中级微观练习题及参考答案

第一部分消费者选择理论

1.有两种商品，X1和X2,价格分别为pl和P2,收入为人当凡之用时，政府加数量税t,画出预算集并写

出预算线

2.消费者消费两种商品(xl,x2),如果花同样多的钱可以买(4,6)或(12,2),写出预算线的表达式。

3.重新描述中国粮价改革

(1)假设没有任何市场干预，中国的粮价为每斤0。4元，每人收入为100元。把粮食消费品计为x,

在其它商品上的开支为y,写出预算线，并画图。

(2)假设每人得到30斤粮票，可以凭票以0。2元的价格买粮食，再写预算约束，画图。

(3)假设取消粮票，补贴每人6元钱，写预算约束并画图。

4.证两条无差异曲线不能相交

5.一元纸币(xl)和五元纸币(x2)的边际替代率是多少？

6.若商品1为中性商品，则它对商品2的边际替代率？

7.写出下列情形的效用函数，画出无差异曲线，并在给定价格(pi，P2)和收入(m)的情形下求最优解。

(I)X产一元纸币，X2=五元纸币。

(2)X产一杯咖啡，X2=一勺糖,消费者喜欢在每杯咖啡加两勺糖。

8.解最优选择

W(X,X)=X2-*4A

(1)I212

(2)u=&+x2

9.对下列效用函数推导对商品1的需求函数，反需求函数，恩格尔曲线；在图上大致画出价格提供曲线，

收入提供曲线；说明商品一是否正常品、劣质品、一般商品、吉芬商品，商品二与商品一是替代还是互补

关系。

(1)〃=2内+x2

(2)〃=min&,2/)

⑶〃=£北

(4)u=Inxl+x2,

10.当偏好为完全替代时，计算当价格变化时的收入效用和替代效用(注意分情况讨论)。

II.给定效用函数U,y)=xy,px=3,内=4,m=60,求当小降为3时价格变化引起的替代效应和收入效

应。

12.用显示偏好的弱公理说明为什么Slutsky替代效应为负。

13.设w=9元/小时，区=18小时，m=16元，"(R"')"cR

求I)R'=?"'=?£=?

2)M=12元，求R"和广

14.11=(C：,c、2)=C1-c2,叫=2000,m2=1000,两期的价格都是p=I,利息率r=10%。

1)求c'；C,有无储蓄？2)当，=20%时，求c'：，c；。

15.一个人只消费粮食，第一期他得到1(X)0斤，第二期得到150斤，第一期的粮食存到第二期将有25%

的损耗。他的效用函数为：〃(912)=4,。2

1)如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费°；=?，6=?

2)如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是p=l,利息率r=IO%,问最佳消费0；=?H；=?

16.有一•个永久债券(consol),每年支付5万，永久支付，利率为r,它在市场出售时价格应是多少？

17.假设你拥有一瓶红酒，第一年价格为15元/瓶，第二年为25元/瓶，第三年为26元/瓶，第四年每瓶价

格低于26元，设利息率为5%,你会何时卖掉你的红酒？

18.课本pl73第四题(reviewquestions)。

19.一人具有期望效用函数，其对财富的效用为〃(。)=瓜。他的初始财富为35,000元，假如发生火灾则

损失10.000元，失火的概率为1%,火险的保费率为1.1%。问他买多少钱的保险(K=?),在两种状态下

的财富各为多少？

20.一人具有期望效用函数，其对财富的效用为〃(c)=6。他的初始财富为10,000元，有人邀请他参

加赌博，输赢的概率各为1/2。问以下情况下他是否同意参加？赢时净挣多少时愿意参加？

(1)赢时净挣10,000,输时丢10,000

(2)赢时净挣20,000,输时丢10,000

21.某消费者的效用函数为u(x,y)=xxy,x和y的价格都是1,他的收入为20()。当x的价格涨至2元

时，计算消费者剩余的变化、补偿变换和等价变换。

22.证明当效用函数为拟线形时，消费者剩余的变化、补偿变换、等价变换都相等。

第二部分生产者理论

23.给定以下生产函数，求证是否边际产量递减，技术替代率递减，规模报酬递增或递减。

23

⑴一=再4月

(2)y

24.给定生产函数/但"2)"才2只'2,已知〃，%•%,则

1)当尺=2时，求使利润最大化的X：2)当4/都可变时，求使利润最大化的大：，龙；

25.给定生产函数/(2，々)=11只'4,〃=4,%=卬2=1,求使利润最大化的］，芯

26.求条件要素需求和成本函数

⑴y=nin(jr,,2X2)

