数学-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03（参考答案）

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678CDBABCAD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．BC 10．ACD 11．AD 12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14．9 15． 16．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【解析】（1）由题意，在数列中，，，当时，，（2分）当时上式也符合，∴，，.（3分）∴当时，；当时，上式也符合.∴的通项公式为.（5分）（2）由题意及（1）得，,在数列中，，数列中，,（7分）∴.（8分）∵，∴.∵.（9分）∴的最大值为，.∴的最小值为.（10分）18．（12分）【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为平面，，如图过点作，则平面，如图建立空间直角坐标系，令，在底面四边形中，，所以，（1分）则，，，，，，，所以，，（2分）因为为棱上一点，设，则，（3分）因为，所以，即，解得，所以为的中点.（5分）（2）由（1）可得，又，，，，（6分）设平面的法向量为，则，令，则，，所以；（8分）设平面的法向量为，则，令，则，，所以；（10分）设平面与平面的夹角为，则，（11分）故平面与平面夹角的余弦值为.（12分）19．（12分）【解析】（1）在中，由及二倍角公式，得，（2分）即，整理得，（4分）因此，即，而，所以.（6分）（2）由（1）及已知，得，即有，（7分）由余弦定理得，即，因此，（9分）即，于是，当且仅当时取等号，（11分）而，所以面积的最小值为.（12分）20．（12分）【解析】（1）因为该卦的符号由五个阳爻和一个阴爻构成，所以该卦所表示的二进制数共有个，（2分）分别为、、、、、，这个数中，每个位置可是次，次，（4分）所以，所有这些卦表示的十进制数的和为.（6分）（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值有、、，（7分）则，，，（10分）所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.（12分）21．（12分）【解析】（1）由题意，，定义域为，可得，令，则，所以单调递减，（2分）又由，所以存在，使，即，即，（3分）当时，，单调递增；当时，，单调递减，（4分）所以有最大值，最大值为.（5分）（2）证明：不等式，即证，即证，（6分）当时，不等式显然成立；（7分）当时，令，可得，因为，可得，所以在上单调递减，所以，即，要证不等式，只需证明：，等价于证明：，令，可得，函数在上单调递减，所以，即；（10分）当时，，只需证，令，可得，函数在上单调递增，所以，又由，可得，在单调递减，所以，所以时，，所以不等式成立；综合上述不等式得证（12分）.22．（12分）【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，（1分）又，所以.将点的坐标代入C的方程得，解得，（3分）所以