初中数学自主招生难度讲义-8年级专题06从地平面到脚手架-分式的运算

专题06从地平面到脚手架

------分式的运算

阅读与思考

分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等．

分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运

算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当

地通分，通分通常有以下策略与技巧：

1．分步通分，步步为营；

2．分组通分，化整为零；

3．减轻负担，先约分再通分；

4．拆项相消后通分；

5．恰当换元后通分，

学习分式时．应注意：

(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形；

(2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．

分式问题比起整式问题，增加了几个难点；

(1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；

(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序；

(3)需要考虑字母的取值范围，

例题与求解

(m1)(m3)

【例1】m＝_________时，分式的值为0.

m23m2

（杭州市中考试题）

解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式m1就不为0．

111

【例2】已知abc1，以abc2，a2b2c23，则

abc1bca1cab1

的值为()．

12

A.1B．C．2D．

23

（太原市竞赛试题）

解题思路：不宜直接通分，运用已知条件abc2，对分母分解因式，分解后再通分.

【例3】计算：

112a4a3

(1)

ababa2b2a4b4

（武汉市竞赛试题）

ab11a23b2

(2)

a3a2bab2b3a3a2bab2b3a2b2a2b2a4b4

（天津市竞赛试题）

x31x312(x21)

（3）

x32x22x1x32x22x1x21

（赣州市竞赛试题）

b2a2ba

222

（4）abab

b3a3bab2a2

3()2

a3b3aba2b2

（漳州市竞赛试题）

解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略

baba

与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于或的代数式，考虑设x，y，则xy1，通过

abab

换元可降低问题的难度．

当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题

的分解策略．解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组

分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.

【例4】求最大的正整数n，使得n3100能被n＋10整除．

（美国数学邀请赛试题）

解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决.

类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与

分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种．

ab1bc1ca1abc

【例5】已知，，，求的值．

ab15bc17ca16abbcca

（太原市竞赛试题）

111

解题思路：设法求出的值．

abc

【例6】(1)设a，b，c均为非零实数，并且ab2(ab)，bc3(bc)，ca4(ca)，则abc

等于多少？（北京市竞赛试题）

(2)计算：

1222k2992

121005000222005000k2100k500099299005000

（上海市竞赛试题）

解题思路：对于(1)，通过变换题中等式，即可列出方程组，解得a，b，c的值；对于(2)，仔细

观察，即可发现其中规律．

A级

1

1．要使分式有意义，则x的取值范围是________.

1x

x

x211

2．代数式y的值为整数的全体自然数x的和是________.

x1

（全国初中数学联赛试题）

222x18

3．已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为________.

x33xx29

（“希望杯”邀请赛试题）

1112x3xy4y

4．若，则＝________.

x2y3x3xy2y

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

5．关于分式，下列四种说法中正确的是().

A．含有分母的代数式叫做分式

B.分式的分母、分子同乘以（或除以）2a＋3，分式的值不变

x21

C．当x2时．分式的值为

x244

x

D．分式的最小值为零

x21

（重庆市竞赛试题）

(x8)(x1)

6．已知分式的值为零，则x的值为().

x1

A．±1B．－lC．8D.－l或8

（江苏省竞赛试题）

6x3

7.若x取整数，则使分式的值为整数的x值有()．

2x1

A.3个B．4个C．6个D．8个

（江苏省竞赛试题）

mn8x

8．若对于±3以外的一切数均成立，则mn的值是()．

x3x3x29

A.8B．－8C．16D．－16

9．计算：

11248

(1)；

1x1x1x21x41x8

11abab

(2)；

ababa2abb2a2abb2

bccaab

(3)；

a2abacbcb2bcabacc2acbcab

1111

(4)

x(x1)(x1)(x2)(x2)(x3)(x99)(x100)

abbcca(ab)(bc)(ca)

(5)

abbcca(ab)(bc)(ca)

1111x2

10．当x分别取，，…，，1，2，…，2006，2007，时．求出代数式的值，

2007200621x2

将所得结果相加求其和.

（全国初中数学联赛试题）

11111111

11．已知，求证：

abcabca2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1

（波兰奥林匹克试题）

xyzuxyyzzu1ux

12．已知，则的值．

yzuzuxuxyxyzzuuxxyyz

（北京市竞赛试题）

B级

ax7

1．如果使分式有意义的一切x的值，都使这个分式的值是一个定值，那么a，b应满足的

bx11

条件是__________.

