初中数学自主招生难度讲义-8年级专题13三角形的基本知识

专题13三角形的基本知识

阅读与思考

三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题

来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论

等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.

解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题

及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.

应熟悉以下基本图形：

例题与求解

【例1】在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.

（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）

解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.

【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形

底边的长为（）

A.17cmB.5cmC.5cm或17cmD.无法确定

（北京市竞赛试题）

解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.

【例3】如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，

∠BGC=110°，求∠A的大小.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：运用凹四边形的性质计算.

【例4】在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.

（北京市竞赛试题）

解题思路：把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.

【例5】（1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？

（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n(n2)小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小

段都不能拼成三角形，试求n的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.

（江苏省竞赛试题）

解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a，b，c，且abc，由条件及三角形三边关系定理可

确定c的取值范围，从而可以确定整数c的值.

对于（2），因n段之和为定值150cm，故欲使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题

意可构造一个数列.

【例6】在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，

没有三点在一条直线上.问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角

形？

（天津市竞赛试题）

解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.

能力训练

A级

1.设a，b，c是△ABC的三边，化简abcabc=____________.

2.三角形的三边分别为3，12a，8，则a的取值范围是__________.

3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.

4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________.（“缙云杯“试题）

（第4题）（第5题）（第6题）

5.如图，已知AB∥CD，GM，HM分别是∠AGH，∠CHG的角平分线，那么∠GMH=_________.

（第7题）（第9题）

6.如图，△ABC中，两外角平分线交于点E，则∠BEC等于（）

11

A.(90A)B.90A

22

11

C.(180A)D.180A

22

7.如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，

交BC于H.下列结论：

1

①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC-∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.

2

其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①②③D.①②③④

8.已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

9.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）

1

A.∠A=∠1+∠2B.∠A=（∠1+∠2）

2

11

C.∠A=（∠1+∠2）D.∠A=（∠1+∠2）

34

（北京市竞赛试题）

10.一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）

A.1个B.3个C.5个D.7个

（北京市竞赛试题）

11.如图，已知∠3=∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°.

（河南省竞赛试题）

12.平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°.

（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小.

（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC.

图1图2

13.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D

位于线段BE上.

（1）证明：AB+AE＞DB+DE；

（2）证明：AB+AC＞DB+DC；

（3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论；

（4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论.

（加拿大埃蒙德顿市竞赛试题）

B级

1.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但不是最短边，这样的三角形的

个数有_______个.

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

2.以三角形的3个顶点和它内部的9个点共12个点为顶点能把原三角形分割成______个没有公共部分

的小三角形.

3.△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且有2∠B=5∠A，若∠B的最大值是m，最小值是n，

则mn___________.

（上海市竞赛试题）

4.如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_______.

（山东省竞赛试题）

（第4题）（第5题）

.如图，在△中，∠°，延长到，∠与∠的平分线相交于点，与

5ABCA=96BCDABCACDA1A1BC

的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小

A1CDA2A4BCA4CDA5A5

是（）

A.3°B.5°C.8°D.19.2°

6.四边形ABCD两组对边AD，BC与AB，DC延长线分别交于点E，F，∠AEB，∠AFD的平分线交于

点P.∠A=64°，∠BCD=136°，则下列结论中正确的是（）

①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；

④∠PEB+∠PFC=136°.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

7.三角形的三角内角分别为，，，且，2，则的取值范围是（）

A.3645B.4560C.6090D.4532

（重庆市竞赛试题）

8.已知周长小于15的三角形三边的长都是质数，且其中一边的长为3，这样的三角形有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

（山东省竞赛试题）

9.不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.

（第三十二届美国邀请赛试题）

10.设m，n，p均为自然数，满足mnp且mnp15，试问以m，n，p为三边长的三角

形有多少个？

1

11.锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足

4

此条件的所有锐角三角形的度数.

（汉城国际数学邀请赛试题）

12.如图1，A为x轴负半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，C（0，-2），D（-2，-2）.