(2)丁"+2小

⑶V="I"，%2

27.对于生产函数)，=%”乃，资本的租赁价格为1元，劳动的工资为1元，固定投入为1000元。

1)写出成本曲线

2)if©AC,AVC,AFC,MC

3)计算minAC和minAVC时的AC,AVC,y,

28.对以下成本函数求供给曲线

(1)C(y)=/-8/+30y+5

⑵C(y)=yJ8y2+3°y+5,c(o)=o

第三部分市场结构理论

29.消费者对商品x和在其它商品上的开支y的效用函数为

.\12

^(^y)=x--x

1)市场上有完全同样的消费者1(X)人，写出市场需求函数。

2)该如何定价使销售收入最大？此时价格弹性是多少？

30.证明所有消费品的收入弹性的加权平均为I,权重为每个消费品的开支比例。

31,给定需求和供给函数：D(p)=1000-60p.S(p)=40p

1)求均衡p,q

2)当加数量税$5时，求新的均衡价格和数量。

2)当市场上有2个企业时，求Cournot均衡的价格和产量。

3)求Cartel均衡时的价格和产量，并说明违约动机。

4)求Stackelberg均衡时各个企业的产量和市场价格。

第四部分对策论(博弈论)

39.给定如下支付矩阵

PlayerB

LR

(a,b)(c,d)

(e,D(g，h)

(I).如(T,L)是超优策略，则a-h间应满足什么关系？

(2)如(T,L)是纳什策略，则a-h间应满足什么关系？

(3)如(T,L)和(B,R)都是纳什策略，则a-h间应满足什么关系？

40.在足球射门的例子中，混合策略是什么？个人的支付(payoff)为多少？

第五部分一般均衡理论

41.在一个纯粹交换的完全竞争的市场上有两个消费者，A和B,两种商品，X和Y。交换初始，A拥有3

个单位的X,2个Y,B有1个X和6个Y。他们的效用函数分别为：U(XA,YA)=XAYA,U(XB,YB)=XBYB.

求

(I)市场竞争均衡的(相对)价格和各人的消费量。

(2)表示帕累托最优分配的契约线的表达式。

42.其它条件相同，如果A的效用函数为U(XA,YA尸XA+YA，求一般均衡价格和契约线。

43.其它条件相同，如果A的效用函数为U(XA,YA)=Min(XA,YA),求一般均衡价格和契约线。

44.罗宾逊靠捕鱼为生，他的生产函数为尸=JZ,其中F是鱼的个数，L是工作时间。他一天有10小时

用于工作或者游泳。他对于鱼和游泳的效用函数为U(F,S)=FS,其中S是游泳时闫。问

(1)最佳捕鱼量是多少，工作多少小时？

(2)有一天他自己玩家家，假装成立了一个追求利润最大化的企业来生产鱼，雇佣自己的劳动，

然后再用工资从该企业买鱼，该市场被设为竞争型市场。问(相对)均衡价格是多少？此价格下的生

产(消费)和工作量是多少？

45.罗宾逊每小时可以抓4条鱼(F),或者摘2个椰子(C),他一天工作8小时。礼拜五每小时可以抓1

条鱼，或者摘2个椰子，一天也工作8小时。罗宾逊和礼拜五的效用函数都可以表示为U(F,C)=FCo

(1)如果两人完全自己自足，各人的消费为多少？

(2)如果两人进行贸易，各人的生产和消费为多少，交易价格是什么？

第六部分公共品、外部性和信息

46.养蜂人的成本函数为：果园的成本函数为C-A)=A2/100-H。蜂蜜和苹果各

自在完全竞争的市场上出售，蜂蜜的价格是2,苹果的价格是3。

a.如果养蜂和果园独立经营，各自生产多少？

b.如果合并，生产多少？

c.社会最优的蜂蜜产量是多少？如果两个厂家不合并，那么如何补贴(数量补贴)养蜂人才

能使其生产社会最优的产量？

47.一条捕龙虾船每月的经营成本为2000元，设x为船的数量，每月总产量为f(x)=1000(10x-x2).

