初中数学自主招生难度讲义-9年级专题12 三角函数

专题12三角函数

阅读与思考

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题

时应注意以下两点：

1．理解同角三角函数间的关系．

（1）平方关系：sin2cos21；

sincos

（2）商数关系：tan，cot；

cossin

（3）倒数关系：tancot1．

2．善于解直角三角形．

从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形，

关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许

多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：

例题与求解

【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝19921993，则sinAcosC．

（河北省竞赛试题）

解题思路：通过计算，寻找BC2，AC2，AB2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函

数的定义解题．

【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．

求AD，BC的长．（精确到1m，31.732）

解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A，所以连结AC不

行．延长AD和BC交于一点E（如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；

或过点D作矩形ABEF（如图2）来求解．

【例3】如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重

1

合，折痕为MN．若tanAEN，DC＋CE＝10．

3

（1）求△ANE的面积；

（2）求sinENB的值．

1

解题思路：将tanAEN与DC＋CE＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平

3

道路．

【例4】如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出

发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上

的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．

（1）选择：两船相遇之处E点（）

A．在线段AB上

B．在线段BC上

C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）

（南京市中考试题）

解题思路：对于（2），过D作DF⊥CB于F，设DE=x，建立关于x的方程．

【例5】若直角三角形的两个锐角A，B的正弦是方程x2pxq0的两个根．

（1）那么，实数p，q应满足哪些条件？

（2）如果p，q满足这些条件，方程x2pxq0的两个根是否等于直角三角形的两个锐角

A，B的正弦？

（江苏省竞赛试题）

解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一

元二次方程，三角函数的知识与方法．

【例6】设a，b，c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3．求证：anbncn．

（福建省竞赛试题）

解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、

余弦的有界性来证明．

能力训练

A级

3

1．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC于E．若BD＝8，sinCBD，则AE

4

＝．

2．已知00900，则y54sinsin的最大值是，最小值是．

（上海市理科实验班招生考试试题）

3．如图，在△ABC中，∠C＝900，∠BAC＝300，BC＝1，D为BC边上的一点，tanADC是方

11

程3(x2)5(x)2的一个较大的根，则CD＝．

x2x

4．已知△ABC的两边长a＝3，c＝5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x24xm0的两

个正整数根之一，则sinA的值为．（哈尔滨中考试题）

5．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在

她家北偏东600距离500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）

500

A．250mB．2503mC．3mD．2502m

3

6．如图，在△ABC中，∠C＝900，∠ABC＝300，D是AC的中点，则cotDBC的值是（）

33

A．3B．23C．D．

24

（大连市中考试题）

7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航

行．半小时后到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是

（）（黄冈市中考试题）

A．72海里B．142海里C．7海里D．14海里

8．如图，四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，AD＝8，AB＝7，则BC＋CD等于（）

A．63B．53C．43D．33

9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB与支架CD所在直线

相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝300，另一

根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝600．

（1）求垂直支架CD的长度（结果保留根号）；

（2）求水箱半径OD的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：21.41,31.73）．

（扬州市中考试题）

111

10．若为锐角，求证：4．

sincossincos

（宁波市竞赛试题）

11．如图，已知AB＝CD＝1，∠ABC＝900,∠CBD＝300，求AC的长．

（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于点D，CD＝1．若AD，BD的长是关于x的方程

x2pxq0的两根，且tanAtanB2，求p，q的值并解此二次方程．

B级

1

1．若00300，且sinkm（k为常数，k＜0），则m的取值范围是．

3

37

2．设00450，sincos，则sin．（武汉市选拔赛试题）

16

5

3．已知在△ABC中，∠A，∠B是锐角，且sinA,tanB2，AB＝29cm，则△ABC的面积

13

等于．（“祖冲之杯”邀请赛试题）

4．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，

则有tanABM．（全国初中数学联赛试题）

ABAC

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝900,∠CAB＝300，AD平分∠CAB，则的值为（）

CDCD

3

A．3B．C．33D．623

3

（湖北省选拔赛试题）

6．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝450，

则tanAEB的值等于（）（天津市竞赛试题）

35

A．B．2C．D．3

22

AD

7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝900,∠CBD＝300，则＝（）

DC

32

A．B．C．21D．31

32

（山东省竞赛试题）

8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼

梯AD，BE和一段水平天台DE构成．已知天桥高度BC＝4.8米，引桥水平跨度AC＝8米．

（1）求水平天台DE的长度；

（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．（参考数据：

取sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）（长沙市中考试题）

9．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝53．若关于x的方程

(53b)x22ax(53b)0有两个相等的实根，又方程2x2(10sinA)x5sinA0

的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．

（武汉市中考试题）

10．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG

与CFH都是锐角．已知EGk,FHl,四边形EFGH的面积为S．

2S

（1）求证：