初中数学自主招生难度讲义-7年级专题03从算术到代数（解析版）

专题03从算术到代数

阅读与思考

算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基

础上发展起来的.

用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的

数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：

1.任意性

即字母可以表示任意的数.

2.限制性

即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.

3.确定性

即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.

4.抽象性

即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.

例题与求解

【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：

1×3＋1＝4＝22

2×4＋1＝9＝32

3×5＋1＝16＝42

4×6＋1＝25＝52

…

请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________

(山东菏泽地区中考试题)

解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数

式表示.

【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）

A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470

（江苏省竞赛试题）

解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)

＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.

12+2222+3232+4210032+1004210042+10052

【例3】设A＝++＋…＋＋，求A的整数部

1´22´33´41003´10041004´1005

分.

（北京市竞赛试题）

n2+(n+1)2

解题思路：从分析A中第n项的特征入手.

n´(n+1)

【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成

2n个正方形.

(1)用含n的代数式表示m；

(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.

（浙江省竞赛试题）

解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样

摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.

【例】化简

59999991999.

n个n个n个

（江苏省竞赛试题）

解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.

【例6】观察按下列规律排成的一列数：

1121231234123451

，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）

1213214321543216

2

（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.

2001

（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个

数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.

112123

解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（），（，），（，，），

121321

123412345

（，，，），（，，，，），….

432154321

能力训练

A级

223344aa

1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10＋＝102×（a，b

33881515bb

均为正整数），则a＋b＝___________________.

(湖北省武汉市竞赛试题)

2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，

每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.

n＝2n＝3n＝4

s＝4s＝8s＝12

(山东省青岛市中考试题)

3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义

运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．

(浙江省湖州市数学竞赛试题)

4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______

块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．

（广东省中考试题）

-=

5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）

A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1

(重庆市竞赛试题)

6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）

A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21

(四川省眉山市竞赛试题)

7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2

＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）

a+b+ca+b-c

A.B.C.a＋b－cD.3(a＋b－c)

33

(希望杯邀请赛试题)

8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相

同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是（）

（东方航空杯竞赛试题）

A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．无法比较

9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次

将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．

（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表；

剪裁次数1234…n

所得的总数47…

（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？

（山东省济南市中考试题）

10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产

b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，

然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；

（2）试求出用b表示a的关系式；

4

（3）若1名质检员1天能检验b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？

5

（广东省广州市中考试题）

B级

1.你能很快算出19952吗？

为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成

（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些

简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.

（1）通过计算，探索规律.

152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；

252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；

352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25；

452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25；

...

752＝5625可写成______；

852＝7225可写成______；

（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n＋5）2＝______；

（3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.

（福建省三明市中考试题）

1

2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，计算：

6

（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；

(2)22＋42＋…＋502＝__________________.

a1a2a2010a2011

3.已知n是正整数，an＝1×2×3×4×…×n，则＋＋…＋＋＝_______________.

a3a4a2012a2013

(“希望杯”邀请赛训练题)

4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.

（重庆市竞赛试题）

5.A，B两地相距S千米，甲、乙的速度分别为a千米/时、b千米/时（a＞b），甲、乙都从A地到B

地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是（）

ssssssss

A．-(+1)B．-(+1)C．-(-1)D．-(-1)

abbaabba

6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整

原来零售价的b%出售，那么调价后的零售价是（）

A．m（1＋a%）（1－b%）元B．ma%（1－b%）元

C．m（1＋a%）b%元D．m（1＋a%b%）元

（山东省竞赛试题）

7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）

c2c2aba2b

A．B．C．D．

a2babc2c2

(“希望杯”邀请赛试题)

8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班

11

未参加人数的，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的．问甲班未参加的人数是乙班未参加

35

人数的几分之几？

9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它

们的和不小于33.

（重庆市竞赛试题）

10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，

再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.

（天津市竞赛试题）

专题03从算术到代数

例1n(n2)1(n1)2

例2A

111111111

例3原式=2(1)2()2()2()2()

223341003100410041005

1

=21004(1)故其整数部分为2008

1005

例4设图③中含有3p个正方形.

5n1

(1)由3m15n2,得m

3

3m25n1

(2)由a3m15n27p3,得p,因m,n,p均是正整数,所以当m17,n10

77

时,

p7,此时a317152

例5解法1:n1时,99198119100102;

n2时,9999199(1001)9919999009919910000104,

猜想2n个计算过程类似于

:999999199910,n2

n个n个n个

n2n

9999991999(101)9991999999000999199910

n个n个n个n个n个n个n个n个n个

解法2:n1时,991999109(999)10910101010102

n2时,9999199999910099(999999)10099100100100100104

猜想:原式102n

验证如下n

:9999991999999999100099999999999910

n个n个n个n个n个n个n个n个n个n个

nnn2n

99910101010

n个

反思结论必为一个数的平方形式不妨设得另一种解法

,999a,

n个

解法3:原式a2(a1)aa22a1(a1)2(10n)2102n

112123123412345

例6(1)(※)可分组为(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,可知各组数的个数依次为

121321432154321

1,2,3,.

21232002

按其规律应在第2002组(,,,,)中,该组前面共有

20012002200120001

2

123420012003001个数.故当F(m)时,m200300122003003.又因各组的数

2001

121

积为1,故这2003003个数的积为

200220012003001

(2)依题意,c为每组倒数第2个数,d为每组最后一个数,

n1nn(n1)

设它们在第n组,别c,d,2001000.即n(n1)400200020012000,n2001,

212

2001120002001

得c,d

221

A级

aa

1.100提示:10102中,根据规律可得a10,b102199,故ab1099109

bb

2.s4(n1)(n2)

3.1提示:根据题中定义的运算可列代数式p2q5,q2p0,可得p1,q2,

故pq1

4.103n1

5.C

6.B

7.B

8.B

9.(1)10133n1(2)不能,33不符合3n1

2(a5b)

10.(1)a2b或或3b2

3

2(a2b)2(a5b)

(2)由,得a4b

23

2(a2b)4

(3)b7.58

25

B级

1.(1)1007(71)25,1008(81)25

(2)100n(n1)25

(3)3980025

2.(1)2085

(2)22100提示:原式4(1222252)

2011

3.提示:由a1234n可得,

4026n

11111

原式

2334452011201220122013

111111112011

233420122013220134026

4.595提示: