中考数学复习 专题19 平行四边形与多边形（10个高频考点）（举一反三）（学生版+解析）

专题19平行四边形与多边形（10个高频考点）（举一反

三）

【考点1认识多边形】..........................................................................1

【考点2多边形的对角线】......................................................................3

【考点3多边形的内角和】......................................................................3

【考点4多边形的外角和】......................................................................4

【考点5平面镶嵌】.............................................................................5

【考点6平行四边形的性质】....................................................................6

I考点7平行四边形的判定】....................................................................8

【考点8利用平行四边形的判定与性质求解】.....................................................9

【考点9利用平行四边形的判定与性质证明】....................................................11

【考点10平行四边形的判定与性质的应用】......................................................12

【要点1多边形的概念】

平面内，由一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做多边形.

【要点2正多边形的概念】

各个角都相等，各条边都相等的多边形，叫做正多边形.

［考点I认识多地形】

【例1】（2022•上海杨浦•统考二模）下列命题中，正确的是（）

A.正多边形都是中心对称图形B.正六边形的边长等于其外接圆的半径

C.边数大于3的正多边形的对角线长都相等D.各边相等的圆外切多边形是正多边形

【变式1-1］（2022・河北•模拟预测）已知正n边形的周长为60,边长为a

（1）当n=3时，请直接写出a的值；

（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7,

周长为67,边长为b.有人分别取n等于3,20,120,再求出相应的a与b,然后断言：“无

论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等.”你认为这种说法对吗？若不对，请求出

不符合这一说法的n的值.

【变式1-2］（2022・湖北武汉・统考模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为

整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.例如：图

中△A8C的与四边形OEFG均为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为

N,边界上的格点记为L,已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b（Q,b为常数），

若某格点多边形对应的N=14,L=7,则5=（）

A.16.5B.17C.17.5D.18

【变式1-3］（2022•山西临汾•统考三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

你知道“皮克定理〃吗？

“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式.在一

张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的

交点，就是所谓格点.一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形.有

趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内

的点的数目，就可用公式算出.即5=。+36—1,其中Q表示多边形内部的点数，b表示多

边形边界上的点数，S表示多边形的面积.（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥

地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理〃.

图2图3

任务：

（1）如图2,是6X6的正方形网格，且小正方形的边长为1,利用“皮克定理〃可以求出图

中格点多边形的面积是.

（2）已知：一个格点多边形的面积S为19,且边界上的点数6是内部点数a的3倍，则a+

b=.

（3）请你在图3中设计一个格点多边形.要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形

是一个轴对称图形.

【要点3多边形的对角线】

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成

（n-2）个三角形,

共有6（n-3）条对角线，

【考点2多边形的对角线】

【例2】（2022•吉林长春校联考•模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木

架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（）

【变式2/】（2022•陕西渭南・统考三模）如果过某多边形的•个顶点的对角线有5条，则

该多边形是边形.

【变式2-2］（2022•陕西西安•二模）若一个正多边形的半径与它的边长相等，则过该正多

边形的一个顶点的对角线有条.

【变式2-3］（2022•江苏南通•校考模拟预测）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为

多边形的对角线.

（1）

对角线条数分别为、、、.

（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由.

（3）若一个n边形的内角和为1800。，求它对角线的条数.

【要点4多边形的内角和】

n边形的内角和为（n-2）・180°（1＞叁3）.

【考点3多边形的内角和】

【例3】（2022•福建厦门,校考一模）一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为2010。,

则这个内角是（）

A.20°B.120°C.150°D.200°

【变式3-1］（2022•江苏徐州・统考中考真题）正十二边形每个内角的度数为一.

【变式3-2］（2022•广西玉林•统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置

在边长为2的正六边形人山。“.的顶点A处.两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针力向1

秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022

秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（）

A.4B.2V3C.2D.0

【变式3-3］（2022・上海•统考中考真题）有一个正〃边形旋转90。后与自身重合，则〃为（）

A.6B.9C.12D.15

【要点5多边形的外角和】

在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.n边形的

外角和恒等于360。,它与边数的多少无关.

