初中数学自主招生难度讲义-7年级专题20情境应用（解析版）

专题20情景应用题

阅读与思考

强调数学应用，突出对应用意识的考查是现今各级考试的显著特点，随着社会不断进步，尤其是

改革开放以来我国社会主义市场经济的蓬勃发展，许多应用题也烙上了时代的印迹.这些应用题高度关注

社会热点，以丰富的生产、生活实践活动和多彩的市场经济为背景，具有鲜明的时代特点，常见的问题

有储蓄利息、商品利润、股票交易、价格控制、经济预算、企业决策、人口环境等.解决这些问题须注意：

1.理解相关词语的意义，熟悉基本关系式：

①利率=×100%，利息=本金×利率×存期；

本息和=本金+利息=本金×（1+利率×存期）；；

②利润率=×100%，利润=利润率×进货价；

售出价=进货价+利润=进货价×（1+利润率）；

③总成本=固定成本+可变成本.

2.在理解题意、理顺数量关系的基础上，用方程（组）、不等式（组）及相关数学知识解决问题.

例题与求解

【例1】某商店将某种超级DVD按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元出租费”的广告，

结果每台超级DVD仍获利208元，那么每台超级DVD的进价是元.

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：设未知数，利用售出价、进货价、利润之间的关系建立方程.

【例2】某人将甲、乙两种股票卖出，其甲种股票卖价1200元，赢利20%，其乙种股票卖价也是1200

元，但亏损20%，该人此次交易的结果是（）.

A.不赔不赚B.赚100元C.赔100元D.赚90元

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：要判断此人交易的结果，关键是计算出该人购买甲、乙两种股票的进价.

【例3】商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125%，现计划节日期间按原定售价让利

10%售出至多100件商品，而在销售淡季按原定售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日

和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？

（河北省竞赛试题）

解题思路：恰当引元，解题的突破口是把“至多”“至少”“赢利”等词语转化为对应的数学关系式.

【例4】某大型超市元旦假期举行促销活动，假定一次购物不超过100元的不给优惠，超过100元而不

超过300元时，按该次购物金额9折优惠，超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优

惠，小美两次购物分别用了94.5元和282.8元.现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么，

小丽应该付款多少元？

（海南省中考试题）

解题思路：先求出小美第二次购物的原价，再分情况讨论.

【例5】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5

年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购.投资者可以在以下两种购铺方案中作出

选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得得租金为商铺标价的10%.

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款.2年后每年可获得租金为商铺标价的10%.但要缴纳

租金的10%作为管理费用.

⑴请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×

100%）

⑵对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一、乙选择了购铺方案二.那么五年后两人获得的收益将相差5

万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？

（江苏省无锡市中考试题）

解题思路：在阅读理解的基础上，恰当地设未知数解决问题.

【例6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一

定金额后，按下表返还相应金额.

消费金额（元）300～400400～500500～600600～700700～800…

返还金额（元）3060100130150…

注：300～400表示消费金额大于300且小于或等于400.其他类同.根据上述促销方案，顾客在该商场购

物可以获得双重优惠.例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元.获得优惠额为400×

（1-80%）+30=110（元）.

⑴购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？

⑵如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价为多少

元？

（2013年江苏省南京市中考试题）

解题思路：⑴根据标价商品按80%价格出售，求出消费金额，再根据金额所在的范围，求出优惠

额.

⑵先设商品的标价为元，根据购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠不少于226元，来列出不

等式，再分类讨论，求出的取值范围，从而得到答案.

能力训练

A级

1.某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50%，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为.

（黑龙江齐齐哈尔市中考题）

2.某商品的标价比成本高，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不

得超过，则可用表示为.

3.某机关有三个部门，部门有公务员84人，部门有公务员56人，部门有公务员60人，如果每个部门

按比例裁减人员，使这个机关仅留公务员150人，那么部门留下的公务员的人数是.

（山东省济南中考试题）

4.某商品降价20%后欲恢复原价，则提价的百分数为（）.

A.18%B.20%C.25%D.30%

（湖北省数学竞赛选拔赛试题）

5.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据

需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）.

A.5种B.6种C.7种D.8种

（湖北省武汉市选拔赛试题）

6.某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为20%.若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品

的售价提高到每件仍可获利元.则提价后的利润率为（）.

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

7.某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润率由提高到，则值为（）.

A.12B.10C.17D.14

8.某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了件，为进一步扩大市场，

该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本.经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，

销量将提高10%，要使销售利润保持不变，该产品每件的成本应降低多少元？

（陕西省中考试题）

9．甲、乙两个仓库要向A,B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，

A地需70吨水泥，B地需110吨水泥。两库到A,B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/吨·千

