中考数学高频考点突破-二次函数与一次函数

中考数学高频考点突破——二次函数与一次函数

1.设一次函数y=2x+m+〃和二次函数％=x（2x+2）+〃.

⑴求证：X，%的图象必有交点；

（2）若例>0,X，%的图象交于点4n，。）、3（孙6）,其中设C（w㈤为乃图象

上一点，且占工占，求占一%的值；

⑶在（2）的条件下，如果存在点。（西+2,C）在月的图象上，且〃>C,求〃?的取值范围.

2.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅

岭点

⑴若点尸（3,〃）是一次匣数），=〃a+6的图象上的“梅岭点”，则〃?=：若

3

点P（〃八⑼是函数），=--的图象上的“梅岭点”，则/〃=_____________；

x-2

⑵若点尸（P，-2）是二次函数），=丁+原+。的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的

表达式：

⑶若二次函数.y=ad+bx+c（小人是常数，。>0）的图象过点（0.2）,且图象上存在

两个不同的“梅岭点”4（不为）,3（电,占），且满足-1<$<1,|2-出|=2,如果

k=-b2+2b+2,请直接写出A•的取值范围.

3.开口向下的抛物线产ad+法+c与x轴交于点4,B,与V轴交于点C,A8C是等

腰直角三角形，面积为4.并与一次函数），=履（攵>。）的图象相交于点M,M

（1）求抛物线的解析式；

（2）若衣=平移直线y=使得该直线平分，A8C的面积，求平移后直线解析式.

⑶在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴

对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

4.已知一次函数产心•+/〃的图像过点（2,3）,A（k,y）,B（k+\,力）是二次函数

），二9一2）工+2根图像上的两点.

（I）若该二次函数图像的对称轴是x=l,分别求出一次函数和二次函数的表达式；

（2）当点A、8在二次函数的图像上运动时，满足旧-为|=1,求加的值；

⑶点4、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线工二〃交于点

P、Q,当PQ=2时，求〃的值.

5.如图，二次函数)，=-/+法+’的图象过点4(2,2),8(3,-1).

⑵若一次函数)，=-23+/〃的图象与二次函数的图象有交点，求，〃的取值范围；

(3)过点P(O,p)作工轴的平行线MN,以MN为对称轴将二次函数的图象位于MN上方的

部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，直接写出〃的

取值范围.

6.如图，反比例函数y=§"＞。)与一次函数为=口+〃相交于点4(1,4)和点B

(1)请直接写出当y2必时自变量x的取值范围；

(2)将一次函数为=&x+〃向下平移8个单位长度得到直线EF,直线所与工和)，轴分别

交于点E和点尸，抛物线丁=奴2+栈+c过点A、。、£三点，求该抛物线的函数解析式

试卷第2页，共8页

(也称函数表达式)；

(3)在(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得APBb是以8尸为斜边的直角三帮

形，若存在，请用尺规作图(圆规和无刻度直尺)画出点P所在位置，保留作图痕迹，

并直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

7.“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略

蓝图.在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点尸(3,4)称为“三高四新”

点,经过2(3,4)的函数，称为“三高四新”函数.

(1)下列函数是“三高四新”函数的有;

12

@y=2x-2®y=x2-6x+\3(3)y=-3x2+6x+11®y=—

x

(2)若关于x的一次函数)，=6+〃是“三高四新”函数，且它与)，轴的交点在y轴的正半

轴，求攵的取值范围；

(3)关干x的二次函数『的图象顶点为八.点和点N(&,%)是该

二次函数图象上的点且使得NM4N=90。，试判断直线用N是否为“三高四新”函数，并

说明理由.

8.对某一个函数给出如下定义：对于函数)，，若当。力9,函数值)，满足，向0〃，且满

足n-m=k(b-a),则称此函数为'伏系和谐函数”.

(1)已知正比例函数.y=5x(1SE4)为2系和谐函数”，请求出出的值；

(2)若一次函数)，=/»-3(lSv<4)为“3系和谐函数”，求〃的值；

(3)已知二次函数y=-2/+4如+42+2〃，当-1WE1忖，y是'％系和谐函数”，求k的

取值范围.

9.若函数,、为满足y=y+M，则称函数是x、%的“融合函数”.例如，一次函

22

数y=2x+l和二次函数y2=X+3X-4,则yt、y2的“融合函数”为y=%+必=x+5x-3.