【考点4多边形的外角和】

【例4】（2022•河北石家庄•统考二模）如图，六边形4BCDEF中，匕力，乙B,乙C,乙。的外

角都相等，即Z.1=乙2=乙3=44=62。，分别作乙。“丸"凡4的平分线交于点P,则乙P的

度数是（）

A.55°B.56°C.57°D,60°

【变式4-1］（2022•云南昆明•统考一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道

题：假如从点4出发，如图所示，沿直线走6米后向左转。，接着沿直线前进6米后，再向

左转8......如此走法，当她第一次走到4点时，发现自己走了72米，。的度数为（）

【变式4-2］（2022•河北•统考中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设CA8C

与四边形BCOE的外角和的度数分别为%p,则正确的是（）

A.a—p=0B.a—p<Q

C.a-p>0D.无法比较a与/?的大小

【变式4-3］（2022・费州安顺・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的

正六边形。绕点。顺时针旋转几个。，得到正六边形品外琮，当九=时,

48CDE45OA”8n2022

正六边形当的。岛的顶点的坐标是<）

0Al71Dn

A.（-V3,-3）B.（-3,-V3）C.（3,-V3）D.（一百,3）

【考点5平面镶嵌】

【例5】（2022•广西贵港・统考一模）单独使用下面形状的五种地地砖：①等边三角形②

正方形③正五边形④正六边形⑤正八边形.能镶嵌（密铺）地面的是（）

A.③④⑤B.①②④C.②④⑤D.①③④

【变式5-1］（2022・山东济宁•统考二模）小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形

地砖.建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状

的地砖.你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（）

【变式5-2］（2022•河北统考三模）用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形

有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1,用几个全等的正六边形按这种方

式拼接，如图2,若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则九的值为.

/>

图I图2

【变式5-3]（2022•山东淄博•统考一模）如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是

一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正

方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第9层中含有

正三角形个数是.

【要点6平行四边形的性质】

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

【考点6平行四边形的性质】

【例6】（2022•辽宁朝阳统考中考真题）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行

四边形的纸片上，ZEFG=90°,ZEGF=60°,/AEr=50°,则/£GC的度数为（）

A.100°B.80°C.70°D.60°

【变式6-1]（2022.广东广州.统考中考真题）如图，在EM9CO中，4。=10,对角线人C与

8D相交于点。，AC+BD=22,则△BOC的周长为

【变式6-2]（2022•辽宁统考中考真题）在。/WCD中，ZC=45°,人。=BO,点P为射线

C。上的动点（点P不与点。重合），连接4P,过点尸作EP_LA尸交直线BD于点E.

（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出用，的数量关系：

（2）如图②，当点P在线段C。上时，求证：DA+让DP=DE：

⑶点尸在射线CD上运动，若AD=3或,4P=5,请直接写出线段BE的长.

【变式6-3]（2022・贵州贵阳•统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、

角之间的关系进行了拓展探究.

如图，在中，4N为BC边上的高，券=m，点M在AD边上,且84=BM,点E是线

段4M上任意一点，连接8E,将△力BE沿8E翻折得△F8E.

如图①，当乙840=60。，将△?!〃£沿8E翻折后，使点「与点M重合，则煞二

⑵问题探究：

如图②，当乙BAD=45。，将A/BE沿BE翻折后，使“IBM,求418E的度数，并求出此时

m的最小值；

⑶拓展延伸：

当484。=30。，将△48E沿BE翻折后，若EF1AD,且AE=MD,根据题意在备用图中画

出图形，并求出m的值.

【要点7平行四边形的判定】

⑴定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

⑶定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑸定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【考点7平行四边形的判定】

【例7】(2022•山东临沂•统考中考真题)如图，在正六边形/RCDEF中，M,N是对角线8E

上的两点，添加下列条件中的一个：①BM=EN；@^FAN=@AM=DNi

④乙AMB=CDNE.能使四边形力MON是平行四边形的是(填上所有符合要求

的条件的序号).