d.如果自由捕捞，将有多少只船？

e.最佳(总利润最大)的船只数量是多少？

f.如何对每条船征税使船只数量为最佳？

48.一条马路旁住了10户人家，每户的效用函数都可以表示为:U(x,y)=lnx+y,其中x代表路灯的数量,y

代表在其它商品上的开支.修路灯的成本函数为c(x)=2x.求社会最优的路灯数量

答案第一部分消费者理论

1.当为之用时、加数量税3画出预算集并写出预算线

预算集:〃内+〃2)2«根........(再《无)

(P1+t)x]+p2X2<HI+tx]..........(X]>X])

过程:

PP+A_P人P]+0+P2X2=m

化简，即可得到上式

2.如果同样多的钱可以买(4,6)或(12,2),写出预算线。

p[再+

p2x2<in4〃1+6〃2="212p(+2p2=m

]八=-,/«=8

不妨假设“2=1,则可解得：2

-x,=8

预算线为2

3.(l)0.4x+y=100(图中的黑色线段)

0.2x+y=100...........if..x<30皿

(2),\(图中的蓝色线段)

0.4x4-y=106..........if..x>3()

（3）0.4x+y=106（图中的红色线段，一部分与蓝色线段重合）

4.证明：设两条无差异曲线对应的效用分别为“卜〃2,由曲线的单调性假设，若％="2,则实为一条曲线。若

%"%,假设两曲线相交，设交点为X,则〃（劝二%，〃。）二〃2,可推出小二〃2,存在矛盾，不可能相交。

5.-5（把一元纸币放在纵轴上）或者-1/5（把一元纸币放在横轴上），

6.中性商品是指消费者不关心它的多少有无的商品

商品2如果也是中性商品那么该题就无所谓无差异曲线，也无所谓边际替代率了.

商品2如果不是中性商品：

边际替代率是0（把中性商品放在横轴上）或者8（把中性商品放在纵轴上）

7.（1）x1isindefinitelythesubstitutionofx2,andfiveunitsofxlcanbringthesameutilityasthat

oneunitofx2cando.Withthemostsimpleformoftheutilityfunction,=%+5/,andassume

thatthepricesofthosetwogoodsareplandp2respectivelyandthetotalwealthoftheconsumer

ism,theproblemcanbewrittenas

maxw（xpx2）

s/.P]X+p[x2<m

©Because5pl=p2,anybundlex2）whichsatisfiesthebudgetconstraint,isthesolutionofsuch

problem.

(2)Acupofcoffeeisabsolutelythecomplementoftwospoonsofsugar.Letxlandx2representthese

mil%,gw}

twokindsofgoods,thenwecanwritetheutilityfunctionas”(％,&)=

Theproblemoftheconsumeris

maxz/(XpX2)

s/.pdi+p,x2<m

Anysolutionshouldsatisfiestherulethat内=；x),andthebudgetconstraint.Soreplacexlwith

m2in

(1/2)(x2)inthebudgetconstraintandwecangetx]--------,andX-,=--------

Pi+2P?-p.+2p2

8.(1)BecausethepreferenceisCobb-Douglasutility,wecansimplifythecomputationbytheformula

thatthestandardizedparameterofonecommoditymeansitsshareoftotalexpenditure.

Sodirectly,theansweris$=—22Az，zx,=’t上n.(详细方法见8(2))

3Pl-3Pl

.(2)库恩-塔克定理。

Maxf(x)

s.tgj(x)<0(i=l...n)

定义：L=/(x)+Z4g/(x)

最优性条件为：

F.O.C；■»邈凶_0；

Xk1/

gi(x)<o；

4wo；

互补松弛条件：4g(x)=o；如果4=o,则生<0。如果(),则舄=0。

例

Maxw(x,y)=6+x2

s.tp内+p2x2<m

A)>0,x2>0.

