中考数学复习 专题18 解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）（学生版+解析）

专题18解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）

【考点1锐角三角函数的定义】..................................................................1

【考点2锐角三角函数的增减性】................................................................2

【考点3同角三角函数的关系】..................................................................3

【考点4互余两角三角函数的关系】..............................................................3

【考点5特殊角的三角函数】....................................................................4

【考点6解直角三角形】........................................................................5

【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】...................................................7

【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】.....................................................9

【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】..................................................10

【考点10解直角三角形应用之其他问题】........................................................12

【要点1锐角三角函数】

在RfAABC中,ZC=90\则乙4的三角函数为

定义表达式取值范围关系

正弦4/A的对边0<sinA<1

sinA=—rm-----sinA=—

斜边c（ZA为锐角）sinA=cosB

余弦.4的邻边,b0<cosA<1cosA=sinB

8sA=——------cosA=—

斜边c（ZA为锐角）sin2A+cos2A=1

正切4乙4的对边tanA>0,1

tailA=------,,、,tan>4=—tanA=------

NA的邻边b（ZA为锐角）tanB

【考点1锐角三角函数的定义】

【例1】（2022•湖北荆州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,8分别在x轴

负半轴和y轴正半轴上，点C在。8上，OC-.BC=1:2,连接4C,过点。作。尸II48交AC

的延长线于P.若P（l,l）,则taM。4P的值是（）

B.立

A.叵C.-D.3

2

【变式1-1]（2022・上海•上海市进才中学校考一模）在RtAABC中，Z.C=90°,AB=5,

AC=4.下列四个选项，正确的是（）

44

A.tanB=：B.sinB=-C.sinB=-D.cosBc="4

【变式1-2]（2022•山东滨州•阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示,已知O。是△48。

的外接圆，AD是。。的直径，连接，若40=3,AC=2,则cos。的值为（)

李三2

B.C,D.

223

【变式1-31（2022・四川宜宾・统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCZ）中，AB=5,BC=3,

则cos乙4D/7的值为（）

E

A.—D,总

1715

【考点2锐角三角函数的增减性】

【例2】（2022•上海静安•统考一模）如果0。〈44V45,那么2nA与co安的差（)

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【变式2-1]（2022•上海校考模拟预测）如果锐角A的度数是25。，那么卜.列结论中正确的

是（）

B.0<cos^<^

A.0<sin/l<-

y/3

C.一<tanA<1D.1<coL4<y/3

【变式2-2]（2022•甘肃张掖・统考模拟预测）若0。Va<90。，则下列说法不正确的是（）

A.sina随a的增大而增大B.cosa随a的减小而减小

B.C.tana随a的增大而堵大D.0<sina<l

【变式2-3]（2022•浙江宁波•校联考一模）sin70。，cos700,tan70。的大小关系是（）

A.tan70ycos700Vsin70'B.cos700<tan70°Vsin700

C.sin70°Vcos70°Vtan70°D.cos700<sin700<tan700

【考点3同角三角函数的关系】

【例3】（2022春•湖南邵阳•九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知用为实数,且sin%

cosa是关于x的方程4/一in%+1=0的两根，则sin4a+cos4a的值为（）

A2!C-5D-1

【变式3-1］（2022・陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）在&448。中，ZC=900,若

sinA=1,则cosA=（）

A.叵B.叵CTD.它

3232

【变式3-2］（2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）已知tana=5,则

3sinacosa

2sinza+cosza----------------'