【变式7-1](2022•辽宁鞍山•统考中考真题)如图，在四边形4BCD中，AC与BD交于点。,

BE1AC,DF1AC,垂足分别为点E,F,且BE=DF,LABD=cBDC.求证：四边形/,BCD

是平行四边形.

【变式7-2](2022•宁夏•中考真题)如图，是边长为1的小正方形组成的8x8方格，线段43

的端点在格点上.建立平面直角坐标系，使点A、8的坐标分别为(2,1)和(-1,3).

B

⑴画出该平面直角坐标系xOy；

(2)画出线段48关于原点。成中心对称的线段力道1；

⑶画出以点4、B、。为其中三个顶点的平行四边形.(画出一个即可)

【变式7-3](2022•内蒙占鄂尔多斯•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y

=aF+加r+2经过4(-1,0),B(3,；)两点，与y轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式;

⑵点P在抛物线上，过P作尸DLv轴，交直线BC于点D,若以尸、D、O、C为顶点的四

边形是平行四边形，求点P的横坐标；

⑶抛物线上是否存在点Q,使NQC5=45。？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，

请说明理由.

【考点8利用平行四边形的判定与性质求解】

【例8】(2022•宁夏银川校考三模)已知：如图，在RtAABC中，Z-C=90°,AC=3cm,

BC=4cm,点P从点8出发，沿8C向点C匀速运动，速度为lcm/s,过点P作尸011,18,

交AC于点D.同时，点。从点A出发，沿4B向点8匀速运动，速度为2cm/s.当一个点停

止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ.设运动时间为/(s)(0<t<2.5),解答下

列问题：

⑴当/为何值时，四边形/1DPQ为平行四边形？

（2）设四边形AOPQ的面积为），（cm?）,试确定），与/的函数关系式.

⑶在运动过程中，是否存在某一时刻3使5四边形MPQ：SAPQ8=13:2?若不存在，请说明理

由；若存在，求出/值，并求出此时PQ的距离.

【变式8-1］（2022•福建泉州•统考模拟预测）如图，等腰△ABC中，AB=AC=1,/BAC=45°,

将△力8C绕点A逆时针旋转一定角度a（45°Va490°）得到△力。£点反。的对应点分

连接HD、CE交于点G.

⑴用含a的代数式表示4AGC的度数；

（2）当4EIIBD时,求C户的长.

【变式8-2］（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，四边形为矩形，AB=V2,AD=3,

点E为边BC上一点,将^DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F,过点尸作0E的平行线交

于点G,交直线8c于点儿若点G是边4。的三等分点，则尸G的长足

【变式8-3］（2022•湖北鄂州•统考中考真题）如图，定直线MMIPQ,点8、C分别为MN、

PQ上的动点，且8c=12,3C在两直线间运动过程中始终有N3CQ=60。.点、A是MN上方一

定点，点。是PQ下方一定点，且AEII8CIIDF,AE=4,DF=8,AD=24x/5,当线段8C在平

移过程中，A8+CO的最小值为（）

【考点9利用平行四边形的判定与性质证明】

【例9】（2022•浙江杭州杭州市十三中教育集团（总校）校联考模拟预测）如图在正六边

形44COE尸中，。是A3边上一点，PMII力"交所于M,PNTTBC交CD于N.

ED

⑴求/MPN的度数；

（2）记AB=Q,PM=m,PN=n.求证：m+n=3a；

（3）连结。，MN,若黑/求券的值.

【变式9-1］（2022・重庆•校考一模）如图,四边形是平行四边形，4c是对角线

⑴基本尺规作图：过点8作8E14C于点E,再在AC上截取CF=A£（尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法）

（2）连接OE、OF、BF,猜想四边形BEOF的形状，将下面的推理过程补充完整.

证明：四边形48CD是平行四边形，AB=DC,，,Z.BAE=乙DCF.