(1)若反比例函数y=［和一次函数，2-公一3,它优的“融合函数”过点(1,5),求4的

值；

(2)若凹=a/+b%+c为二次函数，且a+/?+c=5,在工=，时取得最值，力是一次函

数，且X，%的“融合函数”为)=2/+》一4,当-13工2时，求函数X的最小值(用含

，的式子表示)；

(3)若二次函数y=ad+b%+c与一次函数为=一级->，其中a+/?+c=U且

若它们的“融合函数”与X轴交点为4（40）、3（/,0）,求夜归-引的取值范围.

10.投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自《九年级下册教材》P89,粹园

的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用.若平面直角坐标

系中，规定曲线在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长"，记为AB

两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲

线48,其中A（-3,1）、B（1,3）,则曲线在x轴上的的“影长”/为4,在x轴上

的“影长范围”为一3±YM1.

3

（1）已知反比例函数的部分图像在），轴上的“影长范围”是求其在x

x

轴上的“影长”以及“影长范围

（2）若二次函数），=-9+办+2〃的部分图像在％轴上的“影长范围”是-4WX《2,且在

y轴上的“影长范围”的最大值为10,求满足条件的。的值.

（3）已知二次函数产加+辰+c与一次函数y=/x-2c交于A、B两点，当a+/，+c=0,

且实数a>%>3c,求线段在x轴上的“影长”的取值范围.

11.如图，已知在平面直角坐标系X。），中，抛物线），=（x-2）2的顶点为C,与），轴正

半轴交于点B.一次函数,，=6+4（后0）图像与抛物线交于点A、点&与x轴负半轴

交于点D.若A8=38D

（1）求点A的坐标；

（2）联结AC、BC,求AABC的面积；

（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图像与一次函数），=履+4（原0）图

像交于点P,与），轴相交于点Q,当PQ〃X轴时.，试问该抛物线平移了几个单位长度？

试卷第4页，共8页

12.已知抛物线经过A（-3,0）,8（1,0）,C（2,|）三点，其对称轴交x轴于点“，一次函

数y二丘+"攵。0）的图象经过点C,与抛物线交于另一点。（点。在点C的左边），与

抛物线的对称轴交于点石.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点F,使得点A、B、E、尸构成的四边形是平行四边形，如

果存在，求出点尸的坐标，若不存在请说明理由

（3）设NCEH:a,NEAHM,当用时，直接写出々的取值范围

13.如图，已知一次函数y=2x-2的图象分别与x轴y轴交于点A,B,在二次函数

），=丁+〃a+〃？中，/〃是一个不为0的常数.

（1）若二次函数的图象过点A,则机的值是;

（2）点尸是二次函数图象的顶点，连接OP,若OP"AB,求〃?的值；

（3）二次函数的图象与N轴交于点。，与x轴交于点C,设点C的横坐标为打，且

Ac<-p连接CO.能使CO与坐标轴所成的夹角等于4480的，〃有几个？请直接写

出加的值.

14.综合与探究：如图I.一次函数），=百"-4百的图象分别与x轴.轴交干/?.。两

点，二次函数>=仆2-/X+。•的图象过8,C两点,且与X轴交于另一点A.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点尸是二次函数图象的一个动点，设点尸的横坐标为叫若NA8C=2NA8P.求

”的值；

（3）如图2,过点C作CO〃x轴交抛物线于点。.点M是直线3c上一动点，在坐标

平面内是否存在点N,使得以点C,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，请

直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

15.如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点0,且经过点4（3,3）,一次函数的图象经

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过点4和点8（6,0）.

（2）如果一次函数图象与y釉相交于点C,点。在线段4c上，与），轴平行的直线DE

与二次函数图象相交于点E,NCDO=NOED,求点。的坐标；

（3）当点。在直线人C上的一个动点时，以点0、C、。、E为顶点的四边形能成为平

行四边形吗？请说明理由.

16.如图，4/W。是以3。为底边的等腰二角形，A,C分别是一次函数）,=xi3的国

象与），轴，工轴的交点，点4在二次函数y='/+队+c的图象上，且该二次函数图象上

存在一点。使四边形A8C。能构成平行四边形.

（2）动点。在线段AQ上从点A至点。运动，同时动点Q在线段AC上从点。到点A

运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点

也随之停止.

