初中数学自主招生难度讲义-7年级专题15一次方程的应用（解析版）

专题15一次方程组的应用

阅读与思考

1、求代数式的值

一些表面与方程组无关的问题，借助相关概念、性质、对题意的理解等将问题转化为解方程组而获解

2、列方程组解应用题

不同的应用问题应采用不同的解决手段或方法，对于含有多个未知量的问题，利用方程组求解常常比

单设一个未知数建立一元方程容易，列方程组解应用题的步骤与列一元方程应用题的步骤类似，他们的

不同之处在于：

首先，列方程所解决的应用题中含有多个未知量，须设多个未知数，而列方程只能设一个未知数，其他

未知量只能用这一个未知数的代数式表示；其次，列方程组解应用题应列出彼此独立的方程来组成方程

组，而列方程解应用题只需列出一个方程.

例题与求解

【例1】小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一

辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，并且18路公交车总站每间隔固定时间发一辆车，

那么发车间隔的时间是__________分钟.

（2013年“《数学周报》杯竞赛试题）

解题思路：根据同向行驶的相邻两车的间距保持不变，且小王行走速度和公交车行驶速度是固定的，列

方程组分析.

【例2】如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积为（）

A、200平方厘米B、300平方厘米C、600平方厘米D、2400平方厘米

（黑龙江中考试题）

解题思路：设每块长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，则根据图形可列出关于x，y的二元一次方

程组.

【例3】某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内投进几个球人数分布情况.

进球n012345

投进n个球的人数1272

同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5

个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？

（上海市中考试题）

解题思路：已知两种进球情况下的人均进球数，根据平均每人投进的球数＝投进总球数/总人数列出方程

组.

【例4】某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天

完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的2/3，厂家需支付甲、丙

两队共5500元.

(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.

（天津市中考试题）

【例5】有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种1根，

乙种4根，丙种5根，共长36米，问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长多少米？

（天津市竞赛试题）

解题思路：三个未知量却只有两个等量关系，需运用相关的解方程组的技巧，如视某个变量为常量、整

体思想等.

【例6】星期天，妈妈带着小丁去买了2斤苹果核6斤橘子，共用去12元，妈妈说：”上星期天也是买

了2斤苹果核6斤橘子，也是花了12元，可是今天的苹果价格下调了，橘子价格上涨了，并且上涨和

下调的幅度相同.”试求上星期天苹果核橘子每斤的价格.

（2013年七年级数学应用与创新竞赛试题）

解题思路：设上星期天苹果每斤x元，橘子每斤y元，价格调整的幅度为m，列出方程组.

能力训练

A级

1、若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日

记本需要________元.

（浙江省绍兴市中考试题）

2、全国足球甲A联赛前12轮（场）的比赛后，前三名比赛成绩如下表，则每队胜乙场、平一场、负一

场分布的_________分

胜场平场负场积分

大连万达队82226

上海申花队65126

北京国安队57022

（江苏省南京市中考试题）

3、若x＋2y＋3z＝14，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z＝.

4、如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分

的面积为.

2

5、已知4xmnymnx7my1n是同类项，则m，n的值分别为（）

3

2965

A.m＝－1，n＝－7B.m＝3，n＝1C.m＝，n＝D.m＝，n＝－2

1054

6、某商店出售甲、乙两种商品，售价都是1800元，其中，甲商品能盈利20%，乙商品将亏损20%，如

果同时售出甲、乙商品个一件，那么（）

A、共盈利150元B、共亏损150元C、不盈利也不亏损D、以上答案都不对

（山东省竞赛试题）

7、方程x2y3xy11的整数解得个数是（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

8、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）

A、甲比乙大5岁B、甲比乙大10岁C、乙比甲大10岁D、乙比甲大5岁

（全国初中数学联赛试题）

9、某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（如图①），利用边角料裁出正方形和长方形两

种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等（如图②），现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片

全部用于这种小盒，求可做成甲、乙两种小盒各多少个？

（上海中考试题）

10、某超市为“开业三周年”举行店庆活动，对A、B两种商品实行打折出售，打折前，购买5件A商

品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元，而店庆期间，购买50件A商

品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？

（新疆乌鲁木齐中考试题）

11、项王故里的票价规定如下表：

购票人数1~50人51~100人100人以上

每人门票价5元4.5元4元

某校七年级甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游项王故里，如果两班都以班为单位

分别购票，则共付486元.

（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元？

（2）两班各有多少名学生？

（江苏省宿迁市中考试题）

12、甲、乙、丙三人各有糖若干块，要求相互赠送，先由甲给乙、丙，所给的糖的块数等于乙、丙原来

各自的糖块数，依同样的方法再由乙给甲、丙现有的糖块数；后由丙给甲、乙现有的糖块数，相互赠送

后，每人恰好各有糖64块，问三人原来各有糖多少块？

（天津市竞赛试题）

B级

1、设x，y满足x3y3xy19,2xy6，则x＝y＝

（“希望杯”邀请赛试题）

2、《数理天地》（初中版）月刊，全年12期，每期定价2.5元，某中学七年级组织集体订阅，有些学生

订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的改订半年，订半年的改订全年的时，则共

需订费1245元，则该中学七年级订阅《数理天地》的学生共有人

（“希望杯”邀请赛试题）

3、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，

40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水

机台.