AB=DC

在^CDF中，Z.BAE=乙DCF

AE=CF

/.△ABE=△CDF（）,BE=DF,/.BEA=乙DFC./.乙FEB=乙EFD.

一•四边形OEB厂是

【变式9-2］（2022•浙江温州・温州市第三中学校考模拟预测）如图，四边形4BCD是平行四

边形，分别以40,BC为边向外构造等边△力DC和等边△8CF,连接DF,BD.

⑴求证：四边形是平行四边形.

⑵若力。与8E交于点G,且4D=BD,Z-DFB=45°,BG=&,求△BDG的面积.

【变式9-3］（2022•浙江温州・统考二模）如图，4ABC内接于。0,A8为直径，/ACB的

平分线分别交A4于点。.交。。于点E,过点E作。。的切线，交CE的平行线A产于点凡

（1）求证：四边形AOEr为平行四边形.

（2）若tan/C4B=jA/=5,求四边形ADE尸的面积.

【考点10平行四边形的判定与性质的应用】

【例10】（2022•河南驻马店•统考模拟预测）郑州的发展离不开火车技术的进步，郑州北站

是全亚洲最大的货运铁路编组站，最早的火车靠燃烧化学燃料推动蒸汽机为火车提供前进的

动力，这时火车被称为蒸汽机车，下图是为蒸汽机车提供动力的车轮组，将其简化后得到图

1,MN为活塞连杆，会从发动机/GQE中伸出缩回做往复运动，N8为长度固定的刚性连杆,

随着MN的往复运动，带动车轮。2上的点8做圆周运动，车轮随之转动，长度固定的刚性

连杆八。带动车轮Oi，3转动，为蒸汽机车提供动力.

如图1所示，MN//AC//0.03,。］、④、。3共线，4。=。1。3,B为AC中点，外为0。3的

图1

图3

⑴请就图1的情况说明三个车轮的半径。"=02B=O3C,

⑵当车轮旋转至图2时，点A与点N重合，当车轮旋转至图3时，01落在8N上，NB恰好

为。。2的切线，并且此时N4NM=75。，若此时AN的长度为1,请求出图3中△入N8的面

积.

【变式10-1】（2022•江苏镇江•统考模拟预测）如图1,A8CO是平行四边形对角线AC,BD

相交于点O,直线石尸过点O,分别交A。，BC于点、E,F.

（1）求证：AE=CF.

（2）如图2,若ABC。是老张家的一块平行四边形田地.P为水井，现要把这块田地平均

分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井户相邻.请你帮老张家

【变式10・2】（2022•河北石家庄•校联考三模）如图，两把完全•样的直尺叠放在•起，重

合的部分构成一个四边形，这个四边形是形；如果直尺的宽度是'&cm,两把直尺所

夹的锐角为45。，那么这个四边形的周长为cm.

【变式10-3】(2022•陕西西安•校联考模拟预测)问题提出：

(1)如图①，在△A8c中，NA=45。，AB=3,AC=2\[2,求8c边上的高；

问题解决：

(2)如图②，某幼儿园有一块平行四边形ABCQ的空地，其中48=6米，BC=10米，ZB

=60。，为了丰富孩子们的课业生活，将该平行四边形空地改造成多功能区域，已知点E、G

在边4c上，点尸在边AO上，连接4£、EF、DG.现要求将其中的阴影三角形48E区域设

置成木工区，阴影四边形EFOG区域设置成益智区，其余区域为角色游戏区，若4BIIEG

Z1+Z2=6O°,请问：是否存在一种规划方案，使得木工区域和益智区域的面积和尽可能

大？若存在，求出两个区域(即两部分阴影区域)面枳和的最大值：若不存在，请说明理由.