【变式3-3］（2022・湖北•校联考模）已知：实常数*b,c,d同时满足下列两个等式：

（l）asin0+bcosJ—c=0；⑵acos。-bsin。+d=0（其中。为任意锐角），则Q、b>c>d之

间的关系式是：

【考点4互余两角三角函数的关系】

【例4】（2022•福建南平统考二模）如图，将矩形A8CQ放置在一组等距的平行线中，恰

好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1,若乙DCE=。,则矩形ABC。的

周长可表示为（）

A

CE

A-2岛+就）B-2岛+品）

仁2（磊+扁）D-2岛+高）

【变式4-1］（2022•安徽宣城•校联考一模）在RSA8C中，ZC=90°,下列式子不一定成

立的是（）

A.sin/l=sinBB.cosA=sin8

C.sinA=cos8D.sin（4+B）=sinC

/4、2019/用、2020/斤、2021/x.2022

A.2X俘）B.2x（y）C.2x停）D.2xz（/）

【变式5-1]（2022•山东日照•统考中考真题）在实数&,』（/0）,COS30。，弼中，有理

数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-2]（2022•福建泉州•统考二模）如图，在菱形A8c。中，AC=CDf则cos/3的值为

（）

【变式5-3]（2022•陕西渭南•统考二模）如图，在△ABC中，NA8C=45。，点〃是高AO

和8£的交点，ZCAD=30°,。。=4,则线段班/的长度为（）

【要点3解直角三角形的类型和解法】

已知条件图形解法

已知一直角边和

-NA,c=",b=(或〃=护-a2)

一个锐角4=90。a

（a,ZA）BsinAtanAv/

/

已知斜边和一个^^90也靓M=csinA,b=ccosA(物=-7c2-a2)

锐角（c,/A）

已知两直角边邻边二—0

刀c=Ja2+/，由tanA=—求ZA,NB=90°—N4

（。㈤b

已知斜边和一条

匕=，。2一〃2,由《门川二色求N4/5=9o。一N/

直角边（C,。）c

【考点6解直角三角形】

【例6】（2022•江苏南通•统考中考真题）如图，点。是正方形力86的中心，AB=3a.Rt△

BE尸中，乙BEF=90°,EF过点D,BE,BF分别交AD,CD于点G,M,连接OE,OM,EM.若BG=

DF.tan^ABG=则^OEM的周长为.

J

E

AD

O

B

【变式6-1］（2022•浙江嘉兴•统考中考直撅）如图，在AA3C中，ZA13C=90°,ZA=60°,

直尺的一边与重合，另一边分别交4B,AC于点。，E.点、B,C,。，E处的读数分别

为15,12,0,1,则直尺宽8。的长为.

【变式6-2］（2022•西藏•统考中考真题）如图，已知BC为。。的直径，点。为CE的中点,

过点。作。GIICE,交8c的延长线于点A,连接8。，交CE于点F.

⑴求证：A。是。。的切线；

（2）若E/=3,CF=5,tan^GDB=2,求AC的长.

【变式6-3］（2022•辽宁抚顺•统考中考真题）在△ABC中，Z,BAC=90°,AB=AC,线段AB

绕点A逆时针旋转至AO（4。不与4c重:合），旋转角记为a,乙04C的平分线力E与射线B0相

交于点E,连接EC.

AA

图①图②备用图

（1）如图①，当a=20。时，乙4EB的度数是；

（2）如图②，当0。＜。＜90。时，求证：BD+2CE=V2AE；

⑶当0。＜a＜180°,4E=2CE时，请直接写出黑的值.

【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】

【例7】（2022♦山东聊城统考中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空

心砖塔，塔旁有一棵唐代占槐，称为“宋塔唐槐〃（如图①）.数学兴趣小组利用无人机测

量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基8点与古槐底。点之间的地面”点，竖

直起飞到正上方45米七点处时,测得塔的顶端A和古槐CO的顶端C的俯角分别为26.6。

和76。（点8,H,。三点在同一直线上）.已知塔高为39米，塔基8与树底。的水平距离

为20米,求古槐的高度（结果精确到1米）.（参考数据:sin26.6°«0.45,cos26.6°«0.89,

tan26.6°«0.50,sin76°«0.97,cos76°«0.24,tan763«4.01)