①当△APQ是直角三角形时，求P的坐标；

②四边形PDCQ的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标;若没有,

请说明理由.

17.【概念认识】

己知根是实数，若某个函数图像上存在点M（m，机），则称点M是该函数图像上的“固

定点

【数学理解】

（1）一次函数），=—2x+3的图像上的“固定点”的坐标是_：

（2）求证：反比例函数），=&（2>0）的图像上存在2个“固定点”；

X

（3）将二次函数,，=必+必+1（〃<一2）的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上

方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像在x轴上方的部分组成一个类似

“W”形状的新图像.若新图像上恰好存在3个“固定点”，求。的值.

18.如图，若一次函数产-3x-3的图象与x轴.y轴分别交于4、。两点，点8的坐

标为（3,0）,二次函数）=4x2+以-3的图象过A、B、C三点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1,若点P在直线8C下方的抛物线上运动，过0点作PF_L8C,交线段6c

于点E在点P运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存

在，请说明理由.

（3）点P在），轴右侧的抛物线上运动，过P点作X轴的垂线，与直线交于点。，若

NPCO+NACO=45。，请在备用图上画出示意图，并直接写出点尸的坐标.

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参考答案:

1.(1)见解析

⑵-1

⑶"04

【分析】(1)转化证明时，方程2x+〃z+〃r(2.t+M+〃有解，进而转化证明一元二

次方程根的判别式为非负即可；

(2)由)；=不，求出内，%,再解得〃的值，求得占的值，进而得到占-须的值；

(3)在(2)的条件F,2+〃?+〃=0,把点。(芭+2,c)代入x的解析式中，得到

(X]+2)[2(%+2)+〃4+〃=C,将(1)中〃=〃代入，根据。>。计算得到

2(内+2f+〃7(.玉+2)=c=“，再转化为(％+2)[2(x,+2)+"?]<0,由分类讨论解不等式组即

可解答.

【解析】(1)解：当，尸必时，

2x+in+n=x(2x+m)+n

化简得：2f+(〃?-2)x-M=0

A=Z>2-4ac=(m-2)2+8tn=m2+4m+4=(m+2)2>0

/.方程2x+m+n=x(2x+〃i)+〃有解

・•・M，力的图象必有交点；

⑵当3户2时，

2x+m+n=x(2x+m)+n

化简得：2f+(〃?一2)x-加=0

(x-l)(2.v+/??)=0

••・功乃都经过点(1,0)

.\2+fn+n=O

y经过点A

C(0〃)为K图象上一点,

X3(2X3+m)+n=2+m+n

：.(x3-1)(2£+in+2)=0

解得当=1,2当+〃i+2=0

答案第9页，共38页

-2-m

••Xy=~2~

-2-mm,

（3）在（2）的条件下,

2+，〃+〃=0

如果存在点。($+2,c)在y2的图象上,

(%+2)[2(x)+2)+/z?]+n=c

2(x+2y+m(xl+2)+a=c

2

/.2(X]+2)+m{xx+2)=c-a

a>c,

:.c-a<0

2(X]+2/+m(xx+2)<0

/.(%+2)[2(x)+2)+m]<0

X+2>0x+2<0

2(N+2)+/”<0"[2(A)+2)+m>0

m八

x.=——,m>0

2

--+2>0--+2<0

22

或，

2(-y+2)+//z<02(--+2)+/n>0

tn<4w>4

（无解）或，

4<04>0

/.in>4.

【点评】本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，第（2）题中转化为证明一元二次方

程根的判别式，第（3）题中求得X2的值是解题关键.

2.(1)-1,3或-1；

(2)y=x*+5x+4；

37

⑶…至

【分析】（1）根据“梅岭点”的定义,P（3,p）的横纵坐标相等,即〃=3m+6=3；P（阳，⑼的

答案第10页，共38页

横纵坐标相等，即机二二二，分别求解即可；

rn-2

(2)由题意，抛物线)，=/+法+。与直线y=x的唯一交点为P(—2,—2),即/+法+c=x有

两个相等的根-2,方程/+9-1口+。=0可写为*+2尸=0,对比两个方程的系数，即可求

出b,c\

(3)先由“梅岭点''的定义证明知七是方程ad+S-l)x+2=0的两个根，利用根与系数的关

系得出百十号一^^->A)X,=y,进而利用W一到一2推出

%=-6+2/?+2=-4/-84+3=-4(〃+1)2+7,再由-1<玉<1计算出a的取值范围，即可求

出人的取值范围.

