第08讲 平行线及三角形（含答案详解）-全国重点高中自主招生大揭秘

平行线及三角形

一、单选题

1．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠

D的度数为（）

A．85°B．75°C．65°D．30°

2．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，AB//CD,ACE为等边三角形，DCE40，则EAB等于（）

A．40B．30C．20D．15

3．（2021·全国·九年级竞赛）将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，

则不同的截法有（）

A．5种B．6种C．7种D．8种

4．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（）

A．B．

C．D．

5．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）如图，P为ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠

APC=60°，那么∠ACB的度数是（）△

A．45°B．75°C．90°D．60°

6．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，直角△ACB中，ACB90，AC4，BC3，

AB5，点P是线段AB上一动点（可与点A、点B重合），连接CP，则线段CP长度的取值范围是（）

A．3CP4B．3CP4C．2.4CP4D．2.4CP4

7．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB，

CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M．G是射线MD上一动点（不与点M，F重合）．EH平分∠

FEG交CD于点H，设∠MEH=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④

2α+β=180，在这四个式子中，正确的是（）

A．①②B．①④C．①③④D．②③④

8．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，

DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（△）

A．30°B．40°C．50°D．60°

二、填空题

9．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，ABC沿EF折叠使点A落在点A处，BP、

CP分别是ABD、ACD平分线，若P30，AEB20，则AFC_____．

10．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在ABC中，ABC，ACB的平分线交于点O，

ACB的外角平分线所在直线与ABC的平分线相交于点D，与ABC的外角平分线相交于点E，则下

列结论一定正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）

11

①BOC90A；②DA；③EA；④EDCF90ABD．

22

11．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和

三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC

的度数为_______．

12．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角

形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．

13．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，ABC中，ABAC2,P是BC上任意一点，PEAB于点

E,PFAC于点F，若S△ABC1，则PEPF________．

14．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图．在Rt△ABC中，C90，AFEF．若CFE72，则

B______．

15．（2022秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在ABC中，ABAC，B70，以点C为圆心，CA长为

半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则BAP的度数是_______．

16．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图，已知在ABC，ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，

AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE△．以下四△个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠

ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中结论正确的是___________（填序号）

17．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如上图，已知ADAE,BECD,12110,BAC80,则CAE

的度数是________.

18．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，AB∥CD，BF，DF分别平分ABE和CDE，

BF∥DE，F与ABE互补，则F的度数为______．

三、解答题

19．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如图，在ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边且

BE＝CF，AD+EC＝AB．△

（1）求证：DEF是等腰三角形；

（2）当∠A＝△40°时，求∠DEF的度数．

20．（2017·全国·八年级竞赛）如图，ABC中，D为BC的中点，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，

CFDF，P为AD与EF的交点，证明：EF2PD．

21．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB

上，BEC2BEF，过点A作AGBE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分BAG，交EF于

点H，交BE于点M．

(1)直接写出AHE，FAH，KEH之间的关系：．

1

(2)若BEFBAK，求AHE．

2

(3)如图2，在（2）的条件下，将KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射

线ED重合时停止，则在旋转过程中，当KHE的其中一边与ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

22．（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，AC．

(1)猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；

(2)如图2，延长DE至F，连接BE，若13，AEF22，AED2C140，求∠C的度数．

参考答案：

1．B

【分析】根据AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性质，即可求解．

【详解】解：∵AB∥CD，

∴∠C＝∠ABC＝30°，

又∵CD＝CE，

∴∠D＝∠CED，

∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，

∴∠D＝75°．

故选：B

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中，等边对等角是解题

的关键．

2．C

【分析】先根据等边三角形的性质可得ECAEAC60，再根据平行线的性质可得

DCABAC180，然后根据角的和差即可得．

【详解】解：QVACE为等边三角形，

ECAEAC60，

QAB//CD，

DCABAC180，

DCEECAEACEAB180，

QÐDCE=40°，

406060EAB180，

解得EAB20，

故选：C．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．

3．C

【详解】试题分析：已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即

可求得不同的截法．

解：∵长棒的长度为15cm，即三角形的周长为15cm

∴①当三角形的最长边为7时，有4种截法，分别是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4；

②当三角形的最长边为6时，有2种截法，分别是：6，6，3；6，5，4；

③当三角形的最长边为5时，有1种截法，是：5，5，5；

④当三角形的最长边为4时，有1种截法，是4，3，8，因为4+3＜8，所以此截法不可行；

∴不同的截法有：4+2+1=7种．

故选C．

考点：三角形三边关系．

4．D

【分析】根据高的定义即可求解．

【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是ABC中AC边长的高，

故选：D．△

【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义．

5．B

【详解】试题解析：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；

∵△PCD中，∠APC=60°，

∴∠DCP=30°，PC=2PD，

∵PC=2PB，

∴BP=PD，

∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，

∵∠ABP=45°，

∴∠ABD=15°，

∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，

∴∠ABD=∠BAD=15°，

∴BD=AD，

∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，

∴BD=DC，

∴△BDC是等腰三角形，

∵BD=AD，

∴AD=DC，

∵∠CDA=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，

故选B.

