初中数学自主招生难度讲义-7年级专题10多变的行程问题（解析版）

专题10多变的行程问题

阅读与思考

ss

行程问题的三要素是：距离（s）、速度（v）、时间（t），基本关系是：svt，v，t．

tv

行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．其

中相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：

1．相遇问题

其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的

路程＝两地之间的距离．

2．追及问题

其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，

又因为速度的差异使得后者最终能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝两地之间的距离．

例题与求解

【例1】在公路上，汽车A、B、C分别以80千米/时，70千米/时，50千米/时的速度匀速行驶，

A从甲站开往乙站，同时，B、C从乙站开往甲站．A在与B相遇后两小时又与C相遇，则甲、乙两

站相距__________千米．

（“希望杯”竞赛试题）

解题思路：本例为直线上的相遇问题，可依据时间关系列方程．

【例2】如图，某人沿着边长为90来的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65

米/分的速度，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（）．

A．AB边上B．DA边上C．BC边上D．CD边上

（安徽省竞赛试题）

解题思路：本例是一个特殊的环形追及问题，注意甲实际在乙的前面390270（米）处．

【例3】亚州铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行．比赛程序是：运动员先同时下水游泳

1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千

米到终点．下表是亚洲铁人三项赛女子组（19岁以下）三名运动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所

用时间，其他类推，表内时间单位为秒）．

第一换项点第二换项点

运动员号码游泳成绩白行车成绩长跑成绩

所用时间所用时间

1911997754927403220

19415031105686573652

1951354745351443195

（1）填空（精确到0.01）：

第191号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；

第194号运动员骑自行车的平均速度是__________米/秒；

第195号运动员骑自行车的平均速摩是__________米/秒；

（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194

号吗？如果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0.01）？如果不会，为什么？

（3）如果运动员长跑也都是匀速的，那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗？为什

么？

（江苏省徐州市中考试题）

解题思路：从表格中获取信息，注意速度、时间的比较是解本例的关键．

【例4】一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时．一天，小船从早

晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，

问：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港时需多少小时？

（2）救生圈是何时掉人水中的？

（天津市中考试题）

解题思路：要求小船按水流速度由A港漂流到B港时所需时间，需求两港间的距离及水流速度，考

虑增设辅助未知数．

【例5】某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校后，接参观的师生立即

出发去县城，由于汽车在赴校的途中发生故障，不得不停车修理，学校师生等到7时10分，仍未见汽

车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比预定到达

县城的时间晚了半小时，如果汽车的速度是步行速度的6倍，汽车在途中排除故障花了多少时间？

（山东省中考试题）

解题思路：从题中比原定时间晚到半小时入手，选好未知量，找出汽车所用时间与师生步赶所用时

间之间的关系．依时间、速度和路程之间的关系列出方程．

【例6】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，在距离B地6千米处相遇，相遇后两人又继续

按原方向、原速度前进，当他们分别到达B地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米处相遇，求A，