3x22x1ABxC

2．已知，其中A，B，C为常数，则B＝__________.

(x1)(x22)x1x22

（“五羊杯”竞赛试题）

1111

3．设正整数m，n满足m＜n且，则mn＝

m2m(m1)2(m1)n2n23

__________.

（“宇振杯”上海市竞赛试题）

3x26x5

4．当x＝_______时，分式有最小值，最小值是__________.

1

x2x1

2

（全国初中数学联赛试题）

115ba

5．已知，那么代数式的值是()．

ababab

1

A．5B．7C．3D．

3

11ab

6．已知a，b满足ab＝1，记M，NN，则M，N的关系为()．

1a1b1a1b

A.M＞NB．M＝NC．M＜ND．不确定

（全国初中数学联赛试题）

abcabcabc

7．以a，b，c为非零实数，且abc0，若，解

cba

(ab)(bc)(ca)

等于()

abc

A.8B．4C．2D．1

（天津市竞赛试题）

111

8．已知有理数a，b，c满足abc0，abc＜0，那么的值是()．

abc

A.正数B．零C．负数D．不能确定

（“希望杯”邀请赛试题）

9．化简：

11111111111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

abacabdabcabcd

(yx)(zx)(zy)(xy)(xz)(yz)

(2)

(x2yz)(xy2z)(xy2z)(yz2x)(yz2x)(x2yz)

10.n为自然数，若n6n31996，则称n为1996的吉祥数，如46431996，4就是1996

的一个吉祥数，试求1996的所有吉祥数的和．

（北京市竞赛试题）

11.用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x(x≥1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本

1

次清洗前残留的农药量之比为．

1x

现有a（a≥2）单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方

法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由．

（孝感市中考试题）

12.已知正整数n大于30，且使得4n1整除2002n，求n的值.

专题06从地平面到脚手架----分式的运算

例13

例2D提示:abc1(a1)(b1），bca1(b1)(c1），cab1(c1)(c1），再代入原式

化简即解.

722

例3(1)8a(2)0(3)0(4)ba提示(1)分步通分；(2)分组通分；(3)约分后再通分.

a8b8b2a2

n3100900

例4890提示:n210n100为整数.

n10n10

111111111

例5由已知得15,17,16,三式相加得248.

abbccaabc

1

原式=24

111

abc

111111

例6(1)对已知三式取倒数,得,,.

ab2(ab)bc3(bc)ca4(ca)

1111111112424

∴,,,解得:a,b,c24.

ab2bc3ca457

24241128

∴abc24.

5735

n2(100n)22n2200n10000

(2)2,而

n2100n5000(100n)2100(100n)5000n2100n5000

502

1,∴原式=492199.

502501005000

A级

1.x≠0且x≠±1

x211212

2.y==x-1+，即x+1/12.

x1x1

X可取值为1，2，3，5，11，∴全体自然数x的和为22.

5

3.124.5.D6.C7.B.

11

mn8

8.D提示：由已知得（m-n）x-3（m+n）=8x，则

mn0

166ab42100

9.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）0

1x16a6b6caxx100

2

1

1

1x2x

取值成对互为倒数，先计算：，故其和为

10.22=00.

1x1

1

x

1111abab

11.由条件得：，.

ababccababcc

∴ababcabc0，即abbcac0，∴a=-b，或b=-c，或c=-a.

1111

不妨设a=-b，则a2n1b2n1，左边=；

b2n1b2n1c2n1c2n1

11

右边=，故等式成立.

b2n1b2n1c2n1c2n1

xyzuxyzuxyzuxyzu

12.由条件得：=.

yzuzuxuxyxyz

（1）若x+y+z+u≠0，则由分母推得x=y=z=u，原式=1+1+1+1=4.

（2）若x+y+z+u=0，则x+y=-（z+u），y+z=-（u+x），原式=（-1）+（-1）+（-1）+（-1）=-4.

B级

7

1.11a-7b=02.

3

3.（23-m）（n+24）=529∴23-m=1，n+24=529∴m=22，n=505m+n=5274.-1，4

5.C6.B7.A8.A

11111111111

9.原式=-1+1+1+1+11+111

a