6．D

【分析】根据垂线段最短，找到点P的位置，利用面积法求出CP取值，再比较点P与点A重合，与点B

重合时的情况，得到CP最大值，即可得解．

【详解】解：当点CPAB时，CP最短，

ACBC34

此时，CP2.4，

AB5

当点P与点A重合时，CPAC4，当点P与点B重合时，CPCB3，

∴CP最大值为4，

∴CP的取值范围是2.4CP4，

故选D．

【点睛】本题考查了垂线段最短，面积法，解题的关键是找到取最值的情况．

7．B

【分析】分两种情况讨论，即当G在F左侧时，当G在F的右侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义

分别求出2α=β或2α+β=180°，则可作出判断.

【详解】解：如图，当G在F左侧时，

11

∵∠MEH=∠MEF-∠HEF=∠AEF-∠GEF=α，

22

∠EGF=∠GEB=∠AEG=∠AEF-∠GEF=β，

∴2α=β，故①正确；

如图，当G在F的右侧时，

11

∵∠MEH=∠MEF+∠HEF=∠AEF+∠GEF=α，

22

∠EGF=∠GEB=180°-∠AEG=180°-∠AEF-∠GEF=β，

11

∴2α+β=2(∠AEF+∠GEF)+180°-∠AEF-∠GEF=180°，故④正确；

22

综上所述，正确的是①④；

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质．

8．B

【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即

可．

【详解】解：∵∠A+∠C=100°

∴∠ABC=80°，

∵BD平分∠BAC，

∴∠ABD=40°，

∵DE∥AB，

∴∠BDE=∠ABD=40°，

故答案为B．

【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题

的关键．

9．140

【分析】欲求AFC，因为AFCA1AAAEB，所以仅需求A．根据三角形外角的性质，

得AABDACB．因为BP、CP分别是ABD、ACD平分线，所以

A2PBD2PCB2(PBDPCB)2P60，进而可求出AFC．

【详解】解：如图，

BP、CP分别是ABD、ACD平分线，

11

PBDABD，BCPBCA．

22

又PBDPPCB，

111

PPBDPCBABDBCA(ABDACB)，

222

又ABDAACB，

ABDACBA，

1

PA，

2

A2P23060，

由题意得：AA60，

1AAEB602080，

AFCA16080140，

故答案为：140．

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线

的定义是解决本题的关键．

10．①②④

1

【分析】由角平分线的定义可得OBCOCB(ABCACB)，再由三角形的内角和定理可求解

2

11

BOC90A，即可判定①；由角平分线的定义可得DCFACF，结合三角形外角的性质可判

22

定②；由三角形外角的性质可得MBCBCN180A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可

判定③；利用三角形外角的性质可得EDCF90DBC，结合ABDDBC可判定④．

【详解】解：ABC，ACB的平分线交于点O，

11

ABDOBCABC，OCBACOACB，

22

1

OBCOCB(ABCACB)，

2

AABCACB180，

ABCACB180A，

BOCOBCOCB180，

11

BOC180(OBCOCB)180(180A)90A，故①正确，

22

CD平分ACF，

1

DCFACF，

2

ACFABCA，DCFOBCD，

1

DA，故②正确；

2

MBCAACB，BCNAABC，ACBAABC180，

MBCBCNAACBAABC180A，

BE平分MBC，CE平分BCN，

MBC2EBC，BCN2BCE，

1

EBCBCE90A，

2

EEBCBCE180，

11

E180(EBCBCE)180(90A)90A，故③错误；

22

DCFDBCD，

11

EDCF90ADBCA90DBC，

22

ABDDBC，

EDCF90ABD．故④正确，

综上正确的有：①②④，

故答案为：①②④．

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的

定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

11．64

【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得△FAH△FCE(ASA)，由对应边、对应角相等可得出

△HDF△EDF(SAS)，进而可求出DEF58，则DECCEFDEF64．

【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H，

∵AFCEFH90

又∵AFCAFHCFH，HFECFECFH

∴AFHCFE13

∵AFCE45，FA=CF

∴△FAH△FCE(ASA)

∴FH=FE

∵DFEDFCEFC321345

∵DFHHFEDFE904545

∴DFEDFH

又∵DF=DF

∴△HDF△EDF(SAS)