(1)

解：点尸(3,〃)是一次函数y=〃a+6的图象上的“梅岭点”，

/.〃=3〃?+6=3,

解得〃z=T：

•.・点户(/〃,〃?)是函数)，=上；的图象上的“梅岭点”，

X-2

3

/.m=------，

m-2

整理得整-2ni-3=0♦

解得明=3,nt,=-1,

经检验，叫=3,吗=-1是切=二彳的根，

in-2

.，〃?=3或-1,

故答案为：-1;3或-1；

(2)

解：.,点P(P，-2)是二次函数)，=V+云+°的图象上唯一的“梅岭点”，

1.P(-2,-2),

即抛物线y=x2+几+c与直线V=v的唯一交点为P(-2,-2),

二•方程/+加+。=彳的根为玉=X2=-2,

即方程/+(6-1口+。=0可写为(X+2)2=0,

/.x2+S-l)x+c=f+4x+4,

b—5>c=4,

・•・二次函数的表达式为y=丁+5工+4；

(3)

答案第11页，共38页

解：,,二次函数y=ad+8x+c(小力是常数，。＞0)的图象过点(0,2),

.".<?=2,

/.y=ax2+bx+2,

)，=々/+云+2图象上存在两个不同的“梅岭点”人(内,内),8(0工2)，

2

玉=ax；+如+2,x2=ax2+bx2+2,

22

ax1+(/7-l)X1+2=0,av2+(/?-l)x2+2=0,

.•.xrx2是方程a?+0-l)x+2=O的两个根，

\-b

小f1=2,

(%-工产=4,

/.(X)+x)2-4x^2=(---)2-4x—=4,

2aa

：.b2-2b+\-Sa=4a2,

k——b"+1b+2=—4〃~—8a+3=—4(a+1)2+7,

小7=2,

.•.%=2或.q=2,

*/-1<x1<I,

/.-3<x2<-1或1<爸<3

/.-3<X)-x2<3,

/.—3<一<3,

a>0,

2

/-67>-9

237

/.-4(«+l)2+7<-4x(-+l)2+7=-y,

【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、方程的根与系数的关系、解不等式等知

识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键.

3.⑴y=_#+2

(2)y=；x+百-]

答案第12页，共38页

⑶存在，P(0,4)

【分析】(1)根据等腰直龟三角形的性质，利用面积为4,求出0C和A8的长，进而得出

点A,B,C坐标，求抛物线解析式；

(2)求出直线8C的解析式，再求出点。和点E的坐标，再由进行计

算求解即可；

p卜'w

(3)分别过点M,N作》轴的垂线，垂足分别为F,证△PMES^PNF,得名=受,

PNNE

代入求出《4+七)-2优,$=0,又M,N是直线尸心•与抛物线的交点，得人二+2辰-4=0,

根据根与系数关系得出/+/=-2七七再=-4,进而求出,的值，得出点。坐标.

(I)

解是等腰直角三角形且与y轴交于点c

对称轴x=-----=0

2a

・30

设抛物线的解析式为y=奴?+c

当尸0时，)，=c

•・•抛物线开口向下

*：OC=^AB

t\AB=2c

•••ABC面积为4

yx2(-xc=4

解得c=2或c=-2(舍去)

・••点A为(-2,0),点3为(2,0),点C为(0,2)

将点A代入，得4。+2=0

解得斫-工

2

工抛物线的解析式为y=-+2.

(2)

解：设直线的解析式为广质+方

将点B(2,0)和点。(0,2)代入，得

2k+b=0k=-\

解得

b-2b-2

答案第13页，共38页

・二直线BC的解析式为y=-x+2

令平移后的直线解析式为)，=Jx+〃？

,/直线y=与直线BC交于点D

则-x+2=—x+m

2

...x=-4---2m

33

・.,),=一2+一2

-33

4222

即点。的坐标为(§一§"，？+§'”)

•・•直线y=；x+，〃与x轴交于点E

・•・点、E为(-2m,0)

由题意，得SABDE=；SAABC

■22

-x(2+2”?)x(—+—〃？)=2

233

整理,得(1+m)2=3

解得m=6-1或m=-y/3-1(舍去)

•••平移后直线解析式为y=+

(3)