AAFD

图①图②

专题19平行四边形与多边形（10个高频考点）（举一反

三）

【考点1认识多边形】..........................................................................1

【考点2多边形的对角线】......................................................................3

【考点3多边形的内角和】......................................................................3

【考点4多边形的外角和】......................................................................4

【考点5平面镶嵌】.............................................................................5

【考点6平行四边形的性质】....................................................................6

I考点7平行四边形的判定】....................................................................8

【考点8利用平行四边形的判定与性质求解】.....................................................9

【考点9利用平行四边形的判定与性质证明】....................................................11

【考点10平行四边形的判定与性质的应用】......................................................12

【要点1多边形的概念】

平面内，由一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做多边形.

【要点2正多边形的概念】

各个角都相等，各条边都相等的多边形，叫做正多边形.

【考点1认识多边形】

【例1】（2022•上海杨浦•统考二模）下列命题中，正确的是（）

A.正多边形都是中心对称图形B.正六边形的边长等于其外接圆的半径

C.边数大于3的正多边形的对角线长都相等D.各边相等的圆外切多边形是正多边形

【答案】B

【分析】根据正多边形的性质、正多边形的对角线、正多边形的概念判断即可.

【详解】解：A、边数是偶数的正多边形都是中心对称图形，边数是奇数的正多边形不是中

心对称图形，故本选项说法错误，不符合题意；

B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，本选项说法正确，符合题意：

C、边数大于3的正多边形的对角线长不都相等，可以以正八边形为例得出对•角线长不都相

等，故本选项说法错误，不符合题意；

D、各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形，例如，圆外切菱形边数正多边形，故本选

项说法错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

【变式1-1］（2022•河北•模拟预测）已知正n边形的周长为60,边长为a

（1）当n=3时，请直接写出a的值；

（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7,

周长为67,边长为b.有人分别取n等于3,20,120,再求出相应的a与b,然后断言：“无

论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等.〃你认为这种说法对吗？若不对，请求出

不符合这一说法的n的值.

【答案】（1）20（2）不正确

【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长+边数；

（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值.

试题解析：（1）a=60-?3=20：

（2）此说法不正确.

理由如下；尽管当n=3、20、120时，a>b或aVb,

但可令a=b,得?=息，

60n+420=67n,

解得n=60»

经检验n=60是方程的根.

.,.当n=60时，a=b,即不符合这一说法的n的值为60.

点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边

形的知识点.

【变式1-2］（2022・湖北武汉•统考模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为

整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.例如：图

中△ABC的与四边形。EFG均为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为

N,边界上的格点记为L,已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b（a,b为常数），

若某格点多边形对应的N=14,L=7,贝心=（）

A.16.5B.17C.17.5D.18

【答案】A

【分析】先分别根据A/IBC和四边形DEFG中，S、N、L的数值得出关于a和b的二元一次方

程组，解得a和b的值，则可求得当N=14,乙=7时5的值.

【详解】解：△48C中，5=1,N=0,L=4,则4Q+b=1；

同理，四边形DEFG中，S=2x4-lx2+2-lxl+2-2x3+2=3.5,

N=2,L=5

2+5a+b=3.5；

联立得［六=1

（2+5a+b=3.5

解得：a=0.5,b=-1

：.N=14,L=7,则S=144-3.5-1=16.5,

故选：A.

【点睛】本题属于创新题型，主要考查了二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数

据分析能力.

【变式1-3］（2022•山西啕汾•统考三模）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

你知道“皮克定理”吗？

“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式.在一

张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的

交点，就是所谓格点.一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形.有

趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内

的点的数目，就可用公式算出.即5=。+：匕一1,其中Q表示多边形内部的点数，b表示多

边形边界上的点数，S表示多边形的面积.（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥

地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理

图2图3

任务：

（1）如图2,是6X6的正方形网格，且小正方形的边长为1,利用“皮克定理〃可以求出图

中格点多边形的面积是.

（2）已知：一个格点多边形的面积S为19,且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+

b=.

（3）请你在图3中设计一个格点多边形.要求：①格点多边形的面枳为8；②格点多边形

是一个轴对称图形.