▲=JX+/+4(〃2—P内—〃29)+4玉+4%(注意这里的预算条件与定理的符号相反，从而下面有4之0)

F.o.c—%)2_4巧+4=0①

1一4〃2+4=o@

>0,x>0@

Pi%+p2x2<m,x]2

420,420,420

互补松弛条件：4("L〃内一〃2X2)=。④

4%=0⑤

'炉2=。©

由②知：4=X),所以由④知：

1*.pixi+p2x2=tn⑦

Pi

〃2

I.如果4>o,则超=。，所以由⑦有x,=—>0,从而2,=0

P\

再由①有^=-\—

21mpJ

由②4=4"2_]=%="'——-1

21〃?〃"

2

1-1>0n〃?<2

4必须满足4>0，所以，P2

2”>4Pl

所以当〃水正时，

x,=—=0

x2

4PiP\

iio23=O,则占>0,由①知玉wo,所以2,=o,由因为4=o,所以由②知4二」-,代入①得，%二」、，

“24p「

^2=—一"-,因为工2>0，所以色--->0=>m>—

4四~4必

Pip24Pl

所以，当加〉旦时，解为：x=4，乂=2-&

4Pl4p:-4Pl

p2

大家也可以通过预算约束把.”表示成々二会-骨’然后代入到效用函数中讨论其极值。

max{2^十%}

9.⑴

s.tPR+p2x2=m

m

ifPi<2P2

Pi

商品一的需求函数为：％=[0-色]

ifPI=2〃2

Pi

0ifPi>2P2

右图中，红色线为价格提供曲线.

%的收入提供曲线，当P,<2P2时,是横轴

当PI=2〃2时，是整个第一像限

当Pl>2〃2时,是纵轴

mm

2P2

反需求函数是:P[=，2P2ifX[e((),4]

2P2

[2p2,+oo)ifXy=0

恩格尔曲线:如果Pi<2p,那么恩格尔曲线是:为二%

Pi

如果Pi=2〃2那么恩格尔曲线是一个柱面:凡G（0,—],V/H

2P2

如果Pi<2外那么恩格尔曲线是：％=0,\/m

xl是正常品（normal,相对于劣等品而言），是一般商品（ordinary,相对于Giffen品而言）

x2是替代品（其实是完全替代品）

max{min(xr2x2))

⑵

sr.pM]+p2x2=m

XI需求函数:M=2，U其中〃1〃2，〃7是自变量

2〃]+P2

X1的反需求函数是:Pi='一匹ifx}<—

玉2p2

xl的恩格尔曲线:％=2m其中g是自变量,/不/马

2四十p2

是参数.

右上图中红色线（占二〈迎）是价格提供曲线

2〃2

右下图中绿线是收入提供曲线.％=g芭

XI是normalgood,ordinarygood,andsupplementarygood

forx2.

max{gg}

st..

（求最大化的过程同第8题，这里从略）

xl的需求函数:玉=（其中机为自变量），反需求函数:=am

m+z?）P]・।

恩格尔曲线:％=°〃：（其中m为自变量）、

(a+b)pi

右图中，红线为pl价格提供曲线,（占=bl[）/

（。十份〃2

兰线为收入提供曲线（注意，这里收入提供曲线是直线）

xl是normalgood,ordinarygood,和x2没有总替代或互补关系.

max{In芯+x2}

最大化求解过程同第8题，这里略去.

XI的需求函数:当"?>〃2时，xl的需求函数是：X[=—；当〃〃2时,xl的需求函数是=生

XI的反需求函数:当〃?〉P2X1的反需求函数是:四=乙；当时,xl的反需求函数是:Pl='

Pl

ifm>p2

恩格尔曲线Pl

m

ifmWp?

A

右图中，红线为m>l时的pl价格提供曲线（x2=m-l）;

绿线为m<l时的pl价格提供曲线（x2=0）（假设p2=l）

蓝线为收入提供曲线

10.Inthisproblem,wefocusontheSlutskysubstitutionefTectonly.

