均值不等式及其应用

2.2.4均值不等式及其应用要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？引入新课新知讲解如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：定理：如果a,b∈R+，那么

（当且仅当a=b时，式中等号成立）证明：∵∴即：当且仅当a=b时均值定理：注意：1．适用的范围：a,b

为非负数.

2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称为a，b的算术平均数，3.我们把不等式(a≥0,b≥0)称为基本不等式称的几何平均数。为a，b[答案]

C预习成果展示[答案]

D3．不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是(

)A．a＝±2

B．a＝2C．a＝－2

D．a＝4[答案]

B[解析]

因为a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a＝2.探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。ABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²

∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·ABAOCBD课堂探究

D

Ｅ

AOCB

AOCB从而：典型例(习)题题型一利用基本不等式求最值或取值范围1.基础过关:4一正、二定、三相等典型例(习)题题型一利用基本不等式求最值或取值范围1.基础过关:44一正、二定、三相等典型例(习)题题型一利用基本不等式求最值或取值范围1.基础过关:44一正、二定、三相等-2典型例(习)题题型一利用基本不等式求最值或取值范围1.基础过关:44一正、二定、三相等-2典型例(习)题题型一利用基本不等式求最值或取值范围1.基础过关:4一正、二定、三相等4-222.能力检测:题型一利用基本不等式求最值或取值范围如何创设应用基本不等式求最值的条件？合理地“拆分项、换元”等配凑方法是常用的手段，而凑、换的目标在于出现积（和）为定值，且每项均为正的，等号也成立。一正、二定、三相等典型例(习)题09江苏17（2）、随堂练习1、作业5、8.3.综合应用:题型一利用基本不等式求最值或取值范围提醒：当两次使用基本不等式时，注意等号是否可以同时取到。二元的最值→消元→一元最值来解决.3.综合应用:题型一利用基本不等式求最值或取值范围反思：研究函数最值的处理思路是：（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单调性求解。三．小结1.利用基本不等式来求最值或取值范围时，注意：一“正”，二“定”，三“相等”这三个条件缺一不可．2.利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。3。形如这类函数，当不能利用基本不等式求最值时，可以借助函数单调性求解。一般地，研究二元式子的最值问题，通过消元转化为一元函数再求最值是一种常用的方法。1.若实数a，b满足ab-4a-b+1=0(a>1)，求（a+1)(b+2)的最小值.2.(08江苏）设x,y,z为正实数，满足x-2y+3z=0，求的最小值.例5.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米。（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围；（2）问框架的横边长x为多少时用料最省？xy实际问题

数学问题