初中数学自主招生难度讲义-7年级专题16不等式（解析版）

专题16不等式（组）

阅读与思考

客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系

的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主

要体现在：

1.解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘

（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但

要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.

2.解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”

式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求

公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.

例题与求解

2x5

x5

【例1】已知关于x的不等式组3恰好有5个整数解，则t的取值范围是（）

x3

tx

2

11111111

A、6tB、6tC、6tD、6t

2222

(2013年全国初中数学竞赛广东省试题）

解题思路：把x的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围.

10

【例2】如果关于x的不等式(2mn)xm5n0的解集为x那么关于x的不等式

7

mxn(m0)的解集为.

（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）

解题思路：从已知条件出发，解关于x的不等式，求出m，n的值或m，n的关系.

xy2

【例3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值.

mxy6

（天津市竞赛试题）

解题思路：解关于x，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.

【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大

值和最小值.

（江苏省竞赛试题）

解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通

过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.

【例】设是自然数，，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7x1x2x3x4x5x6x7

，

x1x2x3,x2x3x4,x3x4x5,x4x5x6

，求的最大值

x5x6x7,又x1x2x3x4x5x6x72010x1x2x3.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.

【例6】已知实数a，b满足1ab4,0ab1,且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.

解题思路：解法一：已知a－b的范围，需知－b的范围，即可知a－2b的最大值得情形.

解法二：设a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b

能力训练

A级

2mx4mx13

1、已知关于x的不等式的解集是x那么m的值是

324

（“希望杯”邀请赛试题）

x2a4

2、不等式组的解集是0x2，那么a＋b的值为

2xb5

（湖北省武汉市竞赛试题）

3、若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，则a,a,b,b的大小关系用不等式表示为

（湖北省武汉市竞赛试题）

xym2

4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围是

4x5y6m3

（河南省中考试题）

5、关于x的不等式ax3a3x的解集为x3，则a应满足（）

A、a＞1B、a＜1C、a1D、a1

(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）

6、适合不等式2x13x144x21的x的取值的范围是（）

7、已知不等式(mx1)(x2)0的解集3x2那么m等于（）

11

A、B、C、3D、－3

33

11

8、已知a0，下面给出4个结论：①a210；②1a20；③11④11，其中，一

a2a2

定成立的结论有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

（江苏省竞赛试题）

x2y6

9、当k为何整数值时，方程组有正整数解？

xy93k

（天津市竞赛试题）

x12

10、如果是关于x，y的方程(axby12)axby80的解，求不等式组

y2

13x14

xa

b的解集

ax3x3

3xa0

11、已知关于x的不等式组b的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式

x

2

组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？

（江苏省竞赛试题）

B级

1、如果关于x的不等式ax30的正整数解为1，2，3那么a的取值范围是

（北京市”迎春杯“竞赛试题）

xa0

2、若不等式组有解，则a的取值范围是___________.

12xx2

（海南省竞赛试题）

3、已知不等式3xa0只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为.

（”希望杯“邀请赛试题）

2

4、已知12x11则1的取值范围为.

x

(“新知杯”上海市竞赛试题）

11

cab2c

6

35

5、若正数a，b，c满足不等式组abca，则a，b，c的大小关系是（）

23

511

bacb

24

A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、c＜a＜bD、不确定

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

6、一共（）个整数x适合不等式x2000x9999

A、10000B、20000C、9999D、80000

（五羊杯“竞赛试题）

7、已知m，n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是（）

A、70B、72C、77D、84

8、不等式xx5的解集为（）

5555

A、xB、xC、xD、x

2222

（山东省竞赛试题）

2x153x

9、已知1x,求x1x3的最大值和最小值.

32

（北京市”迎春杯”竞赛试题）

10、已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值

范围.

（天津市竞赛试题）

8n7

11、求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使成立.

15nk13

111

12、已知正整数a，b，c满足a＜b＜c，且1，试求a，b，c的值.

abc

专题16不等式（组）

例1C提示：解不等式组得32tx20，则5个整数解为x＝19，18，17，16，15.结合数轴分

11

析，应满足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤6t.

2

13m5n10

例2x提示：(2mn)xm5n，2mn0，，m0，13m45n.

452mn7

8

x

m1

例3m1或m3提示：解方程组得，由

62m

y

m1

x0

,得－1≤m≤0

y0

a0

3a2b5ca7c3

例4提示：由已知条件得,解得,m=3c－2.由b0

2ab13cb711c

c0

7c30

3715

得711c0,解得c,故m的最大值为,最小值为

711117

c0

x3x1x2

x4x2x3x12x2

例5先用x1和x2表示x3,x4，…，x7,得x5x3x42x13x2,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=2010.

xxx3x5x

64512

x7x5x65x18x2

201013x1113113

于是得x100(x).因为x2是自然数,所以(x)是整数，所以x1

22022012201

是10的奇数倍.又因为x1＜x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.

因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2+x3的最大值为2(x1+x2)=2×118=236.

例6解法一：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4②，由②知－4≤－a－b≤－1③，

①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1

要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0.∴a=1且b=0，此时8a+2003b=8.

1

m

mn12

解法二：设a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+(m－n)b,知,解得.

mn23

n

2

113313

而2ab,0ab,∴a－2b=ab+ab

222222

∴－2≤a－2b≤1

当a—2b最大时，a+b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此时8a+2003b=8.

A级

9

1.

10

x42a4a0

a2

2.11.1提示:原不等式组变形为b5由解集是0＜x＜2知b5,解得

x0b1

22

故a+b=2+(－1)=1

5

3.a＜－b＜b＜－a4.＜m＜7

2

5.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集为x＜－3知x+3＜0,

所以a－1＜0,得a＜1.

6.C7.B8.C9.k=2或3.

10.提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x＜－3.

a

x

3

11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，

bb

x

22

bbabab

所以其解不可能是x必有x，由整数解的情况可知21,23

223232

得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整数对(a,b)共有2×3=6对.

B级

3333

1.1a提示:由题意可知:x.由正整数解为1,2,3知34,解得1a

4aa4

xa

2.a≥－1提示:原不等式组变形为由不等式组有解知－a≤1,故a≥－1

x1

2

3.9≤a＜124.11

x

1758715

5.B提示:原不等式组变形为cabc3c,aabca,babcb.