5道微分方程计算练习题及答案B9

5道微分方程计算练习题及答案1.求微分方程(32x2+23y2)dx-47xydy=0的通解主要内容：本题主要通过微分方程的齐次方程通解计算方法，以及换元、分离变量等知识，介绍计算微分方程(32x2+23y2)dx-47xydy=0的通解步骤。主要步骤：解：对微分方程进行变形，同时除以xy有：(32*eq\f(x,y)+23*eq\f(y,x))-47dy=0，设eq\f(y,x)=u,则y=xu，求导有：dy=udx+xdu，代入方程有：(eq\f(32,u)+23u)dx-47dy=0，(eq\f(32,u)+23u)dx-47(udx+xdu)=0,(eq\f(32,u)-24u)dx=47xdu,进一步对上述方程变形有：eq\f(47udu,24u2-32)=-eq\f(dx,x),两边同时积分有：eq\f(1,2)eq\i(,,\f(47du2,(24u2-32)))=-eq\i(,,\f(dx,x)),eq\f(47,48)eq\i(,,\f(d(24u2-32),(24u2-32)))=-ln|x|+C1,eq\f(47,48)ln(24u2-32)+ln|x|=C1,根据对数知识，上述函数化简为：x48*(24u2-32)47=C,再将u=eq\f(y,x)代入有：(24y2-32x2)47=Cx46,即为本题微分方程的通解。2.已知曲线y=f(x)上任意一点处切线的斜率为10x+2y,且曲线过原点求函数y。解：根据导数的几何意义有：y'=10x+2y,即：y'-2y=10x,利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式得：y=eqe\s\up12(\i(,,2)dx)(eq\i(,,10xeqe\s\up12(\i(,,-2)dx))dx+C),=eqe\s\up10(2x)(10eq\i(,,xeqe\s\up10(-2x))dx+C),=eqe\s\up10(2x)[-5eq\i(,,xeqe\s\up10(-2x))d(-2x)+C],=eqe\s\up10(2x)(-5xeqe\s\up10(-2x)+5eq\i(,,eqe\s\up10(-2x))dx+C),=eqe\s\up10(2x)[-5xeqe\s\up10(-2x)-EQ\f(5,2)eq\i(,,eqe\s\up10(-2x))d(-2x)+C],=eqe\s\up10(2x)(-5xeqe\s\up10(-2x)-EQ\f(5,2)eqe\s\up10(-2x)+C),由于曲线经过原点，则x=0时，y=0，代入得：y=0=1*(0-EQ\f(5,2)+C)，即C=EQ\f(5,2)。所以函数y的特解为：y=eqe\s\up10(2x)(-5xeqe\s\up10(-2x)-EQ\f(5,2)eqe\s\up10(-2x)+EQ\f(5,2))=-5x-EQ\f(5,2)+EQ\f(5,2)eqe\s\up10(2x)。3.微分方程y'=eq\f(5x-16y,16x+7y)的通解计算步骤主要内容：本文通过换元法，介绍计算微分方程y'=eq\f(5x-16y,16x+7y)的通解的计算过程。主要过程：根据题意有：eq\f(dy,dx)=eq\f(5x-16y,16x+7y)，eq\f(dy,dx)=eq\f(5-16*eq\f(y,x),16+7*eq\f(y,x)).设eq\f(y,x)=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：eq\f(dy,dx)=u+xeq\f(du,dx)，代入微分方程有：u+xeq\f(du,dx)=eq\f(5-16u,16+7u),xeq\f(du,dx)=eq\f(5-16u,16+7u)-u,微分方程右边通分得到：xeq\f(du,dx)=eq\f((5-16u)-u(16-7u),16+7u)，xeq\f(du,dx)=-eq\f(7u2+32u-5,16+7u)，eq\f((7u+16)du,7u2+32u-5)=-eq\f(dx,x),两边同时取积分得：eq\i(,,eq\f((7u+16)du,7u2+32u-5))=-eq\i(,,eq\f(dx,x)),eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f((2u+32)du,7u2+32u-5))=-eq\i(,,eq\f(dx,x))，eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f(d(7u2+32u-5),7u2+32u-5))=-ln|x|，eq\f(1,2)ln|7u2+32u-5|+ln|x|=c1，xeq\r(7u2+32u-5)=ec1，x2(7u2+32u-5)=C，将u=eq\f(y,x)代入方程得微分方程的通解为：x2[7(eq\f(y,x))2+32eq\f(y,x)-5]=C,7y2+32xy-5x2=C。4.计算微分方程y'=eq\f(48y,16x-23y2)的通解主要内容：根据一阶线性非齐次微分方程的通解计算公式，介绍微分方程y'=eq\f(48y,16x-23y2)的通解的主要计算步骤。主要步骤：变形微分方程为非齐次方程如下：eq\f(dx,dy)=eq\f(16x-23y2,48y),化简变形如下：eq\f(dx,dy)-eq\f(25x,3y)=-eq\f(23y,48),以x应用一阶线性非齐次微分方程的通解，用公式如下：x=eqe\s\up15(\i(,,\f(25,3y)dy))(eq\i(,,-eq\f(23y,48)eqe\s\up15(\i(,,-\f(25,3y)dy))dy)+C)=eqe\s\up15(\f(25,3)\i(,,\f(dy,y)))(eq\i(,,-eq\f(23y,48)eqe\s\up15(-\f(25,3)\i(,,\f(dy,y)))dy)+C)=eqe\s\up15(\f(25,3)lny)(eq\i(,,-eq\f(23y,48)eqe\s\up15(-\f(25,3)lny)dy)+C)=eqy\s\up15(\f(25,3))(eq\i(,,-eq\f(23,48)y*eqy\s\up15(-\f(25,3))dy)+C)=eqy\s\up15(\f(25,3))(-eq\f(23,48)eq\i(,,eqy\s\up15(\f(-22,3))dy)+C)=eqy\s\up15(\f(25,3))(-eq\f(23,-304)eqy\s\up15(\f(-19,3))+C)=-eq\f(23,-304)eqy\s\up15(2)+Ceqy\s\up15(\f(25,3))。即为本题所求微分方程的通解。5.求解微分方程25x2+7x-y'=0的通解主要步骤：解：根据题意，由不定积分分离变量法有：25x2+7x-y'=0，25x2+7x=y'，即