【变式7-1］（2022•山东济南♦统考中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑人B的

高度.如图，他们在地面上C点测得最高点4的仰角为22。，再向前70m至。点，又测得

最高点A的仰角为58。，点C,D,8在同一直线上，则该建筑物A8的高度约为（）（精

确到1m.参考数据：sin22°«0.37,tan22°«0.40,sin58°*0.85,tan58°«1.60）

A

A.28mB.34mC.37mD.46m

【变式7-2]（2022•江苏泰州•模拟预测）如图，小明在大楼45m高（即尸H=45m,且PH_LHC）

的窗口P处进行观测，测得山坡上4处的俯角为15。，山脚B处的俯角为60。，已知该山坡的坡

度i（即tax4BC）为1:6（点P,H,B,C,4在同一个平面上，点、H,B,C在同一条宜线

上）.

（1）2P8A的度数等于度（直接填空）

（2）求A,B两点间的距离（结果精确到0.1m,参考数据：V2«1.414,百、1.732）

【变式7-3]（2022・四川自贡•统考中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地

测量，活动过程如下：

里角器图①

p

图③图④

⑴探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心。处，另一端系小重物G.测量

时，使支杆0M、量角器90。刻度线ON与铅垂线0G相互重合（如图①），绕点。转动量角器,

使观测目标尸与直径两端点4,B共线（如图②），此目标P的仰角ZPOC=/GON.请说明两

个角相等的理由.

⑵实地测扁：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶

端P的仰角"0Q=60。，观测点与树的距离KH为5米，点。到地面的距离。K为1.5米；求

树高P”.（V3«1.73,结果精确到0.1米）

⑶拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度P"（如图④），同学

们讨论，决定先在水平地价上选取观测点E,F（E,尸,”在同一直线上），分别测得点尸的仰

角a,6,再测得E,尸间的距离点仇,。2到地面的距离。:「劣尸均为1.5米;求PH（用火0,7九

表示）.

【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】

【例8】（2022•山东泰安•统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周〃

期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客

发现岸上P/处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600〃?到达

8处时，游客发现遗爱亭在北偏西15。方向；当游船继续向正东方向行驶400加到达。处时，

游客发现临呆亭在北偏西60。方向.则临果亭P/处与遗爱亭P2处之间的距离为.（计

算结果保留根号）

【变式8-1]（2022•辽宁朝阳•模拟预测）如图，8地在H地的北偏东56。方向上,C地在8地

的北偏西19。方向上，原来从力地到C地的路线为力->8->C,现在沿4地北偏东26。方向新修

「一条直达C地的公路，路程比原来少了20千米.求从A地直达C地的路程（结果保留整数.参

考数据：1.4,V3«1.7）.

【变式8-2］（2022•浙江宁波•一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里/小时的速度筑行,

在A处测得岛C在北偏东60。方向，1小时后渔船航行到8处，测得岛。在北偏东30。方向,

已知该岛周围9海里内有暗礁.参考数据：V3«1.732,sin75°«0.966,cos75°«0.259.

（1）B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？

（2）如果渔船在8处改为向东偏南15。方向航行，有无触礁危险？

【变式8-3］（2022・四川成都•校联考三模）如图，为河流南北两岸的平行道路，北岸

道路4,8和南岸道路。点处各有--株古树.已知8,。两株古树间的距离为200米，为了

测量A,8两株古树之间的距离，在南岸道路C点处测得古树人位于北偏西42。方向，在。

处测得古树8位于北偏西30。方向.已知CQ=280米，求A,8两株古树之间的距离.（结

果保留整数）

参考数据：缶1.41，参率73,而42。琮，8s42弓，342。*.

北

【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】

【例9】（2022.湖南郴州.统考中考直题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CO=20m,背

水坡BC的坡度为=为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计

人员准备把背水坡的坡度攻为i2=l：百，求背水坡新起点A与原起点4之间的距离.（参

考数据：V2«1.41,百*1.73.结果精确到0.1m）

【变式9-1]（2022・湖南株洲•统考中考真题）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的

山顶点八处沿线段至止谷点。处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图2所

示，将直线，视为水平面，山坡①的坡角乙4cM=30。，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡

度i=l:LBN工I于N,且。村二企千米.