∴DHFDEF

∵DHFAHFA451358

∴DEF58

∵CFECEFFCE180

∴CEF180CFEFCE1801345122

∴DECCEFDEF1225864

故答案为：64．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关

键．

12．45°或36°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．

【详解】解：①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，

设∠A=x°，

则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，

∴∠BCD=∠B=x°，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°，

∴x+x+x+x=180，

解得x=45，

∴原等腰三角形的底角是45°；

②如图2，

ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，

△∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，

∵∠CDA=2∠B，

∴∠CAB=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴原等腰三角形的底角为36°；

故答案为45°或36°

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根

据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．

13．1

【分析】将ABC的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PEPF的值．

【详解】解：连接AP，如下图：

PEAB于点E,PFAC于点F，

SABCSAPCSAPB1

11

SSACPFABPE

APCAPB22

ABAC2，

SAPCSAPBPFPE1，

PEPF1，

故答案是：1．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将ABC的面积拆

成两个三角形面积之和来解答．

14．54°

【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，

求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．

【详解】∵AF=EF，

∴∠A=∠AEF，

∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，

∴∠A=36°，

∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．

故答案为：54°．

【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．

15．15或75

【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得

出答案．

【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图

∵ABAC，B70，

∴BACB70

∴CAB40

∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，

∴AC=PC

∴PCAP

∵ACBBCAP70

∴PCAP35

∴BAPBACCAP403575

②当点P在CB的延长线上时，如图

由①得C70，CAB40

∵AC=PC

∴PCAP=55

∴BAPCAP-BAC55-4015

故答案为：15或75

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．

16．①②③

【分析】根据全等、等腰三角形以及三角形边的性质即可得出答案.

【详解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE

又∠BAD=∠BAC+∠CAD

∠CAE=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

∴△BAD≌△CAE(SAS)

∴BD=CE，故选项①正确；

∴∠BDA=∠CEA=45°

又∠ADE=45°

∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°

∴BD⊥CE，故选项②正确；

∵△BAD≌△CAE

∴∠ACE=∠ABD

又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故选项③正确；

在BAE中

AB△+AE>BE

又AB=AC，AE=AD

∴AC+AD>BE，故选项④错误；

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查的是等腰三角形，难度适中，需要熟练掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性质.

17．20°/20度

【分析】先证明ABD≌△ACE，再利用三角形内角和定理求解即可．

【详解】解：∵B△E=CD，

∴BD=CE．

在ABD和ACE中，

△BDCE△

∵12，

ADAE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠C．

∵∠BAC=80°，

∴∠C=（180°﹣80°）÷2=50°，

∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°．

故答案为20°．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握SAS证明三角形全等是关键．

18．36/36度

【分析】延长FB交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.

【详解】解：如图延长FB交CD于G

∵BF∥ED

∴∠F=∠EDF

又∵DF平分∠CDE，

∴∠CDE=2∠F，

∵BF∥ED

∴∠CGF=∠EDF=2∠F，

∵AB∥CD

∴∠ABF=∠CGF=2∠F，

∵BF平分∠ABE

∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，

又∵∠F与∠ABE互补

∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，

解得∠F=36°

故答案为36°.

【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.

19．（1）见解析；（2）∠DEF＝70°．

【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根据SAS推出BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF

即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，根据△全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，

即可得出答案；

【详解】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，

∴BD＝EC，

BECF

在DBE和ECF中，BC，

BDEC

△△

∴△DBE≌△ECF（SAS）

∴DE＝EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵∠A＝40°，

1

∴∠B＝∠C＝(18040)＝70°，

2

∴∠BDE+∠DEB＝110°，

又∵△DBE≌△ECF，

∴∠BDE＝∠FEC，

∴∠FEC+∠DEB＝110°，

∴∠DEF＝70°．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能灵活运

用性质进行推理是解此题的关键．

20．见解析

【分析】想办法证明四边形DEFC是平行四边形，再证明PDPEPF即可解决问题．

【详解】证明：DE平分ADB，DF平分ADC，

111

EDFPDEPDFADBADCADBADC90，

222

BEDE，DFCF，

BEDDFC90，

BDECDF90，CDFDCF90，

BDEDCF，

DE//CF，

D是BC中点，

BDDC，

BDE≌DCF，

DECF，

四边形DEFC是平行四边形，

EF//BC，

FEDBDEEDP，

PEPD，同法可证：PFPD，

EF2PD．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型．

21．(1)AHEFAHKEH

(2)75

(3)6,12,21,24,30

【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；

1

（2）根据BEFBAK，分别表示出BAK、BEC、BAK、KAG、AME和AHE，再由AGBE，

2

可得BEF的度数；

（3）结合（2），分以下几种情况求解：①当KHNG时，延长KE交GN边于P，②当KHEG时，③当

KHEN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KENG时，⑤当HENG时．

【详解】（1）ABCD，

KEHAFH，

AHE是△AHF的外角，

AHEAFHFAH，

AHEFAHKEH，

故答案为：AHEFAHKEH；

（2）ABCD，

BAKMKE,ABEBEC，

1

BEFBAK，

2

BAK2BEF，

BEC2BEF，

BAKB