2:高线AB+底面直径BC。如上图(1)所示:乙人下物的十

/比较两个正数的大

C小，有时用它们的

「平方来比较更便利

O

设路途2的长度为"，则，22=(AA+AC)2=(5+10)2=225

22

v/,-/2=25+25^-225=25%？-200=25(乃？-8)>0

2

>/2/(>/2

所以要选择路途2较短。

(1)小明对上述结论有些怀疑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径

为1dm,高AB为5dm”接着按前面的路途进行计算。请你帮小明完成

下面的计算：

路途1:小心=___________________;包

飞殿

22

路途2:/2=(AB+AC)=

2

1/2/,/2(填〉或v)

所以应选择路途____________(填1或2)较短.

⑵请你帮小明接着探讨:在一般状况下，当圆柱的底面半径为r,高为h时，

应如何选择上面的两条路途才能使蚂蚁从点A动身沿圆柱表面爬行到C点

的路途最短。

222222

解：(1)l}AC=AB'+AC=5+^-=25+^

l=(A8+AC)2=(5+2)2=49

22

/j</2(</,

所以要选择路途1较短。

(2)/,2=AC2=AB2+AC2=A2+(^r)2

222

l2=(AB+AC)=(/i+2r)

一//=h2+(;rr)2—(h+2r)2=r(^2r-4r-4/?)=r[(^2-4)r-4/?]

当r=-^7时，/：=《；当—>4^时，记>《；当，时，/「v^。

TC-47T--47T~~4

例4.（05南京）在平面内，假如一个图形绕一个定点旋转肯定的

角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角

称为这个图形的一个旋转角。例如：正方形围着它的对角线的交点旋转

90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个

（1）推断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或"假”）O

①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°。

②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（）

（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的

是（写出全部正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；

③正六边形；④正八边形V

（3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72。，

并且分别满意下列条件

①是轴对称图形，但不是中心对称图形：

②既是轴对称图形，又是中心对称图形：

分析：解答本题的关键是读懂材料中的“旋转对称图形”和“旋转角”两

个概念。

解：（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五边形，正十五边形;

②如正十边形，正二十边形

例4(07山西临汾)阅读材料并解答问题:

与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相

切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正〃边形各边都相切的圆叫做正〃边

形的内切圆，设正〃(〃，3)边形的面积为5M形，其内切圆的半径为摸索

究正〃边形的面积.

(1)如图①,当〃=3时,

设45切P于点C,连结"，OA,OB,

：.OCLAB,

：,OA=OBf

：.^AOC=-AOB,：.AB=2BC.

2

在RtAAOC中，

\'ZAOC=-^-=6G°,OC=r9

23，，

:.AC=r.tan60°,：.AB=2r.tan600,

＜，

S.,W...=—2•r»2rtaii60=r2tan60c7,

,,S正三角形=3s^38=3r»tan60•

(2)如图②，当〃=4时，仿照(1)中的方法和过程可求得:

S正四边形=4S&OAB=；

(3)如图③，当〃=5时，仿照(1)中的方法和过程求s正初形；

(4)如图④，依据以上探究过程，请干脆写出S正出形=

解：(1)4,tan450............................................................................................2分

(2)如图③，当〃=5时，设钻切。于点C,连结OGOAOB,

'：OA=OBf

136()°

VZAOC=---=36°,OC=r,.............................3分

25

AC=/*tan36",AB=2r»Un36",........................4分

5分

图③

,,S正砌形=5s△OAB=5广tan36°・6分

（3）府tan幽.・•・

n

［课堂训练］

一.基础训练：

1.阅读：由于我们已经学过三角形内角和定理，因此，我们可以过多边形

的一个顶点引对角线，将多边形分成三角形，利用三角形的内角和定理

来探讨多边形的内角和。

读了这段内容，我们初步了解将多边形的问题转化为（）

问题的思想方法，了解到（）的辩证唯物

主义观点。

2.（05安徽）下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的

问题：

学习等腰二角形有关内容后，张老师请同学们沟通探讨这样一个问题:

“已知等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角

同学们经片刻的思索与沟通后，李明同学举手说：“其余两角是30°和

120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75。还有一些同学也提

出了不同的看法……

⑴假如你也在课堂中，你的看法如何？为什么？

⑵通过上面数学问题的探讨，你有什么感受？（用一句话表示）

3.（06北京课标B卷）请阅读下列材料：

问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1,请把它

们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网

格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新

正方形.