⑴求24cB的度数；

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

【变式9-2]（2022•河北石家庄•校联考三模）小明在一段斜坡04-48上进行跑步训练.在

训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为3m/s,距水平

地面的高度总为15m（在宜线y=15上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：

已知O4=10gm,斜坡。4的坡度i=l：3,斜坡4B的坡角为22.5。.

⑵小明在斜坡上的跑步速度是m/s,并求48段y关于x的函数解析式；

⑶若小明沿。-4-8方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长.（参考数据:

sin22.5°«cos22.5°,tan22.5°«-）

131312

【变式9-3］（2022・重庆•西南大学附中校考模拟预测）如图是某大型商场一层到二层的自

动扶梯侧面示意图，小明在一层的力处用测角仪（测角仪高度忽略不计）测得天花板.上的口

光灯P的仰角为27。，他向正前方走了5米来到扶梯起点B处，乘坐扶梯8。上行13米到达二

层的。处，此时用测角仪测得日光灯P的仰角为53。，已知自动扶梯BD的坡度为1:24

参考数据：sin27°®cos27°«—,tan27°«sin53°«cos53°«tan53°«

⑴求图中点D到一层地面的高度；

⑵根据规定，商场两层总楼高要大于10米，判断该商场楼高是否符合规定，并说明理由.

【考点10解直角二角形应用之其他问题】

【例10】（2022•辽宁盘锦•校考一模）如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与

示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆。£、箱长8C、拉杆AB的长度都相等，即

DE=BC=AB,点8、尸在线段AC上，点C在OE上，支杆OF=30c〃?，CE：CD=1：3,

ZDCF=A5°,ZCDF=30-.请根据以上信息，解决下列问题；参考数据：岳1.41,遍=1.73,

V6=2.45.

图1图2

⑴求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点人到水平滑杆EQ的距离（结果保留到1c”?）.

【变式10-1】（2022・湖北荆门•统考中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然

无存，但底部未曾受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧

面与地面成60。角，则金字塔原来高度为（）

A.120mB.60V3mC.60信nD.120V3m

【变式10-2】（2022•山东枣庄•校考模拟预测）一酒精消毒瓶如图1,AB为喷嘴,△BCD为

按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管,其示意图如图2,LDBE=LBEF=108°,BD=

6cm,BE=4cm.当按压柄△BCD按压到底时，8。转动到此时8O||EF（如图3）.求

点O到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）.（参考数据:sin36°«0.59,cos36°«

0.81,tan36°«0.73»sin72°«0.95,cos72°«0.31,tan72°«3.08)

图3

【变式10-3]（2022•江苏连云港•校考三模）桔椽俗称“吕杆”“称杆〃（如图1）,是我国古代

农用工具，始见于JT子・备城门》，是•种利用杠杆原理的取水机械.如图2所示的是桔标

示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，/1B是杠杆，且48=6米，。4。8=

2:1.当点八位于最高点时，/-AOM=127°.

⑴求点A位于最高点时到地面的距离；

⑵当点4从最高点逆时针旋转54.5。到达最低点A/时，求此时水桶B上升的高度.

（考数据：sin37°«0.6,sin17.5°«0.3,tan37°«0.8）

专题18解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）

【考点1锐角三角函数的定义】..................................................................1

【考点2锐角三角函数的增减性】................................................................2

【考点3同角三角函数的关系】..................................................................3

【考点4互余两角三角函数的关系】..............................................................3

【考点5特殊角的三角函数】....................................................................4

【考点6解直角三角形】........................................................................5

【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】...................................................7

【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】.....................................................9

【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】..................................................10