Supposetheutilityfunctionis,x2)=x+ax2,a>0.initiallythepricesofthecommodiliesarepJandp2,

respectively,and(hewealthoftheconsumer,in.

First,

,/、

p.1in_

assume——<—,soihaiiheinitialconsumpiionbundleis——，0.Then(hepricesvary.Wiihouilossofgenerality,

P2a[Pi,

assumethepriceofcommodity1variesfrom/?(to

Case1.

，1(机、

—<—,sothatthefinalconsumptionbundleis—,0.

P2。l/V

Sinceunderthefinalprices,giventhattheinitialbundleisjustaffordable,theconsumerpicksexactlytheinitialbundleas

fYim

well,sothattheownpricesubstitutioneffectforcommodity1iszero.Andtheincomeeffectis-----------,whichis

P：P\

positiveifthepriceofcommodity1becomesless,viceversa.

Case2.

=niisprobablyselected.Supposethatfinally(hebundle(耳,弓)is

—=—,sothatanybundlesatisfying+p^x2

P2a

chosenbytheconsumer.Underthefinalprices,andgiventheinitialbundlecanbejustaffordable,therearcalso

infinitebundleswhichmaybeselected.Assumenow,theconsumerpicks(x/,j

.Thenthesubstitutioneffectfor

fJl_

commodity1isx[------,andtheincomeeffectis耳一工

P^

Case3.

I./c"m2

—,sothatthefinalbundlechosenbytheconsumeris0,—Since,underthenewprices,theinitialbundleis

PiaVPl)

alsoexactlyaffordable,thebundlepickedbytheconsumeris0,.So,thesubstitutioneffectforcommodity1

[PR)

is--,andCheincomeeffectforcommodity1iszero.

Pi

p.1.m

Now,assumeinitially>,so(hattheinitialbundleis0,,thenthepriceofcommodityIbecomesp：.

PiakPl)

Analogously,thefollowingshold:

Case4.

m_m

If4-<—,thefinalbundleis—,().And(hesubstitutioneffectforcommodityIis——，andtheincomeeffectis

PiaIAP：

zero.

Case5.

•।

If—,andassumethefinalbundleselectedbytheconsumeris(,thensubstitutioneffectforcommodity1

is耳，andtheincomeeffectiszero.

Case6.

p'1.....

If—>—.thefinalbundleisthentheinitialbundle.Thenboththesubstitutioneffectandincomeeffectforcommodity

Pi〃

Iarezero.

Andthensupposeinitially-=—,thenanybundlesatisfyingp内+p2x^=tnisprobablysclccxd,assume

a

P2

that(%,员)isinitiallychosen.

Case7.

pl1m_”为+必占元,Plx.

If—<—,thenthefinalbundleis—,().ThesubstitutioneffecttorcommodityIis

Pia(P：JP:P:

...g.rnp,元

andtheincomeeffectis---------

P；P：

Andnote,il'simpossible(hat-=—.Otherwisethepriceofcommodity1doesn'tvaryatall.

P2a

Case8.1f"->一,thenthefinalbundleis0,—.Underthefinalprices,iftheinitialbundleisjustaffordable,the

PiaIPi)

/__\

Pi%+

consumershallselectthebundleA0,-----------=—,sothesubstitutioneffectforcommodity1is一吊，andthe

Pi7

incomeeffectiszero.(End)

m30)um30

11.Itiseasytofindtheinitialconsumptionofyis------=—=7.5,thefinaloneis—=1(),andthebundle

2p、,43

chosenifonefacesthebudgetlinewiththesameslopeofthefinalbudgetlineandthroughtheinitialconsumption

bundle,whichis…屋2=8.75.

