初中数学自主招生难度讲义-7年级专题08还原与对消（解析版）

专题08还原与对消

——方程的解与解方程

阅读与思考

解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得

方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随

机应变(灵活打乱步骤)地解方程．

方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用：

1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题．

2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．

当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一

元一次方程总可以化为ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范围确定．字母a，b的取

值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一

样；当字母a，b的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：

(1)当a≠0时，原方程有唯一解x＝b；

a

(2)当a＝0且b＝0时，原方程有无数个解；

(3)当a＝0，b≠0时，原方程无解；

例题与求解

[例1]已知关于x的方程3[x－2(x－a)]＝4x和3xa－15x＝1有相同的解，那么

3128

这个解是______．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

解题思路：建立关于a的方程，解方程．

[例2]已知a是任意有理数，在下面各说法中

(1)方程ax＝0的解是x＝1(2)方程ax＝a的解是x＝1

(3)方程ax＝1的解是x＝1(4)方程|a|x＝a的解是x＝±1

a

结论正确的个数是()．

A．0B．1C．2D．3

(江苏省竞赛试题)

解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a的任意性．

[例3]a为何值时，方程x＋a＝x－1(x－12)有无数多个解？无解？

326

解题思路：化简原方程，运用方程ax＝b各种解的情况所应满足的条件建立a的关系式．

[例4]如果a，b为定值时，关于x的方程2kxa＝2＋xbk，无论k为何值时，它

36

的根总是1，求a，b的值．

(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)

解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．

[例5]已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，

求代数式p2－q的值．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

解题思路：用代解法可得到p，q的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．

[例6](1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则

用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．

(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16

个数(如图②)．

①图中框出的这16个数的和是______；

②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可

能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．

1234567

891011121314

日一二三四五六15161718192021

22232425262728

12345

29303132333435

678910111236373839404142

13141516171819……

……

20212223242526199619971999200020012002

27282930

20032004

图①图②

(湖北省黄冈市中考试题)

解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每

两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于

是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a，用a表示出16个数之

和，若算出的a为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．

能力训练

A级

1．若关于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，则k＝______；若关于x的方

程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，则方程的解x＝______．

2．方程x－3[x－1(x－3)]＝3(x－3)的解是______．

447167

(广西赛区选拔赛试题)

3．若有理数x，y满足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，则x2＋y3＝______．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．若关于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有无数个解，则a＝______，b＝______．

(“希望杯”邀请赛试题)

5．已知关于x的方程9x－3＝kx＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝______．

(“五羊杯”竞赛试题)

6．下列判断中正确的是()．

A．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x同解

B．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x没有相同的解

C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解

D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解

7．方程x＋x＋…＋x＝1995的解是()．

122319951996

A．1995B．1996C．1997D．1998

8．若关于x的方程2xb＝0的解是非负数，则b的取值范围是()．

x1

A．b＞0B．b≥0C．b≠2D．b≥0且b≠2

(黑龙江省竞赛试题)

9．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则()．

A．a＋b＝0B．a－b＝0C．ab＝0D．a＝0

b

10．已知关于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0无解，则ab是()．

A．正数B．非正数C．负数D．非负数

(“希望杯”邀请赛试题)

11．若关于x的方程kx－12＝3x＋3k有整数解，且k为整数，求符合条件的k值．

(北京市“迎春杯”训练题)

|a|

12．已知关于x的方程x＋a＝x－1(x－6)，当a取何值时，(1)方程无解？(2)方程

326

有无穷多解？

(重庆市竞赛试题)

B级

1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解为a＋2，则方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解为

______．

2．已知关于x的方程ax＝bx3的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，则代数式b－a

23ab

的值是______．

3．若k为整数，则使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整数的k值有______个．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．如果1＋1＋1＋…＋1＝2003，那么n＝______．

2612n(n1)2004

(江苏省竞赛试题)

5．用※表示一种运算，它的含义是A※B＝1＋x，如果2※1＝5，

AB(A1)(B1)3

那么3※4＝______．

(“希望杯”竞赛试题)

6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，

则一块巧克力的质量是______克．

巧克力果冻50g砝码

第6题图

(河北省中考试题)

7．有四个关于x的方程

①x－2＝－1②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)

③x＝0④x－2＋1＝－1＋1

x1x1

其中同解的两个方程是()．

A．①与②B．①与③C．①与④D．②与④

8．已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整数解，则a

的值共有()．

A．1个B．3个C．6个D．9个

(“希望杯”邀请赛试题)

9．(1)当a取符合na＋3≠0的任意数时，式子ma2的值都是一个定值，其中m－n

na3

＝6，求m，n的值．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

(2)已知无论x取什么值，式子ax3必为同一定值，求ab的值．

bx5b

(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)

10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k(k是不等

于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？

(上海市竞赛试题)

11．下图的数阵是由77个偶数排成：

2468101214

16182022242628

30323436384042

……

142144146148150152154

第11题图

用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．

(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？

(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？

专题08还原与对消

----方程的解与解方程

272272a2272a

例1提示：两方程的解分别为x＝a和x＝，由题意知a＝，得

28721721

27222727

a＝.从而可以得到x＝a＝×＝.

877828

例2A提示：当a＝0时，各题结论都不正确.

例3提示：原方程化为0x＝6a－12

（1）当6a－12＝0，即a＝2时，原方程有无数个解.

（2）当6a－12≠0，即a≠2时，原方程无解．

例4原方程整理可得：(4x＋b)k＝12＋x－a．

∵无论k为何值时，它的根总是1．

∴x＝1且k的系数为0．

∴4＋b＝0，13－2a＝0．

13

∴a，b4．

2

例5提示：把x＝1代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97，

故p与5q之中必有一个数是偶数

（1）若p＝2，则5q＝95，q＝19，p2q15；

（2）若5q是偶数，则q＝2，p＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去；

因此p2q15．

例5（1）a－7，a，a＋7；

（2）①44×8＝352；a＋a＋a＋

a

②设框出的16个数中最小的一123

个数为a，则这16个数组成的正方形a＋7a＋8a＋9a＋10

方框如右图所示，因为框中每两个关a＋14a＋15a＋16a＋17

于正方形的中心对称的数之和都等于a＋21a＋22a＋23a＋24

2a＋24，所以这16个数之和为8×（2a

＋24）＝16a＋192．

当16a＋192＝2000时，a＝113；

当16a＋192＝2004时，a＝113.25．

∵a为自然数，∴a＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由

长方形阵列的排列可知，a只能在1，2，3，4列，则a被7整除的余数只能是1，2，

3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框

涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．

A级

55

1．0；2．x＝03．84．6；

46

17

5．10；26；8；－8提示：x，9k能被17整除，则9k1，或9k17

9k

11111

6．D7．B提示：原方程化为x11995

22319951996

8．D9．A10．B

3k1221

11．原方程的解为x3，

k3k3

显然k－3＝±1，±3，±7，±21，

即k＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．

12．提示：原方程化为1ax21a

（1）当a＝－1时，方程无解；

（2）当a＝1时，方程有无穷多解．

B级

7b3

1．10.52．提示：当x＝2时，代入得．

12a4

2001

3．16提示：x为整数，2001＝1×3×23×29，故k可取±1，±3，±23，±29，±3×23，

k1

±3×29，±23×29，±22001共16个值．

111111111

4．2003提示：

2612nn112233445nn1

11111111200311

＝11