【考点10解直角三角形应用之其他问题】........................................................12

【要点1锐角三角函数】

在RfAABC中,ZC=90\则乙4的三角函数为

定义表达式取值范围关系

正弦4/A的对边0<sinA<1

sinA=—rm-----sinA=—

斜边c（ZA为锐角）sinA=cosB

余弦.4的邻边,b0<cosA<1cosA=sinB

8sA=——------cosA=—

斜边c（ZA为锐角）sin2A+cos2A=1

正切4乙4的对边tanA>0,1

tailA=------,,、,tan>4=—tanA=------

NA的邻边b（ZA为锐角）tanB

【考点1锐角三角函数的定义】

【例1】（2022•湖北荆州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,8分别在x轴

负半轴和y轴正半轴上，点C在。8上，OC-.BC=1:2,连接4C,过点。作。尸II48交AC

的延长线于P.若P（l,l）,则taM。4P的值是（）

A.—B.—C.-D.3

323

【答案】C

【分析】由P（l,l）可知，0尸与x轴的夹角为45。，又因为0PII4B,则△。力B为等腰直角形,

设。Ox,OB=2x,用勾股定理求其他线段进而求解.

【详解】•••P点坐标为（1,1）,

则0P与x轴正方向的夹角为45。，

又OP||AB,

则N840=45。，△04?为等腰直角形，

/.OA-OB>

设0C=x,则。8=20C=2i,

则OB=OA=3x,

tanz.OAP

OA3x3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解,

根据尸点坐标推出特殊角是解题的关键.

【变式1-1]（2022・上海•上海市进才中学校考一模）在RtZkABC中，ZC=90°,AB=5,

AC=4.下列四个选项，正确的是（）

3444

A.tanB=-B.sinB=-C.sinB=-D.cosB=-

4355

【答案】C

【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可.

【详解】解:如图,

・•・根据勾股定理得：BC=山一心=V52-42=3,

..0AC4.AC4DBC3

..tanu=—=->smB=-=COSD

BC3ABbAB5

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关

键.

【变式1・2】（2022•山东滨州•阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示，己知。0是△ABC

的外接圆，AD是。0的直径，连接CD,若AD=3,AC=2,贝ijcos。的值为（）

A

B

C

ZT>

A如B岩C.叵

AD-

-T2•3

【答案】B

【分析】由直径所对圆周角为直角，得出：乙4。。=90。,再由勾股定理求得CO的长，由cos。=

器即可求得结果.

【详解】解：,.YD是。。的直径,

4ACD=90°,

vAD=3,AC=2,

CD=V5,

••COSD=黑=*

故选：B.

【点睛】本题考查了圆中直径所对的圆周角是直角，勾股定理，灵活运用这些知识求锐角三

角函数是关键.

【变式1-3]（2022•四川宜宾•统考中考真题）如图,在矩形纸片ABC。中，48=5,BC=3,

将ABC。沿8。折叠至ibEE。位置，DE交AB于点F,则cos/力D"的值为（）

E

A.gD

17-

【答案】C

【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用"AAS〃证明A//。三AE尸8,得出力F=EF,

DF=BF,设力尸=E/=x,则8/=5—h根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出

x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可.

【详解】解：:四边形ABCO为矩形,

/.CD-AB^S,AB-BC3="=90°,

根据折叠可知，BE=BC=3,DE=DE=5,zf=zC=90°,

LA=LE=90°

/.在44尸。和△EFB中Z.AFD=乙EFB,

AD=BE=3

/.AAFD=AEFB(AAS).

/.AF=EF,DF=BF,

设力"二EF=x,则8F=5-%,

在RtABEF中，BF2=EF2+BE2,

即(5-X)2=4+32,

解得：x=l，则DF=BF=5—g=£,

cosZ-ADF=蔡=与=*故C正确.

故选：c.

【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数

的定义，根据题意证明A/1FO三AEF8,是解题的关键.