2%3

Sothesubstituteeffectis8.75-7.5=1.25,andtheincomeeffectis10-8.75=1.25.(End)

12.Forexample,thepriceofcommodity1decreaseswith(hepriceofcommodity2fixed,wecandrawalinewithihe

sameslopeofthenewbudgetlinethroughtheinitialconsumptionbundle.Anditiseasytofindthatanybundleslyingon

theleftsideofthenewlinearelessthantheinitialconsumptionofK!andviceversa.Ifthesubstituteeffectsarepositive,

wewillfindthatthenewoptimalpointlyingontheleftside,thustheWARPisviolated.Wecandrawaconclusionthat

WARPsupportsthenegativesubstituteeffect(thelawofdemand).(End)

13.Theproblemoftheconsumeris

max〃(R,c)=cR

sl.wR+c=wR+m

liIfw=9,R=18,m=16.setuptheLagrangefunctionas

L=oR+4(/〃+wR-wR-c)=+X(178—9R—c)

f.o.c./?=2,c=92,9R+c=178

89-

ThenR"=-9

3'

2)If卬=12,thentheLagrangefunctionis

L=cR+^ni+^R-\VR-c)=cR+A,(232-nR-c)

f.o.c.R=A,c=122,\2R+c=232

ThenR=",£=—,c=116

33

(End)

maxu-c£

14.⑴c

s.t.c.+—2—=m.+——

1+rl+r

L=GG+〃班+L--G—

I4-r14-r

,°a

j.o.c.c,=4,G=----

1+r

c；=1454.5,<=1600,5*=//?,-c；=2000-1454.5=545.5,

(2)Similarly,wecangel

<=1416.7,<=1700

maxu=c,c2

15.(1)maxcm,

s.t.c.+—2—=m.+——

l+rl+r

L=eg,+%(，〃]+-q———)

l+rl+r

2

f.o.c,c2=2,C|=

1+r

<=600,<=450

maxu=GC,

⑵sj."上

=m.+——

l+r1l+r

,o.nuc2.

L=cj+X(町+——一q----)

l+r1+r

/.o.c.c)=/t,q=----

1+厂

<=568.2,<=625.

16.有一个永久债券(consol)，每年支付5万，永久支付，利率为r,它在市场出售时价格应是多少？

Solution：First,theinterestratehereshouldbetakenasnetinterestrate.Weassumethatthe50thousandsyuanisgoingto

bepaidattheendofeachyearfromnowon。

Accordingtothedefinitionofpresentvalue：

855

PresentValue=V——:——「=-

(End)

17.答：计算储存这瓶红酒在各年的回报率：《=2」1=0.667,八=老二^=0.04,q=二岂<0»<26。

15225325

因为利息率i=5%>r2,所以应在第二年初卖掉这瓶红酒。

18.课本第四题(reviewquestions)o

40

答：PV=—1s15.42。

二兀二兀

yMU(ca)E和预算约束人=竺一匹-一乙1。可得

19.已知最优条件

1一7—(I一幻日1-71-/

二川一-)

代入预算约束，解出%=(团-々)。?)4，-28832.06

34957.38。

3(1一疔/+7(1-7)(1-乃)2

20.答：(I)参加赌博的预期效用是：EU}=l/2-V20000+l/2-^=100>/2/2,不参加赌博的效用是10(),

较大。所以，此时不参加赌博。

(2)参加赌博的预期效用是：石4=1/2力30000+1/2-8=100百/2,不参加赌博的效用是100,较大。

所以仍不参加赌博。

设EU=1/2•J1(XX)O+x+l/2-C=l(X)=U(l00()0),得到x=30000。所以，赢时净挣30000时愿意参加？

21.:Cohb-Douglas效用函数下x,y的需求函数是:

MPx，Pv，加)=—)'(Pi，Pv，'")=~—

2Px2p,

x,卜价格是1,收入为200时：

Ml,1,200)=-^=100,y(l,1,200)=-^=100,

消费者的效用w0=w(I00J00)=10,000

x的价格涨至2时：

M2,1,200)=竿=50,y(2,l,200)=竽=100

消费者的效用％="(50,100)=5,000

x的价格从I涨至2时，消费者剩余的变化(Thelostconsumersurplus)是：

ACS=jx(p,l,200)班=班=1001n2k69.3

iiP

用C表示补偿变化(Compensatingvariation)有:

以%(21，m+C),><2,1,zw+C)]=〃()

