黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 含解析

综合检测卷数学试题注意事项：．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为分钟，满分分85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，则（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】根据等差数列项的性质计算即可.【详解】因为是等差数列，所以,所以.故选：D.2.正方体的棱长为1，则（）A.1B.0C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解.【详解】,故选：A3.已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是第1页/共18页（）A.或B.或C.或D.【答案】D【解析】【分析】根据两点间斜率公式计算即可.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，结合图象可得直线的斜率的取值范围是.故选：D4.在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先设点再根据斜率公式计算即可.【详解】设，可得,x不为0，所以.第2页/共18页故选：D.5.设数列的前项和为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据即可得到答案.【详解】．故选：C．6.已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出圆的圆心及半径后，结合正三角形的性质可计算出当为正三角形时的值，结合充分条件与必要条件定义即可判断.【详解】由C：可得其圆心为，半径，圆心到直线的距离，若为正三角形，则有，即，即，解得或，故“为正三角形”是“”的必要不充分条件.故选：B.7.在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（A.B.C.D.第3页/共18页【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算可得，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解.【详解】分别作，，垂足为，则．由，可得，所以．因为，则即，故，故选：B．8.已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用数列的累乘法求得，再由等比数列的中项性质可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（第4页/共18页可得，由，可得，可得，由，，成等比数列，可得，可得，则，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等比数列，累乘法，数列求和，属于中档题.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列直线中，与抛物线只有一个公共点，且过点的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】讨论直线的斜率，结合方程联立，以及直线与抛物线的位置关系，即可求解.【详解】当直线的斜率存在且时,设，与抛物线方程联立得，令，解得，则直线的方程为；第5页/共18页当时,直线的方程为，此时直线平行于抛物线的对称轴,且与抛物线只有一个公共点；当不存在时,直线与抛物线也只有一个公共点，此时直线的方程为.故选：ABD10.已知数列，满足，且，则（）A.B.当时，是等比数列C.当时，是等差数列D.当时，是递增数列【答案】BCD【解析】【分析】对于A，直接由已知得到，即可说明A错误；对于B，证明，结合即可验证；对于C，说明即可；对于D，验证，再利用即可验证.【详解】对于A，由已知有，故A错误；对于B，当时，由于，且，故是等比数列，故B正确；对于C，当时，由，归纳即知.所以C正确；对于D，当时，由于，故.所以，从而是递增数列，故D正确.故选：BCD.已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（）A.B.异面直线与所成的角的余弦值为C.与平面所成的角的正弦值为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】ACD第6页/共18页【解析】【分析】对于A：取AC的中点F，连接PF,BF，证明出面，即可得到.对于B、C：先证明出，，.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.D球.即可求解.【详解】对于A：在三棱锥，，是边长为2AC的中点FPF,BF.又，所以面，所以.故A正确.对于B：因为，，,所以面，所以，.在三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，所以.所以.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.第7页/共18页则，，，，.所以,.设异面直线与所成的角为，则.即异面直线与所成的角的余弦值为.故B错误；对于C：，.设平面ABC的一个法向量为，则,不妨设x=1，则.设与平面所成的角为，则.即与平面所成的角的正弦值为.故C正确.对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.设其半径为R，由正方体的外接球满足,所以.第8页/共18页所以球的表面积为.故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知双曲线的离心率为，则_________．【答案】【解析】【分析】由双曲线中的平方关系、离心率公式列出等式直接计算即可.【详解】由题意，从而双曲线的离心率为，结合，解得满足题意.故答案为：.13.已知数列是单调递增的等比数列，且，，则=______．【答案】81【解析】【分析】利用等比数列的通项公式列方程组求出进而秋季即可.【详解】因为数列是单调递增的等比数列，即，则解得或所以，解得，所以，故答案为：81第9页/共18页14.已知点列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，．记，则．______；______．【答案】①.##②.【解析】【分析】利用中点坐标公式结合题意可求出，从而可求出，再由以及等比数列的定义、通项公式与求和公式即可求出.【详解】因为是线段的中点，，所以，因为，，所以，，所以，因为，，所以，即，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以，所以第10页/共18页，故答案为：；.【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的定义、通项公式与求和公式的应用，解题的关键是根据已知的递推式化简变形得数列是以为公比，2为首项的等比数列，考查数学计算能力，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.【答案】（1）（2），【解析】1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式；（2）依题意可得，利用分组求和法计算可得.【小问1详解】设等比数列的首项为，公比为，根据题意可得，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以数列的通项公式为.【小问2详解】第11页/共18页因为数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.16.已知数列的前n项和为，且关于x的方程，有两个相等的实数根．（1）求的通项公式；（2的前n项和为对任意的的最大值．【答案】（1）（2）3【解析】1）利用方程有等根可知判别式为0，求出，根据关系即可得出通项公式；（2）利用错位相减法求出，再分离参数后求解即可.【小问1详解】由关于方程，有两个相等的实数根，可得，即，，当时，．当时，．当时，上式也成立，所以．【小问2详解】由（1）可知，，第12页/共18页，①，②得：，所以．又对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故，因数列在时单调递增，所以，当且仅当时取得最小值．所以实数最大值为3．17.已知三棱柱，侧棱底面，底面是等边三角形，是的中点，．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析第13页/共18页（2）【解析】1）首先根据题目所给信息，求出面，再利用线面垂直推出线线垂直即可求解.（2）首先建立空间直角坐标系，再求出平面与面的法向量，再利用向量求角的公式即可求解.【小问1详解】∵底面为等边三角形，为中点，∴，又面，∴，又，面，又面，∴．【小问2详解】取中点，∴、、两两垂直．如下图，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系．设，∴，，，∴，∴，∴，∴设面的法向量为，∴，令，∴，同理面法向量，∴，∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．18.已知椭圆的短轴长为2，离心率为.（1）求的方程;第14页/共18页（2）过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程；（2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程.【小问1详解】依题意：，解得，所以E的方程为．【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，联立，消y得：，整理得：，，则，，第15页/共18页则，即，则，即，解得或，则直线l的方程为或．19.给定数列，若对任意m，且，是中项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为（1）若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由；（2）设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；（3）设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”．【答案】（1）是“H数列”；理由见解析（2）1，2，3，6；（3）证明见解析【解析】1）根据“H数列”定义判断即可.（2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解.（3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”.【小问1详解】因为，当时，，第16页/共18页当时，也成立，所以，对任意m，且，，是“H数列”.【小问2详解】因为，，，所以，所以，由已知得也为数列中的项，令，即，所以，所以d为6正因数，故d的所有可能值为1，2，3，6.【小问