小东同学的做法是：设新正方形的边长为Mx>0）.依题意，

割补前后图形的面积相等，有V=5,解得工=石.由此可知新正

方形的边长等于两个正方形组

成的矩形对角线的长.于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图

3所示的新正方形.

图3

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4,请把它们分

割后拼接成一个新的正方形.要求：在图4中画出分割线，并在图

5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画

出拼接成的新正方形.

说明：干脆画出图形，不要求写分析过程.I

解：M

图4

图5

二.拓展训练:

1.（04青海省i皇中县）阅读材料:

如图（6）在四边形ABCD中，对角线AC1BD,

求证：S四边形ABCD=5AC・BD.

SA/S1CCtDJ=—2AC-PZ),

证明：AC1BD-

图（6）

SAn,RotC=-2AC>BP.

一•S四边形ABCD=SAACD+SAACB=；AC・PD+；AC・BP

=-AC(PD+PB)=-AC-BD.

22

解答问题：

1）上述证明得到的性质可叙述为

（2）已知：如图（7）,等腰梯形ABCD中，AD//BC,对角线

AC1BD且相交于点P,AD=3cm,BC=7cm,利用上述的性质求梯形的

面积.

图7

2.（04无锡）读一读，想一想，做一做

（1）国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种.国际象棋中的“皇

后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能限制她所在

的行与列中的每一个小方格，而且还能限制“斜”方向的两条直线上的每

一个小方格.如图甲是一个4X4的小方格棋盘，图中的“皇后。'能限制

图中虚线所经过的每一个小方格.

①在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后。'，她所在的位置可用“（2,

3）”来表示，请说明“皇后Q'所在的位置“（2,3）”的意义，并用

这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后所限制的四个位置.

②如图丙也是一个4X4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇

后。'，使这四个“皇后Q'之间互不受对方限制（在图丙中的某四个小

方格中标出字母。即可）.

23X3的正方■形和2X

丙

3的矩形图片A、B、C（如

图），现从中各选取若干个图片拼成不同的图形.请你在下面给出的方格纸

中，按下列要求分别画出一种示意图（说明：下面给出的方格纸中，每个

小正方形的边长均为1.拼出的图形，要求每两个图片之间既无缝隙，也

不重叠.画图必需保留拼图的痕迹）

①选取A型、B型两种图片各1块，C型图片2块，在下面的图1

中拼成一个正方形；

②选取A型4块，B型图片1块，C型图片4块，在下面的图2中

拼成一个正方形;

③选取A型3块，B型图片1块，再选取若干块C型图片，在下面

的图3中拼成一个距形.

□□□

ABC

［课后训练］

一.基础训练:

1.（2003•兰州）通过阅读所得的启示来回答问题（阅读中的结论可以干脆

用）.

阅读:在直线上有n个不同的点,则此图中共有多少条线段?

分析:通过画图尝试，得表格

图形直线上点的个共有线段条两者关系

数数

21=0+1

AiA21

AIA?A3333=0+1+2

A】A2A3466=0+1+2+3

A4

A】A2A3A451010=0+1+2+3+4

A5

•••••••••

n{n-1)m〃一1)

A】n

A-jA3A422

A5…An=0+1+2+3…

+ln-l)

问题:某学校初三年级共有8个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两

班之间赛一场），问该初三年级的辩论赛共进行多少场次？

2.（05台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求

积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为：

忸I2〃①（其中〃、以c为三角形的三边长，6为

面积）.

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

_______________a+b+c

s=^p（p-a）（p-b）（p-c）...②（其中I"2.

⑴若已知三角形的三边长分别为5、7、8,试分别运用公式①和公

式②，计算该三角形的面积*；

⑵你能否由公式①推导出公式②？请试试.

3.（04绍兴）课本第五册第65页有一题：

已知一元二次方程ad-"u+c=0的两个根满意k-司=应，且a,

b,c分

是△ABC的/A,ZB,/C的对边.若a=c,求/B的度数.小敏解得此题

的正确答案“NB=120°”后，思索以下问题，请你帮助解答.

<1）若在原题中，将方程改为口5-Q/"+c=0,要得到NB=120°,

而条件“a=c”不变，那么应对条件中的归-目的值作怎样的变

更？并说明理由.