2004-C200+C

=100,000

42

C=200(72-1)«82.8

用E表示等价变化(Equivalentvariation)有:

w[x(l,l,200-E),)，(1,1,200-£)J=%

200-E200-E

or-------•-=--5-,-0-0-0

22

E=100(2-72)®58.6

22.Proof：拟线性的效用可以表示成：〃(x,)，)=u(x)+y

在预算约束PH+y=〃？(把y的价格标准化为1)下，假设内点解，x的反需求函数是：Px=/(x),由此可见,

x的需求与收入无关，在〉，的价格不变时有：x(凡,l,m)=x(pl，

y的需求等于：y=m-pxx(px)

这时消费者的效用水平：〃=心(2)]+加一PE(Px)

设x的价格从P,变化到〃；，则消费者剩余变化(Thelostconsumersurplus)是:

X(Px)X(P；)

ACS=[JMx)公一一[Jv\x)djc-pxx(px)]

00

={vfx(px)]+m-P.HpJ}-{vfx(p；)]+rn-p/(p)}

=w-w'

设补偿变化为C有:

心(p；,1,m+C),y(px/,m+C)]=u

orvfx(p；)]+/〃+C-〃；/(p；)=w

/.C=u-{v[x(px)]+m-pxx(px)=u-u'

设等价变化为E有：

u[x(pxXm-E),y(Pr，1,m-E)]=u'

orv(x(pxy]+m-E-p/(px)=u'

E=(v[x(px)]+pxx(px)]-u'=u-u

对比可见对于拟线性的效用函数ACS=C=E

第二部分生产者理论

23.

1）9X1,X2的边际产出分别为:

故Y对XI,X2的边际产出递减

边际技术替代率为：

mpo

mrtsiA=--2=-3广

出PIX2

易知,边际技术替代率递减

31_3_

4444

V'=)(kx2)=kxlx2=kyconstantreturntoscale

2)

对于XI,X说际替瞥为、

^=—（k+稽）*0短:+4）。

p

■）1-112

等二（p—i）x+2（¥+xf）‘+Q—p”；Q2（¥+以产

1-2

-一（1一0）工厂2（町+^）°片V0

iL-i->-i

物2=一（¥+耳）"外广二寸（¥+工疗

p

咨=（2-1）吠2（邛+#+（>小尹（呼+哂尸

=-（1-p）才2（才+野了0Vo

边际技术替代率为:

,mp..Xj-

加4s2,1h—21=(-4xl

mp\士

即.-蛆1=(三产

,叩2%

易知边际技术替代率递减

y'=[(底+(g)勺"=k(x：+x^y=kyconstantreturntoscale

24.

£

1)当工2=16,/(、豆)=4x；

利润最大化问题为：

%(X])=4-X]W]-16w2

_L*4„2

2

f.o.cn2px1-w1=0K]=—

叼

2)当项，七都可变时,利润最大化问题为：

££

7F(X1,X2)=pX^X^--W2X2

1*19

fee：白豆)彳-%20=(与)八旦(1)

2再Xp

与(五6-必之0=区«之四(2)

2x2x2p

w

1.若为内点解，则(1),(2坪等号可得p=2s^7,乌i

W2

水七;6)=0(寸>(也0-V«i一股型M"=2四区

.,.%«,.$)=—Mt-.xfiij=o

2.因为我们知道一阶条件的严格不等号成立时,XI,X2M优解

都为正不穷.假设条件(1)等号成立,而条件(2)不等号成立：

,x2x2”1一*4w?・/■,、

(—!r-)2=--------=>X2=------r—X1(3)

X1P

*4w?

x.>------T2—x(4)

X2P

(3),(4)=p>27"1W

把(3)代入目标函数得：

»区,%2）=一看叫一吗巧=8?（手百户一看吗一吗乎看

二外叫一典"演二不叫（1一士竽），:P>2,嗯叫

PP

：.X；=+°°,%；=+<2乃*=F0

3.若p<2J藐则由目标函数

1J___________

"G1，赴）=〃彳入9一%叫一乂3电a2jx叫崂9一M叫一11'2、2

•・,%叫+叫斗之

"（.%电）4°，

》（.七,.x）=0

if$=x2=Qtlien2

25.

解:利润最大化问题为

i_\_

max^(x1,x2)=4x^2一占一%