【答案】（1）21；（2）32；（3）见解析

【分析】（1）观察图形，得到。=16,8=12,再代入计算即可得到答案；

（2）由题意b=3a,然后列出关于F的方程，求出Q=8,再求出答案即可；

（3）由格点多边形的面积为8,然后根据轴对称的性质，即可画出图形.

【详解】解：（1）由题意，如图：

图2

多边形内部的点数为：a=16,

多边形边界的点数为：匕=12,

S=Q+於-1=16+gx12-1=21；

故答案为；21；

（2）设内部点数是Q,则匕=3a,

「♦S=Q+：b—1=Q+；X3Q—1=19,

22

a=8,

b=8x3=24»

7.Q+b=8+24=32：

故答案为：32.

（3）答案不唯一，只要符合题意要求即可.

例如：

【点睹】本题考杳了多功形，解一元一次方程，轴对称的性质等知识，理解正方形网格纸中

多边形面积的公式S=a+|b-1是解决问题的关键.

【要点3多边形的对角线】

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成

（n-2）个三角形，

共有》（n-3）条对角线.

【考点2多边形的对角线】

【例2】（2022•吉林长春校联考一模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木

架稳定，则要钉上的细木条的数显至少为（）

【答案】B

【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案.

【详解】二•三角形具有稳定性，

「•要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，

••,过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），

要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，

故选：B.

【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟汜三角形具有稳定性是解题的关键.

【变式2-1]（2022•陕西渭南•统考三模）如果过某多边形的一个顶点的对角线有5条，则

该多边形是边形.

【答案】8

【分析】根据从〃边形的一个顶点可以画（〃・3）条对角线，求出边数即可得解.

【详解】解：•.•过某多边形的一个顶点的对角线有5条，

n-3=5

〃=8

故答案为：8.

【点睛】本题考查了多边形对角线的公式，牢记公式是解题的关键.

【变式2-2]（2022•陕西西安•二模）若一个正多边形的半径与它的边长相等，则过该正多

边形的一个顶点的对角线有条.

【答案】3##三

【分析】根据正多边形的半径与边长相等，可知正多边形的相邻的两条半径与•条边闹成一

个等边三角形，由此求出中心角的度数，进而求出正多边形的边数，即可求出过该正多边形

的一个顶点的对角线的条数.

【详解】解：:正多边形的半径与它的边长相等，

「•正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个等边三角形，

正多边形的中心角是60°

V正多边形所有中心角的和为360。

360°4-60°=6

「•正多边形的边数为6,即正多边形是正六边形，过正六边形的一个顶点的对角线有3条，

故答案为：3

【点睛】此题考查了正多边形与圆的相关知识，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.

【变式2-3]（2022•江苏南通•校考模拟预测）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为

多边形的对角线.

（1）

对角线条数分别为、、、.

（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由.

（3）若一个n边形的内角和为1800。，求它对角线的条数.

【答案】（1）2；5：9；亭2（2）n边形可以有20条对角线，此时边数n为八；（3）

这个多边形有54条对角线

【详解】分析：（1）设n边形的对角线条数为a。，根据多边形对角线条数公式即可求出结

论；

<2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于n的一元二次方程，解之即可得

出结论；

（3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再套用多边形对角线条数公式，即可得出结论.

详解：（1）设n边形的对角线条数为a”

则34=生尸1=2,35=丝尹=5,而①第=9,…，a产噌.

（2）假设可以，根据题意得：

的事20.

2

解得：n=8或n=-5（舍去），

・•.n边形可以有20条对角线，此时边数n为八.

（3）.一个n边形的内角和为1800%

180°x（n-2）=1800°,

解得：n=12,

.n（n-3）_12x（12_3）_一

一―2--2~,

答：这个多边形有54条对角线.

点睛：本题考查了一元二次方程的应用、多边形的对角线以及多边形内角和定理，解题的关

键是：（1）根据多边形对角线条数公式求出多边形的对角线条数；（2）根据多边形对角线

条数公式，列出关于n的一元二次方程；（3）根据多边形内角和定理，求出边数n.