解：存在，理由如下：

分别过点"，N作,，轴的垂线，垂足分别为七，F

：.NPEM=/PFN=9()°

答案第14页，共38页

设点P为（0，/）（/>0）,M（A-,），），N（x,y）,令N在M左侧

*//MPE:/NPF

:APMESAPNF

,PEME

••而一而

l

.-ym_

又)，=瓜，y=kx

整理，得（%+.%）-25占=0

VM,N是直线尸丘与抛物线的交点

k.x=-—x2+2

2

x2+2kx-4=0

・・・/+4=-2/xmxn=-4

：.-2kt-2kx（-4）=0

解得/=4

工存在，点P（0,4）

【点评】本题考查二次函数的几何综合问题，涉及的知识点有求抛物线解析式，等腰宜角三

角形的性质，二次函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根

与系数关系等，熟练地运用以上知识是解决问题的关键.

4.(l)y=-；x+4,y=A2-2x+8

(2)3.5或2.5

答案第15页，共38页

(3)1或3

【分析】(1)根据对称轴户1,求出机的值，再根据一次函数经过(2,3),进而求出&值，

最后求得解析式：

(2)将A,8坐标代入分别表示出力和”，再由2公3-〃?，得出川一%H—2%+〃一3|=|2加一6|

二1，求解即可；

22

(3)将A,“坐标代入分别表示出y和y,再由2Q3-,〃，得出yP=3k-5k-i6,yQ=3kAI6,

再将上〃，A+l=〃代入，得出用〃表示的)，和户进而屏—坨|=|2〃—4卜2,求解即可.

【解析】(1)解：由题意，得

•・•二次函数的对称轴x=l,

.-(w-2)

■■--------------=1,

2

解得据=4,

，二次函数解析式为y=/-2x+8

当〃?=4时，一次函数丁=奴+4,

乂一次函数经过(2,3),

，2k+4=3,

解得A=-3，

・••一次函数解析式为y=-gx+4.

(2)解：由题意，得

22

y\=k-(in-2)2+2m,y2=(^+l)-(m-2)(k+\)+2m,

得)1_%=_24+〃?-3,

•・•一次函数产6+”的图像过点(2,3),

:.2k=3-m,

**.\)\-y2|=|-2A:+/z:-3|=|2/77-6|=l.

解得in=2.5或m=3.5.

(3)解：将A(匕y),B(k+1,为)代入二次函数y=f-(〃7-2)工+2〃7,得

22

yp=k-(m-2)k+2m,yQ=(A:+1)—(m-2)(A+l)+2m,

又一次函数,=依+，〃的图像过点(2,3),

/.2k=3-m,

22

yf,-3k—5k+6,—3k—k+6t

答案第16页，共38页

yk=n,k+\=n,

，把&=n代入得yP=—5〃+6,

把A=〃-l代入=3(〃-1)2-(〃-1)+6,

•••卜广坛卜⑶一小？，

解得〃=1或3.

【点评】本题考查二次函数和一次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数对

称轴等知识点，理解二次函数的定义和一次函数的定义是解决问题的关键.

5.(l)y=-x2+2x+2；

⑵/〃<6；

(3)当时，翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)联立一次函数与二次函数解析式得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根的判别

式求解即可；

(3)设抛物线对称轴与x轴交于F,与抛物线交于E,设原二次函数与y轴的交点为C,分

别求出当翻折后E与尸重合，C与。重合时〃的值，即可得到答案.

(1)

解：•・•二次函数y=-/+云+c的图象过点A(2,2),5(3,-1),

*-4+2〃+c=2

,,-9+3b+c=-l

(b=2

・•・<c,

c=2

J二次函数解析式为y=-x2+2x+2；

(2)

y=-2x+m

解：联立2rc得X?一4%+〃?一2=0，

y=-x+2x4-2

•・•一次函数y=-2x+〃?的图象与二次函数的图象有交点，

•'•方程X2-4x+/〃-2=0有实数根，

.・.△二(-2—4(〃?-2)之0,

/.in<6；

(3)

解：设抛物线对称轴与x轴交于尸，与抛物线交于E,设原二次函数与y轴的交点为C,

二点。的坐标为(0,2),

答案第17页，共38页

,:抛物线解析式为y=—丁+2x+2=—(工一I『+3,

，点E的坐标为(1,3),

：.EF=3,

当经过翻折后所得部分与x轴恰好只有一个交点时，即点E翻折后与点尸重合，

・•・此时MN垂直平分ER

当经过翻折后所得部分与X轴的一个交点恰好为原点时，即点C翻折后与原点重合,

此时MN垂直平分0C,

.2

・・〃=]=1,

3

・•・当时，翻折后所得部分与X轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴.

