初中数学自主招生难度讲义-7年级专题12数余的扩充（解析版）

专题12数余的扩充

———实数的概念与性质

阅读与思考

人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负

有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不

断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。在引人无理数的概念后，

数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.

理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：

q

1.把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式（这里p，q是互质的

p

整数，且p≠0）；

2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；

3.有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数

对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；

4．明确无理数的真实性.

克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情

怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以

上的一切.”

想一想：

下列说法是否正确？

①带根号的数是无理数；

②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数；

③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数；

④一个无理数的平方一定是有理数.

例题与求解

【例1】已知a2(b4)2ab2c0．则(ac)b的平方根是________.

（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）

解题思路：运用式子的非负性，求出a，b，c的值．

【例2】若a，b是实数，且a2b122b4．则ab的值是().

A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1

（湖北省黄冈市竞赛试题）

解题思路：由算术根的双非负性，可得b1≥0，22b≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．

由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：

①a中a≥0；②a≥0.

运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.

【例3】已知实数m，n，p满足等式

m199n199mn3m5n2p2m3np，求p的值．

（北京市竞赛试题）

解题思路：观察发现（m199n），（199mn）互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解

题的切入点．

131319

【例4】已知a，b是有理数，且()a()b2130，求a，b的值．

32412420

解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a，b的方程组.

实数有以下常用性质：

①若a，b都是有理数，c为无理数，且abc0，则a＝b＝0;

②若a，b，c，d都是有理数，c，d为无理数，且“acbd，则a＝b，cd．

要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无

理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾.

想一想

怎样证明2是无理数？

【例5】一个问题的探究

问题：设实数x，y，z满足xyz≠0．且xyz0.

111111

求证：

x2y2z2xyz

在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题：

111

(1)设a，b，c为两两不相等的有理数，求证：为有理数．

(ab)2(bc)2(ca)2

111111

（2）设S111，求S的整数部分.

122222322008220092

解题思路：从公式(abc)2a2b2c22(abbcac)入手．

11111111

【例6】设S1，S1，S1，…，S1，

112222223233242nn2(n1)2

求的值（用含的代数式表示，其中为正整数）．

S1S2Snnn

（四川省成都市中考试题）

解题思路：解答此题的关键是将变形为一个代数式的平台。

Sn

能力训练

A级

31

1．在实数－4，，0，21，64，327，中，共有_______个无理数．

227

（贵州省贵阳市中考试题）

2．设a33，b是a2的小数部分，则(b2)3的值为____.

(2013年全国初中数学竞赛试题)

a2aba2ab

3．已知a4b90，则的值为_______．

b2a2b2

（山东省济南市中考试题）

4．观察下列各式：

1123412311，

1234522321，

1345632331，(AB)（:AB)(2xy):(xy)

猜测：12005200620072008________.

（辽宁省大连市中考试题）

5．已知有理数A，B，x，y满足AB0，(AB)（:AB)(2xy):(xy)，那么

A（:AB)＝________.

A.3x（:2xy)B.3x（:4x2y)C.x（:xy)D.2x（:2xy)

（2013年“实中杯”数学竞赛试题）

x

6．若x，y为实数，且x2y20，则()2009的值为()．

y

A.1B．－1C．2D．－2

（天津市中考试题）

7．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是()．

A.aB．a21C．a21D．a1

（山东省潍坊市中考试题）

8．若x11x(xy)2，则xy的值为()．

A．－1B．1C．2D．3

（湖北省荆门市中考试题）

9．已知xabm是m的立方根，而y3b6是x的相反数，且m3a7，求x与y的平方

和的立方根．

10.计算：1111222．（广西竞赛试题）

2n个1n个2

11.若a，b满足3a5b7，求S2a3b的取值范围．

（全国初中数学联赛试题）

B级

1．x与y互为相反数，且xy3．那么x22xy1的值为____．

（全国初中数学竞赛试题）

2．若2x14x128，则x的值为_______．

（海南省竞赛试题）

3．已知实数a满足2004aa2005a，则a20042＝_______.

4．5的整数部分为a，小数部分为b，则(5a)b的值为____．

（广东省竞赛试题）

5．已知非零实数a，b满足2a4b2(a3)b242a，则ab等于()．

A．－1B．0C．1D．2

（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

6．已知a21，b32，c62．则a，b，c的大小关系是()．

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a

11

7．已知：a1，那么代数式a的值为()．

aa

55

A．B．C．5D.5

22

（重庆市竞赛试题）

8．下面有3个结论：

①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；

②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；

③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数.

其中，正确的结论有()个．

A.0B．1C．2D．3

（江苏省竞赛试题）

9．已知a22005是整数，求所有满足条件的正整数a的和．

（“CASIO杯”武汉市竞赛试题）

axb

10.设y，a，b，c，d都是有理数，x是无理数.求证：

cxd

(1)当bcad时，y是有理数；

(2)当bcad时，y是无理数．

11.已知非零实数a，b满足2a4b2(a3)b242a.求ab值．

（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）

专题12数余的扩充

———实数的概念与性质

1

例1土提示：由条件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，则a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）b＝[2×

4

－111

（一1）]4＝，的平方根为土．

16164

；

例2B

m－199＋n≥0m＋n≥199

例3由,得．∴m＋n＝199.

199－m－n≥0m＋n≤199

3m5n2p0

∴3m5n2p2m3np0，由非负数性质，得

2m3n0

解得p=201。

111119

例4已知等式整理，得ab2ab130

34421220

111119

因为a，b是有理数，所以ab20且ab10，

34421220

3

a3

解得5

1

b4

5

22

111111111111xyz

例5

22222

xyzxyzxyyzxzxyzxyz

2

111

=

xyz

111111111111

故，进一步.

x2y2z2xyzx2y2（xy）2xyxy

2

111111

（1）可证明

（ab）2(bc)2(ca)2abbcca

1111

（2）令x=1，y=n，得11

n2(1n)2nn1

111111111

S=1-1-1-1-2009-

122334200820092009

故S的整数部分为2008.

222

例6∵111111

Sn12121

nn1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)

2

1111

∴

Sn111

n(n1)n(n1)nn1

111111n22n

∴原式=11-1-1n1

223nn1n1n1

A级

1.2

2

2.9提示：a23339,238393273，则b=39-2,b+2=39

3

故b23399

16

3.

81

4.20052320051

ABxy

5.B提示：由题知，

AB2xy

（AB）(AB)(xy)(2xy)2A3x

则,即，

AB2xyAB2xy

A3x

故

AB4x2y

6.B

7.B

8.C

9.2

原式nn

10.=111101112111=11110-111

n个n个n个n个n个

（n）

=11110-1=111999=333

n个n个n个n个

3a5b7

11.由题中条件

2a3bS

①×3+②×5得19a215S

①×2-②×3得19b143S

215S02114

又∵a≥0，b≥0，则解得-S

14-3S053

B组

3

x

5xy0

1.-提示：由条件，解得2

3

4xy3y

2

2

3335

故x2+2xy+1=2-1-

2224

x

2.2提示：由2x14x128得2x12227，故有(x+1)+2x=7,所以x的值为2.

3.2005提示：由条件得：a≥2005，则a20052004，从而有：

a2-2004=2005

4.1

5.C提示：由条件得：a≥3，则b2(a3)b20，a+b=1。

1111

6.C提示：因为21，32，所以0.故b<a，又

abab

22

c-a=6-2-2-16-21，而6-213-220，

所以621，故c>a，因此b<a<c.