【要点4多边形的内角和】

n边形的内角和为（n-2）・180。（n23）.

【考点3多边形的内角和】

【例3】（2022•福建厦门•校考一模）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2010。,

则这个内角是（）

A.20°B.120°C.150°D.200°

【答案】C

【分析】设这个内角度数为X。，边数为九，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边

形的一个内角一定大于0。.并且小于180度计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所

求内角的值.

【详解】解：设这个内角度数为X°,边数为n,

则（ri-2）x180°-%=2010°,

180°-n=2370°+x°f

.「n为正整数，0°vxvl80°

/.n=14.

这个内角度数为180。X（14-2）-2010°=150°.

故选C.

【点睛】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立

边数与内角度数的等式.

【变式3-1]（2022•江苏徐州•统考中考真题）正十二边形每个内角的度数为一.

【答案】150°

【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解.

【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：萼=30。，

则每个内角的度数是：180°-30°=1500.

故答案为150°.

【变式3-2]（2022•广西玉林•统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置

在边长为2的正六边形/WCDEF的顶点八处.两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1

秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022

秒钟后，两枚跳棋之间的羽离是（）

A.4B.2V3C.2D.0

【答案】B

【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性

质及含30度直角三角形的性质可进行求解.

【详解】解：20224-3=674,20224-1=2022,

6744-6=112••…2,2022+6=337,

经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，

连接AE,过点“作"GJ_AE于点G,如图所示：

在正六边形/18CDEF中，AF=EF=2.Z.AFE=120°,

AG=^AE,Z.FAE=Z-FEA=30°,

/.FG=-AF=1,

2

/.AG=y/AF2-FG2=V5,

AE=2百，

故选B.

【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的

性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是

解题的关键.

【变式3-3］（2022•上海・统考中考真题）有一个正〃边形旋转90。后与自身重合，则〃为（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】C

【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心用度数，与90。一致或有倍数关系的

则符合题意.

【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90。是30。的3倍，则可以旋转得到.

观察四个正多边形的中心用，可以发现正12边形旋转90。后能与自身重合

故选c.

【点睛】本题考杳正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与

旋转度数建立关系.

【要点5多边形的外角和】

在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.n边形的

外角和恒等于360。，它与边数的多少无关.

【考点4多边形的外角和】

【例4】（2022•河北石家庄•统考二模）如图，六边形4BCDE尸中，乙B,Z.C,N。的外

角都相等，即/1=42=乙3="=62。，分别作“EF刃/E”的平分线交于点P,则乙P的

度数是（）

A.55。B.56°C.57°D.60°

【答案】B

【分析】根据多边形外角和求出N5+N6=1122根据角平分线定义进而求出

ZFEP+ZEFP=124°,再根据三角形的内角和求出N。的度数.

【详解】解：:/I=/2=/3=/4=62。,多边形的外角和为360°.

Z5+Z6=360O-62°X4=112%

ZDEF+4AFE=248°,

•/EP,FP分别平分NDEF和NAFE,

ZFEP冬DEF,ZEFP=»AFE,

22

...ZFEP+NEFP=-（ZDEF+2AFE）=124°,

2

ZP=56°.

故选：B.

【点睛】本题考查了多边形的外角和定义，角平分线的定义以及三角形的内角和，掌握以上

基础知识是解决问题的关逆.

【变式4-1]（2022•云南昆明•统考一模）小丽利用学习的数学知识，给同伴出了这样一道

题：假如从点A出发，如图所示，沿直线走6米后向左转。，接着沿直线前进6米后，再向

左转。……如此走法，当她第一次走到4点时，发现自己走了72米，9的度数为（）

A.30°B.32°C.35°D.36°

【答案】A

【分析】小丽第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形.计算这个正

多边形的边数和外角即可.

【详解】解：・••第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，

1•多边形的边数为:72+6=12.

根据多边形的外角和为360。，

.•.他每次转过的角度%360。+12=30。.

故选：A.