【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题,

二次函数与x轴的交点问题，翻折的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键.

6.(1)O<X<1^C-r>4

八、1、115

(2)y=-x-+-X+——

424

⑶存在，/>(1-l+x/7),^(l,-l-x/7)

【分析】(1)从函数的图像和点人(1,4)和点8(4,I)的横坐标可以直接看出；

(2)把点做1,4)和点水4,I)代入必=&丫+〃的AB的解析式，求出D的坐标，把%=-1+5

向下平移8个单位得到降『="3求出£的坐标，利用待定系数法可求得过点A、。、"的

答案第18页，共38页

函数解析式；

(3)存在，如图，(作BF的垂直平分线交B/于点M,点M即为8尸的中点，以点M为圆

心，M3为半径作圆，交抛物线对称轴于点《，鸟，点；4，鸟即为所求.)

(1)

从函数的图像可以直接看出，因为点A(I，4)和点B(4,I)

所以当0<x《l或x"时y之名

(2)

k+〃=4

J一1

4k+〃=1

{2

k-,=-1

解得■:

〃=5

乃=-x+5

令y=0得x=5

「.£>(5,0)

把％=-x+5向下平移8个单位得到-3

令y=0得工二一3

/.E（-3,0）

设过点4、。、七的抛物线的函数解析式为)，=a(x+3)(x-5)

把点A。—；

--y=-*+3）（工—5）=一*+]+?

1,115

——x-+—x+一

424

存在，如图，作B尸的垂直平分线交B/于点M,点M即为B/的中点，以点M为圆心.MB

为半径作圆，交抛物线对称轴于点，6,点，4即为所求.

答案第19页，共38页

点横坐标为:三=2

-3+1

M的纵坐标为：-=-1

，M(2,-1)

又FB=^(0-4)2-(-3-1)2=4&

•••圆的半径为：272

抛物线),=_%+1+与的对称轴尸［,

424

所以MG=1,

GP尸GPz=J(2夜)2—F="

:.点P的坐标为^(1-l+>/7),a(l-I-V7)

【点评】本题是三种函数的综合，考查了二次函数的图像和性质，二次函数与不等式，待定

系数法求二次函数与一次函数的解析式•尺规作图,一次函数图象的平移等知识.数形结合

答案第20页，共38页

思想是解本题关键.

4

7.（1）①②④；（2）且厚0；（3）直线MN为“三高四新”函数，理由见解析.

【分析】（1）把x=3分别代入各个函数求值判断即可；

（2）由一次函数y="+〃是"三高四新”函数，得弘+匕=4,再由函数与），轴的交点在），轴

的正半轴，可知〃>0,即可求解；

（3）由二次函数顶点式解析式可知顶点A的坐标为（3,0）,分别设出直线AM、AN的解

析式，由/MAN=90。，可得Qg,由此AN所在直线可化为为尸看（x-3）,因为点

“G，y）和点N（,q，%）均在二次函数图象上，分别联立抛物线和宜线的解析式，解得

4441一14

〃（4匕+3,44），W--,-y）,从而求出直线MN所在直线为），-7T—（％-3+/），

把尸3代入，解得尸4,由此即可判断直线MN为“三高四新”函数.

【解析】解：（1）当x=3时,

①），=2.1-2=2x3-2=4；（2）j=x2-6x+13=32-6x3+13=4；

1?1?

@y=-3x2+6x+11=-3x3?+6x3+11=2；@y=—=—=4；

即函数①②④经过（3,4）点，

1'三高四新”函数为①②④；

故答案为：①②④；

（2）若关于x的一次函数丁=6+）是“三高四新”函数，即弘+〃=4且后0,

二•函数与y轴的交点在y轴的正半轴，

/./?>0,即4-34>（）,

4

kv1且后0：

（3）直线MN为“三高四新”函数.理由如下：

如图：

答案第21页，共38页

点4的坐标为(3,0),

设AM所在直线为y=kix-3ki,AN所在直线为严左加-3依，(kik2和)