【考点2锐角三角函数的增减性】

【例2】(2022•上海静安统考一模)如果0。V4AV45。，那么sinA与cosA的差()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【答案】B

【分析】cos/!=sin(90o-z/l),再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可.

【详解】Vcos/l=sin(90o-zzl),正弦函数随着角的增大而增大，

/.当0。</A<45。时，45°<90°-/A<90。，

•••sinA<cos/4=sin(90°-Z.A),即sinA-cos4<0,

故选B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大.

【变式2-1](2022•上海校考模拟预测)如果锐角4的度数是25。，那么下列结论中正确的

是()

A.0<sin/l<-B.0<cosA<—

22

C.Y<tan/1<1D.1<MA<V3

【答案】A

【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大'解答即可.

【详解】解：•.•0。<25。<30°

/.0<sin25°<-

2

/.0<sinA<7.

故选A.

【点睛】本题主要考查了脱角三角形的增减性，当角度在0。~90。间变化时，①正弦值随着

角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或

增大）；③正切值随着隹度的增大（或减小）而增大（或减小）.

【变式2-2]（2022•甘肃张掖・统考模拟预测）若0。Va<90。，则下列说法不正确的是（）

A.sina随a的增大而增大B.cosa随a的减小而减小C.tana随a的增

大而增大D.0<sina<l

【答案】B

【分析】如图，作半径为1的。O,CD_LEF,CD,EF均为直径，BHLOC,AGLOC,48都

在。。上，利用锐角三角函数的定义分析可得答案.

【详解】解：如图，作半径为1的G）O,C。1EF,CD,E/均为直径，BH1OC,AG10C,

力,8都在。。上，

:.0A=OB=1,

由sin/J?O〃=翳=BII,s\n^AOG=^=AG,

显然，乙B0H<LA0G,而BHV力G,

所以当0。Va<90。时，sina随a的增大而增大，故A正确；

D

E

同理可得：

当0。<口<90。时，cosa随a的减小而增大，故B错误；

当0。<。<90。时，tana随a的增大而增大，故（:正确；

当a=4A0G,当点4逐渐向F移动，边4G逐渐接近。4,

sina=sin乙40G=”逐渐接近1.

OA

当0。<4<90。时,0<sina<l,故D正确；

故选B.

【点睛】本题考查的是锐育的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函

数的增减性是解题的关键.

【变式2-3](2022•浙江宁波・校联考一-模)sin70。，cos70。，tan70。的大小关系是()

A.tan700<cos700<sin70>B.cos700Vtan700<sin70°

C.sin70o<cos700<tan70°D.cos70o<sin70°<tan700

【答案】D

【分析】首先根据锐角三角函数的概念,知：sin70。和cos70。都小「l,tan70。大「1,故tan70。

最大;只需比较sin70°和cos70。，又cos700=sin20°,再根据正弦值随着角的增大而增大,进

行比较.

【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin7(TVl,cos7(TVl,tan7CT>l.

Xcos70°=sin20°,正弦值随着角的增大而增大，sin7CT>cos7(T=sin20。.

故选D.

【考点3同角三角函数的关系】

【例3】(2022春•湖南邵阳•九年级邵阳市第二中学校考自主招生)已知/〃为实数，且sina,

cosa是关于x的方程4A:?-mx十1=0的两根，贝ijsin4a十cos%的值为()

137

A.-B.-C.-D.1

848

【答案】C

1

sina•cosa=-

【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到｛M再将原式变形为sida+

sina+cosa=—

4

cos4a=(sin2a+cos2a尸-2sin2a•cos2。，再根据二倍角公式进行化简求值即可.

【详解】-sina,cosa是关于x的方程4/-mx+1=。的两根

.1

sina•cosa=-

二由一元二次方程根与系数的关系，可得｛北

sina+cosa=—

4

：•sin4a+cos4a=(sin2a+cos2a7-2sin2a•cos2a

=(sin2a+cos2a)2-2(sina-cosa)2

=l-2x(-)2=l-i=-

W88

故选：c.