<2）若在原题中，将方程改为办2-赤/>+。=。（n为正整数，n》2）,

要得到NB=120°,而条件“a=c”不变，那么条件中的归一百

的值应改为多少（不必说明理由）？

二.拓展训练：

1.（05佛山）“三等分角”是数学史上一个闻名的问题，但仅用尺规不

行能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐

角”的方法（如图）：将给定的锐角NAOB置于直角坐标系中，边OB

在X轴上、边OA与函数)，='的图象交于点P,以P为圆心、以20P为

x

半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作1轴和)，轴的平行线，两直线

相交于点M,连接OM得到NMOB,则NMOB=；/AOB.要明白帕

普斯的方法，请探讨以下问题：

(1)设P(。」)、犬仇：)，求直线OM对应的函数表达式(用含“泊的代数

ab

式表示).

(2)分别过点P和R作)，轴和工轴的平行线，两直线相交于点Q.请说

明Q点在直线OM上，并据此证明NMOB=；/AOB.

(3)应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角(用文字简要说

明).

2.(05资阳)阅读以下短文，然后解决下列问题:

假如一个三角形和一个矩形满意条件：三角形的一边与矩形的一边重

合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为

三角形的“友好矩形”.如图8①所示，矩形歹即为△力右。的“友好

矩形”.明显，当是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.

(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；

(2)如图8②，若为直角三角形，且2090°,在图8②中

画出的全部“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

(3)若△力3。是锐角三角形，且3。46月3,在图8③中画出△S3。

的全部“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

综合训练

(时间90分钟，总分100分)

一.填空(每题3分洪24分)：

1.先阅读下列⑴题然后解答(2)、(3)题：

(1)用分组分解法分解多项式：nx+ny=(mx+nxj+(my

+加，组内公因式分别为x、y,组间公因式为功+口最终分解结果为：

(m+八)(才+必

(2)也可以这样分解：277X4-my-\-ny=()4-(),组内

公因式分别为,组间公因式为,最终分解结果为：

(3)上述两种分组的目的都是_____,分组分解的另一个目的是分组后

能运用公式法分解.请你设计一个关于字母X、y的二次四项式因式分解，

要求要用到分组分解法和完全平方公式：.

2.阅读下面一题的解题过程，请推断是否正确，若不正确，请写出正确的

解答.

已知a为实数，化简匚旧.

3.阅读下列证明过程:

已知，如图1四边形538中，AB=DC,AC=BD,AD丰BC,

求证：四边形力是等腰梯形.

图1

证明：过D作D*〃力B,交BC于E,则2郎=/1①

•「AB=DC,AC=DB,BC=CBy

^ABC^^DCB)②

/.^ABC=Z.DCB③

N1=NDCB@

/.AB=DC=DE⑤

四边形RBED是平行四边形⑥

/.AD//BC©

BE=AD⑧

又「ADWBC,：.BE^BC工⑨

点$。是不同的点，DC^AB

又「AB=CD

四边形相⑵是等腰梯形⑩

读后完成下列各小题.

(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：.

(2)作。E///1B的目的是：.

(3)有人认为第9步是多余的，你的看法呢？为什么？答：

(4)推断四边形力B即为平行四边形的依据是：.

(5)推断四边形ABCD是等腰梯形的依据是

(6)若题设中没有AD手BC,那么四边形肯定是等腰梯形吗?

为什么？答==.

4.阅读下面材料并完成填空.

你能比较两个数20062。。7和20072。。6的大小吗？为了解决这个问题,

先把问题一般化，即比较炉+】和（八+1/的大小①>1的整数）.然后，从

分析A=1,n=2,n=3,……,这些简洁情形入手，从中发觉规律，经

过归纳，猜想出结论.

（1）通过计算，比较下列①〜③各组两个数的大小（在横线上填

“V”或“=”）

①y21;②2332;③3’43;

@45>54;⑤56>65;⑥67>76；⑦78>87；…

（2）从第⑴小题的结果经过归纳，可以猜想出和S+1『的大小关

系是：_________

⑶依据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到

2OO6200720072006（填“>，，，，<，，或

5.如图△4BC中,BC=a,

若外片分别是力A4。的中点，则

若。2、毛分别是。出、的中点，则。2石2=泉+/="

，I4/4

若。3、4分别是&C的中点，则。右=3序"+"卜1；

若）、用,分别是2/、的中点，则

D„