•・・NM4N=90。，

.\AM-LAN,kik2=-\,

故AN所在直线可化为为产-层(x-3)

•・•点M(%，无)和点N(y?)均在二次函数图象上，

v=l(x-3)2

.*.•417,解得M(4£+3,4婷),或M(3,0)(舍去),

y=^(x-3)

y=-(x-3)2

4v'44

由，,解得可。—［，门)，或N(3,0)(舍去),

、

y=-—I(x/-3)%K

k、

设MN所在直线的方程为产H+/r

(/(=.2一］

将MN点分别代入直线方程可得：］加心

|>_-3k］，+42i+3

IQ

即直线MN所在直线为y=与二1x+一3,1勺-3,

k\&

k2-\44

当户3时，y=^^.-+-=4t

即MN所在直线国(3,4)点，

••・直线MN为“三高四新”函数.

【点评】本题主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关犍是要理解新定义的函数的特点，.

8.(1)k=5；(2)〃=±3；(3)k>\.

【分析】(1)由题意可得20-5=2(4-1),求出2的值即可；

(2)根据题意分两种情况求：当〃>00寸，p-3<}<4p-3；当〃<0时・，4〃-39十-3；分

别求出〃即可;

(3)当x=l时，y=a2+6a-2,当x=-1时，y=a2-la-2,当x=a时，y=3a2+2a.分

四种情况讨论：①当~1时，屋+6。-2<y<a2-2a-2,求出&>4；②当a>1时，

-2<y<a2-2a-2,求出心>4；③当-IgaVO时，a2+6a-2<)<3a2+2a,求出1〈心4；④当

22

0<«<1时，a-2a-2<y<3a+2at求出1<A<4；进而可得k的取值范围..

【解析】解：(1)Vl<x<4,

A5<y<20,

••・20-5=火(4-1),

答案第22页，共38页

.,.)=5；

(2)VI<¥<4,

当p>0时，〃-390p-3,

/.(4p-3)-(p-3)=3x3,

.*.p=3；

当pVO时，4/？-3<y<p-3,

**.p-3-(4〃-3)=3x3,

:.p=~3：

综上所述：〃=±3；

(3)y=-2x2+4ar+672+2d=-2(x-a)2+3a2+2a,

当x=1时，y=a2+6a-2,

当x=-1时，y=a2-2a-2,

当x=a时，y=3a2+2a,

①当aV-1时，a2+6a-2<y<a2-2a-2,

:.(a2-2«-2)-(标+3・2)=k(1+1),

:・k=-4a,

・・・Q4；

②当1时，屋+6。-2£42-2a-2,

J"2+6。-2)-(a2-2a-2)=k(1+1),

^k=4(b

，&>4；

③当・IgaVO时,a2+6a-2<y<3a2+2a,

J(3〃+2a)-(标+6。-2)=k(1+1),

:.k=(a-1)2,

④当0<«<l时，a2-2a-2<y<3a2+2a,

:.(3a2+2a)-(a2-2a-2)=k(1+1),

:・k=(«+l)2,

综上所述：kNl.

【点评】本题考查函数的新定义，能够理解新定义，并将定义应用到一次函数、二次函数中,

结合函数的图象及性质进行分析是解题的关键.

答案第23页，共38页

8/+5(/<-l)

9.(1)k=6；(2)>'lmin='-2r+4/+3(-l<r<2);(3)-<|x,-x2|<2>/3

-f4+l中>2)

2

【分析】(1)根据融合函数的定义求出y=y+%=±+"-3,然后代入(1,5)求解即可；

■X

(2)设函数必的解析式为先=人工+4,即可得到

a=2

2z

y=y1+y2=ax+bx+c+kAx+by=ax+(b+k1)x+b]+c=2x~+x-4,贝小匕+勺=2,然后

%+c=-4

求出y=2--4a+4f+3.然后利用二次函数的性质求解即可；

22

(3)先求出y=+y2=ax+bx+c-cix-b=ax+(b-a)x+c-b,在由一元二次方程根与

系数的关系得至UN+%2=一~-----，%「*=--------»根据a+〃+c=O,a>h>c,

aa

【解析】解：（1）由题意得：反比例函数y=2和一次函数必=履-3,它们的“融合函数”