【点睛】木题属于初升高题目，考查了二倍角公式的运用，一元二次方程根与系数的关系，

即如果方程a/+bx+c=0(aH0)的两个实数根是修,工2，那么％1+X2=-，*=?；

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二

次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

【变式3-1](2022・陕西西安•交大附中分校校考模拟预测)在R3ABC中，ZC=90°,若

sinA=g,则cosA=()

A.逗B.四C.叵D.在

3232

【答案】C

【分析】根据siMA+cos2A=1,进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：siMA+cos2A=1,

cos27l=1一：="

99

cosA==,

3

故选c.

【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系.解题的关键在于熟练掌握siMA+cos2A=1.

【变式3-2]（2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预则）已知tana=5,则

3sinacosa_

2sin2a+cos2a'

【答案】卷

【分析】由于tana=又上:5,贝Usina=5cosa,然后把sina=5cosa代入丁空空二-中利

cosa2sinza+cosza

用分式的性质计算即可.

【详解】解：vtana=^=5,

cosa

••­sina=5cosa,

...3sinacosa="'a=15cos2a=三，

2sin2a+cos2a50cos2a+cos2a51cos2a17

故答案是:青

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：解题的关键是掌握平方关系：sin2?l+cos2/l=1；

正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即

tan/1=■或sinA=tan力•cos/l.

cos/l

【变式3-3]（2022•湖北校联考一模）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：

⑴asin。+bcosd—c=0；⑵acos。-bsinO+d=0（其中。为任意锐角）,则a、b>c>d之

间的关系式是：

【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2e+cos26=l,即可找到这四个数的

关系.

【详解】由①得asinB+bcosB=c,

两边平方，a2sin2O+b2cos29+2absin0cosO=c2（3）,

由②得acos8-bsin9=-d»

两边平方，a?cos20+b?sin?0-2absin0cos0=d?（4）»

（3）+@Wa2（sin20+cos20）+b2（sin20+cos20）=c2+d2,

a2+b2=c2+d2.

【点睛】本题主要考查了同角二角函数基本关系式的应用，siMe+bcosS-l的应用是解题的

关键，属于基础题.

【考点4互余两角三角函数的关系】

【例4】（2022•福建南平统考二模）如图，将矩形A8CD放置在一组等距的平行线中，恰

好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1,若乙DCE=0,则矩形A8C。的

周长可表示为（）

A

CE

A-2岛+就）B.2岛+

【答案】B

【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段8C和CQ的表达式，进而求得矩

形的周长.

【详解】解：如图，过。作。凡LCE于点R过B作BG_LCE于点G,

•/Z.DFC=90°,Z.DCE=p,DF=2,

DC=M=告，

sin/?sin/?

,/矩形/WCQ,

乙BCD=90°,

乙BCG+乙DCF=90°,

•/乙BGC=90。,

/.乙GBC+乙BCG=90°,

•••乙BCG+乙DCF=90°,

乙DCF=Z-GBC=P，

,/Z.BGC=90°,乙GBC=B，BG=5,

/.8C=黑=告，

cos/?cos/?

•••DC二旦=二-,

sin/?sin/?

矩形A8CO的周长为2（BC+DC）=2（总+扁）

故选：B.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造宜角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的

表达式是解题关键.

【变式4-1］（2022•安徽宣城•校联考一模）在RS/WC中，ZC=90°,下列式子不一定成

立的是（）

A.sinA=sin8B.cos4=sin8

C.sinA=cosBD.sin（A+B）=sinC

【答案】A

【分析】根据锐角三角函数的定义依次分析各项即可.

【详解】如图，

A.sinA=-,sinB上,...当awb时,sinA/sinB，符合题意;

CC

B.,/cosA=psin8=/,JcosA=sin/3,不符合题意；

C./sinA=-,cosB=3「.sinA=cosB,不符合题意；

cc

D./ZA+ZB=ZC,.,.si