米”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）：

路程（千米）运费（元/吨·千米）

甲库乙库甲库乙库

A地20151212

B地2520108

（1）设甲库运往A地水泥x吨，总运费为y,用x的代数式表示y。

（2）当甲、乙两库各运往A,B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

（内蒙古自治区呼和浩特市中考试题）

B级

1.某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了

标价为10000元的商品，共省了2800元，则用贵宾卡又享受了________________折优惠．

（辽宁省沈阳市试题）

2.某种商品的进货价为每件x元，为了适应市场竞争，商品按零售价的九折降价并让利40元销售，仍

可获利10%（相对于进价），则x=________．

3.某厂生产一种机械零件，固定成本为2万元，每件零件成本为3元，售价为5元，应纳税为总销售额

的10%。若要使纯利润超过固定成本，则该零件至少要生产________个．

（浙江省宁波市中考试题）

4.某商店购进一批水果共600千克，测得含水量为98%，存放一段时间后，再测得含水量为97%，此

时这批水果的重量为（）．

A.300千克B.400千克C.500千克D.570.36千克

当年产值-前一年产值

5.定义：一个工厂一年的生产增长率就是：100%

前一年产值

如果该工厂2003年的产值要达到2001年产值的1.44倍，而且每年的生产增长率都是x，则x等于

（）．

A.5%B.10%C.15%D.20%

6.某种产品由甲种原料a千克，乙种原料b千克配制而成，其中甲种原料每千克50元，乙种原料每千克

40元，后来调价，甲种原料价格上涨10%,乙种原料价格下降15%,经核算产品成本可保持不变，则a:b

的值是（）．

25655

A.B.C.D.

36534

7.某商场用2500元购进A,B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：

类别

A型B型

价格

进价（元/盏）4065

标价（元/盏）60100

（1）这两种台灯各购进多少盏？

（2）若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共

获利多少元？

（云南省昆明市中考试题）

8.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销

这种商品原来的利润率．

（全国初中数学竞赛试题）

9.为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户

一表的阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档

实行“提高电价”。具体收费情况如右折线图，请根据图像回答下列问题：

（1）当用电量是180千瓦时时，电费是_______元。

(2)第二档的用电量范围是___________.

(3)“基本电价”是___________元/千瓦时。

（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？

（2013年湖南省衡阳市中考试题）

10.已知甲、乙两种原料中含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：

A元素含量单价（万元/吨）

甲原料5%2.5

乙原料8%6

已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨。用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨。若某

厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万

元？．

（江苏省无锡市中考试题）

11.某企业计划将N万元资金（其中130N150）捐助n所希望小学，分配的办法依次是：给第一所

11

学校4万元及剩余款的；给第二所学校8万元及当前剩余款的；给第三所学校12万元及当前剩余

mm

11

款的；如此继续下去，即给第k所学校4k万元及所剩余款的，至第n所学校恰好分完，并且所有

mm

学校得到的款数相等，试求总捐款数N和学校数n（其中N,n,m,k都是正整数）．

（山西省太原市竞赛试题）

专题20情境应用题

例11200

例2C

例3426件．提示：设购进价为a元，按原定价至少售出x件(0＜x≤1000)，节日让利售出y件

(0≤y≤100)，则a×x×125%＋ay×125%×(1－10%)＋(1000－x－y)×a×125%×60%＞1000a，即4x＋3y＞2000，

而y≤100，得x＞425．

例4∵100×0.9≤90＜94.5＜100，300×0.9＝270＜282.8．

∴设小美第二次购物的原价为x元，则(x－300)×0.8＋300×0.9＝282.8，解得x＝316．

(1)若小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元，则小丽应付(316＋94.5－300)×0.8＋

300×0.9＝358.4元．

(2)若小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元，则小丽应付(316＋105－300)×0.8

＋300×0.9＝366.8元．

例5(1)设商铺标价为x万元，则按方案一购买，可获得投资收益(120%－1)x＋x·10%×5＝20%x＋

50%x＝0.7x．

0.7x

投资收益率为100%70%．

x

按方案二购买，可获得投资收益(120%－0.85)x＋x·10%×(1－10%)×3＝0.62x．

0.62x

100%72.9%．

0.85x

所以投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．

(2)设甲投资了x万元．由题意得0.7x－0.62x＝5，解得x＝62.5，62.5×0.85＝53.125万元．

例6(1)购买一件标价为1000元的商品，消费金额为1000×80＝800元．

顾客获得的优惠额为1000×(1－80%)＋150＝200＋150＝350元．

(2)设该商品的标价为x元．

当80%x≤500，即x≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×(1－80%)＋60＝185＜226；

当500＜80%x≤600，即625＜x≤752时，(1－80%)x≥26，解得x≥630．

所以630≤x≤750，

当600＜80%x≤800×80%，即750＜x≤800时，顾客获得的优惠大于750×(1－80%)＋130＝280＞226，

综上，顾客标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不小于226元．那么该商品的标价至少为630

元．

A级

100p

1．160元2．；3．45人4．C5．C

100p

6．C提示：设原进价为a元．提价后的利润率为x%．则m＝a·20%＝a(1＋25%)·x%＝16%．

7．D8．10.4元．

9．(1)y＝39200－3x．(2)甲库往A库运水泥70吨时，总运费最省．最省运费为37100元．

B级

1．九2．7003．133334．B5．D6．C

7．(1)A型台灯购进30盏，B型台灯购进320盏．(2)这批台灯全部售完后，商场共获利720元．

8．17%提示：设原进价为x元，销售价为y元