X

2

的解析式为y=y+%=-+丘一3,

X

2

;点（1,5）在丁=,+）：2=—十日—3函数图像上，

x

5=Y+—3,

A=6；

（2）设函数%的解析式为%=占％+4,

22

由题意得：y=y\+y2+bx+c-\-kyx-\-b]=ax+（b+kt）x+b}+c=2x+x-4,

a=2

■b+=2,

2+c=-4

•・,在x=f时，函数y=o?+从TC取得最值，

/.b=-4t,

a+b+c=5,

答案第24页，共38页

，2-4f+c=5,

c=3+4/,

:.y=2x2-4rx+4t+3,

•・•函数升=212—4a+4/+3的对称轴为x=f,函数开口向上，—1KXK2

・•・当/<-1时，其=2/-4戊+4/+3在广一1处有最小值，最小值

y,=2x(-l)2-4/x(-l)+4/+3=8/+5(r<-l)；

当/>2时，y=2--4a+4/+3在x=2处有最小值，最小值

%=2x22-4/x2+4/+3=T/+11(/>2)；

当-14r42时,%=2/-4仪+4Z+3在处有最小值,最小值

必=2xr-4r+4r+3=-2r+4r+3(-1<r<2)；

8/+5(/<-l)

・••综上所述，)1mm=-2J+4r+3(-l<z<2)；

-4r+n(r>2)

(3)由题意得：二次函数y=a/+队+c与一次函数月=-5一人的融合函数为

22

y=y]+y2=ax+bx+c-ax—b=ax+(b—a)x+c—b,

•・•它们的“融合函数”与x轴交点为4(40)、取々，0),

:,巧，々是一元二次方程，=+(〃-a)x+c-方=。的两根，

b-ac-b

・・勺=-----，XX----，

A+a\2~a

Va+b+c=0,a>b>c,

a>0,c<0,

，归一wbaXi+wf-4A/

f(Z?-67)2~4(c-Z?)

二E

l(b-a)~~4a(c-b)

(b-a)2-4ac+4ab

答案第25页，共38页

，-a>2c,

cI

—>—

a2

,:b<a,

：.-a-c<a,

2a>-c,

A--<2,

a

.\--+2<4,

a

.5Cf人

..-<——+2<4,

2a

.T［，+2丫<6

4-

-4<12,

4IaJ

•*--<+-4<2方，

2认。）

3

:./<I%-<2>/^.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的

应用，解题的关键在J•能够港确理解题意.

10.（1）2；-3<x<-l；（2）〃=-13或-4+29；⑶-^^</<>/19

3

【分析】（1）把y=i,y=3分别代入y=-±中，求得对应的x的值，根据反比例函数的性

x

质即可求得结果；

（2）找到对称轴为直线/=分-4工5<2及^>2、5<一4三种情况考虑即可；

4«乙4

答案第26页，共38页

(3)由条件可得。>0,c<0,利用根与系数的关系可得AB在x轴上的影长/为：

『=世』网£=4(£丫一4£+4,再由已知条件可得从而可得/的取值范围.

aJa2a5

3

【解析】(1)把y=i,y=3分别代入y=-2中，得：户-3,X=~\

X

:比例系数-3Vo

・••当NO时，函数值随自变量的增大而增大

*,•—3Wx«—1

「影长”为7-(-3)=2,“影长范围”为一3Vx«-1.

(2)抛物线的对称轴为直线x="|

当-4K?K2,即-阻把4时，由题意抛物线部分图象在),轴上的影长的最大值就是二次函数

的最大值，故有土d=]()

-4

解得：a=-4+2V14=-4-2>/14(舍去)

.,.«=-4+2>/|4

当9>2,即。>4时，当TWX42时，函数值随x的增大而增大

2

.•.当尸2时，-4+4a=10

解得：*3.5(舍去)

当卜-4,即人8时，当-1VXV2时，函数值随x的增大而减小

:.当A--4时，-16-2a=10

解得：a=-\3

综上所述，a=T3或-4+2至

(3)t：a+b+c=0,且实数〃>2/>>女

.*.a>0,c<0,b=-(a+c)

设A、8两点的横坐标分别为〃人〃

ax2+bx+c=-bx-2c

・'・av2+2/?.v+3c=0

.2b3c

,•/〃+〃=---,mn=一

aa

设在x轴上的影长为/

则/2=(in-n)2—(m+n)2-4rnn=———产"。=—1-4f+4

答案第27页，共38页

c3c2

由a>2/?=-2(〃+c),得一>一一；由2〃=