B两地相距多少千米？

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：本例有多种解法，可借助图形辅助分析．

能力训练

A级

1．某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那

么某人往返一次的平均速度是__________千米/小时．

2．汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，已

知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车离山谷的距离是__________米．

（江苏省竞赛试题）

3．甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地

开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米．当从甲地开

出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了__________千米和

__________千米．

（武汉市选拔赛试题）

4．上午9时整，时计与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是（）．

58

A．9时30分B．10时5分C．10时5分D．9时32分

1111

（“希望杯”竞赛试题）

5．甲、乙两人同时从A地到B地，如果乙的速度v保持不变，而甲先用2v的速度到达中点，再用

1

v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（）．

2

A．甲、乙同时到达B地B．甲先到B地

C．乙先到B地D．无法确定谁先到

6．甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达6楼时，乙刚到达5楼，按此速

度，当甲到达顶层时，乙可到达（）．

A．31层B．30层C．29层D．28层

7．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺

时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们的第2007次相遇在边

（）上．

A．ABB．BCC．CDD．DA

（湖北省黄冈市竞赛试题）

8．甲、乙两列火车同时从相距120千米的两地相向行驶，甲速为每小时84千米，乙速为每小时60

千米，则当两车相距24千米时行驶的时间为（）．

A．40分钟B．1小时C．1小时或20分钟D．40分钟或1小时

9．有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天王老师到达道口时，

发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王

老师过道口的时间忽略不计）．通过道口后，还需7分钟到达学校：

（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应绕道去学校，还是选择

通过拥挤的道口去学校？

（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过

道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过逬口，求维持秩序的时间．

（江西省中考试题）

10．某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若

每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，

求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？

（湖北省孝感市竞赛试题）

11．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车

人速度为16.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26

秒，问这列火车的车身长为多少米？

（河北省竞赛试题）

B级

1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追及乙，那

么甲、乙两人的速度之比为__________．

（江苏省竞赛试题）

2．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘

客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是

__________秒．

（“希望杯”邀请赛试题）

3．某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的

速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，若A，C两地的距离为10千米，则A，B的距

离为__________千米．

（重庆市竞赛试题）

4．某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速

度分别为，，．则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为（）．

v1v2v3

111

vvvvvv13

A．123B．123C．D．

111111

33

v1v2v3v1v2v3

（天津市竞赛试题）

5．静水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不为零的河流中，甲、乙两船同时从A港出发，

同向航行1小时后立即返航，那么（）．

A．甲船先返回A港B．乙船先返回A港

C．甲、乙两船同时返回A港D．不能确定哪条船先返回A港

（《时代学习报》数学文化节试题）

6．某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶梯的同时

匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他

登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上的自动扶梯级数为__________．

（北京市竞赛试题）

7．甲、乙两同学从400米的环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢

跑．6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲

跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．

8．某风景区的旅游线路如右图所示，其中A为入口处，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇

点，图中所给的数据为相应两点间的路程（单位：千米）．某游客从A处出发，以每小时2千米的速度

步行游览，每到一个景点逗留的时间均为半小时．

（1）若该游客沿跨线“A→D→C→E→A”游览回到A处，共用去3小时，求C,E两点间

的路程．

（2）若该游客从A处出发，打算在最短时间内游完三个景点并返回A处（仍按上述步行速度和在

景点的逗留时间，不考虑其他因素），请你为他设计一个步行路线，并对路线设计的合理性予以说明．

（江苏省竞赛试题）

9．某人沿电车路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假定此

人和电车都是匀速前进，则电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？

（湖北省黄冈市竞赛试题）

10．如图，甲、乙两人分别在A，B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙

则休息了14分钟，再继续向A地行走，甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟

行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相距多少千米？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

专题10多变的行程问题

SS

例11950提示:设甲乙两站相距S千米,则2,解得S=1950千米

80708050

2702706

例2B提示:乙第一次追上甲用了分钟,727360290

777

例3⑴8.127.037.48

⑵191号能追上194号,这时离第一换项点有24037.96米191号不会追上195号

⑶从第二换项点出发时,195号比191号提前216秒,且长跑速度比191号快,所以195号在长跑

时始终在191号前面,而191号在长跑时始终在194前面,故在长跑时,谁也追不上谁.

例4⑴设小船在静水中的速度为α,水流的速度为b,由题意,得6(a+b)=8(a-b),解得a=7b.故小船按水流速

度由

6(ab)6(7bb)48b

A港漂流到B港所需的时间为48小时

bbb

⑵设小船行驶x小时后救生圈掉入水中,则小船找到救生圈即小船与救生圈相遇,他们行驶的路

程如图所示:

由题意得(6-x+1)b+(a-b)×1=(6-x)(a+b),将a=7b代入上式,解得x=5故救生圈是在上午11点掉入水中的.

例5如图,设点A为县城所在地,点B为学校所在地,但C为师生途中与汽车相遇之处.汽车晚到的的半

小时一方面是因晚出发了10分钟,另一方面是从B到C由于步行代替乘车而多花了20分钟.若设汽车从

C到B需要X分钟,则师生从B到C应花(x+20)分钟,由于汽车由C到B与师生从B到C的路程相等由时

x1

间与速度成反比可得解得x=4

x206

故排除故障花的时间为4×2+30=38分钟

例6解法一:第一次相遇时,甲乙两人所走的路程之和,正好是AB两地相距的路程,即当甲乙合走完AB

间的全部路程

时，乙走了6千米.第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍(如图，图中实线表示甲走的

路程，虚线表示乙走的路程)，因此，这时乙走的路程应为6318千米.考虑到乙从B地走到A地后

又返回了4千米，所以A,B两地间的距离为18-4=14千米.

解法二:甲、乙两人同时出发，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有:

两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例.到第一次相遇，甲走了(全程

-6)千米，乙走了6千米;到第二次相遇，甲走了(2×全程-4)千米，乙走了(全程+4)千米.

S62S4

设全程为S，则可列方程.

6S4

解得舍去

S114，S20().

故A,B两地相距14千米.

解法三设全程为千米，甲、乙两人速度分别为

:Sv1,v2v,

S66

①

vv

则12

2S4S4

②

v1v2

S66

①②得，解得S14或S0(舍去)

2S4S4

故A,B两地相距14千米.

A级

1.4.82.640

3.150200提示:设第一辆车行驶了(140十x)千米，则第二辆车行驶了

424

140x14046x千米，由题意得

333

24

x46x70，解得x10.

33

1

4.D提示:因为分针每分钟转6,时针每分钟转，设两针从上午9时开始，x分钟后两针成直角，

2

18

由题意知6x9090x360,解得x32.

211

S甲V甲5

5.C6.C提示：.7.C8.D

S乙V乙4

36

9.(1)因71915,故王老师应选择绕道去学校.

3

36363t

(2)设维持秩序时间为t,则t6,解得t=3(分钟).

39

1515

10.设此人从家里出发到火车开车的时间为x小时，由题意得30x18x，解得x=1.

6060

1515

30x301

6060

此人打算在火车前10分钟到达火车站，骑摩托车的速度应为27千米/

1010