平面向量的数量积（1）课件-高一下学期数学人教A版

6.2.4平面向量的数量积（1）盛琪第六章

平面向量及其应用2025/4/5引

入实数加法减法向量加法减法数乘向量＋向量=向量向量－向量=向量实数×向量=向量向量与向量能否相乘？乘法线性运算类比类比类比类比问题1前面我们学习了向量的加法、减法运算.类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？引

入问题2回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？物理模型性质运算律应用路径：概念向量的加法位移合成力的合成向量的数量积?引

入问题3①在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功

，其中θ是F与s的夹角．功是一个_____，它由力和位移两个向量来确定.问题3②功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量确定？

这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.标量探究新知问题4如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念.探究新知1.向量的夹角已知两个非零向量

，O是平面上的任意一点，作

则∠AOB＝θ(

)叫做向量

的夹角．OABθ显然，当θ=0时，同向.当时，垂直，记作.当θ=π时，反向.记作:<

>θ∈[0，π]范围：0≤θ≤π课堂练习50°ABC45°85°1.在△ABC中，已知A=45°，B=50°，C=85°，求下列向量的夹角：

(1)45°130°85°45°130°85°(2)(3)问题5两个向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？向量

与

之间的夹角θ的取值范围是[0,π],注意:必须共起点.两直线夹角的范围

是不一样的(向量有方向).可以平移实现.探究新知2.平面向量数量积的定义

已知非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量叫作

与的数量积（或内积），记作，即规定规定：零向量与任意向量的数量积为0，即

向量的数量积是一个数量②一种新的运算.①“·”不能省略不写，也不能写成“×”.③数量积a·b的结果为实数，不是向量.（数量积运算是非线性运算）注意:例题讲解例1

已知解：例2

解：

由

，得∵

∴

.知三求一课堂练习BCC>4.已知|a|=6，|b|=8,a与b平行，求a•b.探究新知问题6向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？0°≤θ＜90°

=90°

④两个非零向量的数量积，符号由夹角θ决定：注意:当a·b=0时，夹角θ_______.当a·b>0时，夹角θ范围是_______________；当

a·b<0时，夹角θ范围是_______________;90°＜θ≤180°

?

是非零向量

⑤探究新知3.投影向量设

是两个非零向量，

，过

的起点A和终点B，分别作

所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到

，我们称这种变换为向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．

我们可以在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量探究新知问题7如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，那么

与，，θ之间有怎样的关系？

显然与

共线，于是所以当θ为直角时，λ=0，所以当θ为锐角时，与

方向相同，探究新知所以当θ为钝角时，与

方向相反，当θ=0时，λ=，所以当θ=

时，λ=，所以综上可知，对任意的都有:例题讲解例题讲解例5

课堂练习【练习】1．已知a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于____．2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为

.3．已知e为单位向量，|a|=4，a与e夹角为120°，则a在e方向上的投影向量为

．探究新知4.数量积的性质(3)当

与

同向时，

；当

与

反向时，

．

特别地，

或

．（由|cosθ|≤1得到）设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

aa常记为a可用于求向量的模.(5)cosθ=

.实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.课堂小结1.知识点：(1)向量的夹角.(2)向量数量积的定义.(3)投影向量.(4)向量数量积的性质.2.方法归纳：数形结合.3.易错点：向量夹角共起点；