（1）求△BCD的面积；

（2）如图2，若∠BCO=∠BAC，作AQ平分∠BAC交y轴于P，交BC于Q.

求证：∠CPQ=∠CQP；

（3）如图3，若∠ADC=∠DAC，点B在x轴正半轴上运动，∠ACB的平分线交直线AD于E，DF∥AC

BCF2DMF

交y轴于F，FM平分∠DFC交DE于M，的值是否发生变化？证明你的结论.

E

图1图2

图3

13.如图1，A(0,m)，B(n,0).且m，n满足m3(2n4)20.

图1图2

（1）求A，B的坐标；

（2）C为y轴正半轴上一动点，D为△BCO中∠BCO的外角平分线与∠COB的平分线的交点，问是否

1

存在点C，使∠D=∠COB.若存在，求C点坐标；

4

（3）如图2，C为y轴正半轴上A的上方一动点，P为线段AB上一动点，连CP延长交x轴于E，

ABOECO

∠CAB和∠CEB平分线交于F，点C在运动过程中的值是否发生变化？若不

F

变求其值；若变化，求其范围.

专题13三角形的基本知识

例1130°或50°例2B例380°提示：∠A＝2∠BGC－∠BDC

4

例4设∠C＝x°，则∠A＝(x)°，

7

11

∠B＝180°－∠C－∠A＝180°－x°

7

411

由∠A＜∠B＜∠C，得x＜180－x＜x．

77

4

解得70＜x＜84．∵x是整数，∴x＝77．

7

故∠C＝77°，则∠A＝44°，∠B＝180°－77°－44°＝59°．

ab30c

例5（1）不妨设a＜b＜c，则由，得10＜c＜15．

abc

∵c是整数，∴c＝11，12，13，14．

当c＝11时，b＝10，a＝9．

当c＝12时，b＝11，a＝7；b＝10，a＝8．

当c＝13时，b＝12，a＝5；b＝11，a＝6；b＝10，a＝7；b＝19，a＝8．

当c＝14时，b＝13，a＝3；b＝12，a＝4；b＝11，a＝5；b＝10，a＝6；b＝9，a＝7．

（2）这些小段的长度只可能分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…

但1＋1＋2＋5＋8＋13＋21＋34＋55＝143＜150，1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＋55＋89＞150，

故n的最大值为10.共有以下7种方式：

（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）；

（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）；

（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）；

（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）；

（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）；

（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）；

（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）.

例6解法1我们不妨先考察三角形内有1个点、2个点、3个点…的简单情况，有下表所示的关系：

三角形内点数1234…

连线得到的小三角形个数3579…

不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到3个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在某

一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是

可以推出，当三角形内有2008个点是，连线可得到小三角形的个数为：3＋2×（2008－1）＝4017

（个）.

解法2整体核算法

设连线后把原三角形分割成n个小三角形，则它们的内角和为180°·n，又因为原三角形内每一个点

为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方

程180n＝360×2008＋180，解得n＝4017，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角

形.

A级

1.2（b＋c）2.－5＜a＜－23.钝角4.180°

5.90°6.C7.D8.B9.B10.B

11.提示：过G作GH∥EB，可推得BE∥CF.

11

12.（1）∠AMC＝（∠ABC＋∠ADC）＝×（24°＋42°）＝33°

22

（2）∵AN、CN分别平分∠DAE，∠BCD，

∴可设∠EAN＝∠DAB＝x，∠BCN＝∠DCN＝y，∴∠BAN＝180°－x，设BC与AN交于S，∴∠BSA

＝∠CSN，∴180°－x＋∠B＝y＋∠ANC，①

同理：180°－2x＋∠B＝2y＋∠D，②

由①×2－②得：2∠ANC＝180°＋∠B＋∠D.

1

∴∠ANC＝（180°＋24°＋42°）＝123°.

2

13.（1）（2）略提示：