【点睛】本题考查多边形的外角和.解题的关键时判断出小丽第•次返回点A时，所经过

的路径构成一个正多边形.

【变式4-2］（2022•河北•统考中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设CA8C

与四边形8CQE的外角和的度数分别为a,/?,则正确的是（）

B.a-/?<0

C.a-p>0D.无法比较a与夕的大小

【答案】A

【分析】多边形的外角和为360。，Zk/WC与四边形BCDE的外角和均为360。，作出选择即可.

【详解】解：.「多边形的外角和为360。,

/.△48C与四边形BCOE的外角和a与/?均为360。，

cc—/?—09

故选：A.

【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360。是解答本题的关键.

【变式4-3］（2022・贵州安顺・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的

正六边形。4BCDE绕点。顺时针旋转n个45。，得到正六边形。力谒£&岛，当n=2022时,

正六边形。41%的%房的顶点Dn的坐标是（）

A.(-V3,-3)B.(-3,-V3)C.(3,-V3)D.(一百,3)

【答案】A

【分析】由于正六边形每次转45。，根据2022+8=252•••6,则D2022的坐标与的坐标相

同，求得。6的坐标即可求解.

【详解】解：•••将边长为2的正六边形0A8CDE绕点。顺时针旋转几个45。，•••45。乂8=360。

当"=2022时，2022+8=252•••6

则D2022的坐标与。6的坐标相同，=2x45°=90°

则0。10D6

如图，过点。作于F,过点4尸6,丫轴于点尸6，

•••OE=DE=2,OD=0D6,

•••△ODF=△OD6F6,

:.DF=D6F6,OF=0F6,

•••正六边形。ABW的一个外角"EF=等=60°,

:.DF=sinzDEFxDE=—x2=V3,

2

v乙DEO=180°-zDEF=120。，DE=EO,

•••乙DOF=30°,

昨$=百防=3,

:.D6F6=DF=V3,OF6=OF=3,

D6（-V3,-3）,

•••^2022（~V3,—3）,

故选A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正六边形的性质，正多边形的外角和，内

角和，求得。2022的位置是解题的关键.

【考点5平面镶嵌】

【例5】（2022•广西贵港统考一模）单独使用下面形状的五种地地砖：①等边三角形②

正方形③正五边形④正六边形⑤正八边形.能镶嵌（密铺）地面的是（）

A.③④⑤B.①②④C.②④⑤D.①③④

【答案】B

【详解】解：①等边三角形的每个内角是60。，能整除360。，6个能组成镶嵌；

②正方形的每个内角是90。，能整除360。，4个能组成镶嵌：

③正五边形每个内角是180。-360。+5=108。，不能整除360。，不能密铺；

④正六边形的每个内角是120。，能整除360。，3个能组成镶嵌；

⑤正八边形的每个内角为：180。-360。+8=135。，不能整除360。，不能密铺.

故选B.

【变式5-1］（2022•山东济宁•统考二模）小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形

地砖.建材店老板告诉她，只用•种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状

的地砖.你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（）

【答案】B

【详解】A、正八边形、正三角形内角分别为135。、60%显然不能构成360。的周角，故不

能铺满：

B、正方形、八边形内角分别为90。、135。，由于135x2+90=360,故能铺满；

C、正六边形和正八边形内角分别为120。、135。,显然不能构成360。的周角,故不能铺满；

D、正八边形、正五边形内角分别为135。、108。，显然不能构成360。的周角，故不能铺满.

故选B.

【变式5-2］（2022・河北统考三模）用4个全等的正八边形拼接，使相邻的两个正八边形

有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1,用n个全等的正六边形按这种方

式拼接，如图2,若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则九的值为.

图I图2

【答案】6

【分析】根据正六边形的一个内角为120。，可求出正六必形密铺时中间的正多边形的内角，

继而可求出n的值.

【详解】解：两个正六边形拼接，一个公共点处组成的常度为240。，

故如果要密铺，则中间需要一个内角为120。的正多边形，

而正