（全国初中数学联赛试题）

4、购买五中数学用品A1，A2，A3，A4。A5的件数和用钱总数如下表：

件数

总钱数

品名A1，A2A3，A4A5

第一次购件数134561992（元）

第二次购件数1579112984(元)

则五种数学用品各买一件共需元.

5、买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元，则买5

支铅笔、5块橡皮、5本日记本需（）

A、20元B、25元C、30元D、35元

（江苏省竞赛试题）

6、在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47，61，60，那么这三个人中最

大年龄与最小年龄的差是（）

（“希望杯”邀请试题）

A、28B、27C、26D、25

7、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传送给接收文，接收方收到密文后，

解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a－2b，2a＋b，例如1，2对应的密文

为－3，4，当接收文收到密文是1，7时，解密得到的，明文是（）

A.－1，1B、1，3C、3，1D、1，1

8、在车站开始检票时，有a（a＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前

来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口，则需

30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候

检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅

客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？

（广东省广州市中考试题）

9、如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的

数字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求x，y的值

（“希望杯”邀请赛试题）

10、编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中把这个弹珠从篮子

1

A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号数的平均数等于原平均数加，B中弹珠号码数的平均数也等

4

1

于原平均数加，问原来在篮子A中有多少个弹珠？

4

（江苏省竞赛试题）

11、某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人

一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有多少人？

（2013年全国初中数学竞赛预赛试题）

专题15一次方程组的应用

例14提示：设18路公交车的速度为x米/分，小王行走的速度为y米/分，同向行驶的相邻两车间

6x6yS①，S

距离为S米，依题意得①＋②×2得S＝4x．所以间隔时间为4分钟．

3x3yS②.x

xy40,x30,

例2B提示：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．依图形可知解得故每

x3y,y10.

个长方形地砖的面积为30×10＝300cm2．

例3设投进3个球的有x人，投进4个球的有y人．依题意得

3x+4y52=3.5(xy2），x9,

解得

21+32+3x+4y=2.5(1+2+7+xy)，y3.

例4（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则

111

，

xy6

x10，

111

，解得y15，

yz10

z30．

1121

，

xz35

（2）设甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给c元，则

6(ab)8700，a800，

10(bc)9500，解得b650，

5(ac)5500，c300．

因10a＝8000元，15b＝9750元，故甲队单独完成此工程花钱最少．

例5提示：设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为x米，y米，z米，由题意得

2xy3z23①，

x4y5z36②，

①×2＋②×3，得7x14y21z＝154，即7(x2y3z)＝154，故x2y3z＝22米．

例6设上星期天苹果每斤x元，橘子每斤y元，价格调整的幅度为m，则

2x6y12①，

2x(1m)6y(1m)12②，

①－②，得2m(x3y)＝0．

∵m≠0，

∴x3y＝0，即x＝3y．

把x＝3y代入①中得，23y6y＝12，解得y＝1．

把y＝1代入x＝3y中，得x＝3．

故上星期天苹果每斤3元，橘子每斤1元．

A级

1．12提示：设1支圆珠笔x元，1本日记本y元，依题意

2xy4x1

可得，解得，故4支圆珠笔，4本日记本需要4x＋4y＝4×1＋4×2＝12.

x2y5y2

2.3，1，03.54.44cm25.B

6.B提示：设甲进价为x元，乙进价50为y元.则x·（1＋20%）＝1800，y·（1－20%）＝1800，解

得x＝1500，y＝2250.所以商店盈利为1800×2－（1500＋2250）＝－150，即商店亏损150元.

7.A

8.A提示：设甲、乙现在的年龄分别为x、y岁，则

y(xy)10x20

，解得.

x(xy)25y15

x2y150

9.甲、乙各30个、60个.提示：设可做成甲、乙两种小盒分别为x、y个，则.

4x3y300

5xy84x16

10.设打折前，1件A商品x元，1件B商品y元，则，解得，则5不打折时，

6x3y108y4

50件A商品和50件B商品需用50×16＋50×4＝1000元，而1000－960＝40元，故店庆期间，购

买50件A商品和50件B商品比不打折少花40元.

11.（1）74元.

（2）设甲班人数为x，乙班人数为y，则x＞y，令51＜x＜100，1＜y＜51，则

xy103x58

，解得.

4.5x5y486y45

12.三人各有104块、56块、32块.提示：列表反映数量关系.

B级

1

1.，5提示：①－②×2得－3x＋y＋|3x－y|＝17.

2

1

2x4y19x

故3x－y＜0.原方程组可变形为，解得2.

2xy6

y5

2.57

3.6提示：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，又

设每台抽水机每分钟可抽水c立方米（c≠0），

160

ac

a40b240c3

则，解得.

a16b416c2

bc

3

4.10005.C6.A7.C

8.设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检y人.5分钟内检票完

毕要同时开放n个检票口，

a

a30x30y①x

30aa

则a10x210y②，由①，②得，代入③得an，解得n≥3.5，即至少要

a63

a5xn5y③y

15

同时开放4个窗口.

9.易知y=28.设第一行所表示的数依次是a、b、c、b，第二行第4列的数字是d