初中数学自主招生难度讲义-8年级专题27面积法

专题27面积法

阅读与思考

平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．

所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方

法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借

助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．

用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到

一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．

下列情况可以考虑用面积法：

（1）涉及三角形的高、垂线等问题；

（2）涉及角平分线的问题．

例题与求解

【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这

个等边三角形的边长为______________．

(全国初中数学联赛试题)

解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．

等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？

【例2】如图，△AOB中，∠O＝900，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB

2

上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于()

5

A．3：1B．2：1

C．3：2D．5：3

解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解

决．

【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，

求证：∠BGC＝∠DGC.

（长春市竞赛试题）

解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．

【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.

PDPEPF

求证：（1）1；

ADBECF

PAPBPC

（2）2.（南京市竞赛试题）

ADBECF

解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.

【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，

ADBDCDADBDCD

且1994，求的值.

DEDFDPDEDFDP

解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.

（黄冈市竞赛试题）

【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且

AEBFCGDH

k（k是正数），求四边形EFGH的面积．

EBFCGDHA

（河北省竞赛试题）

解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．

线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：

(1)等高三角形面积比，等于它们的底之比；

(2)等底三角形面积比，等于它们的高之比；

(3)相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．

能力训练

1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.

（福建省中考试题）

2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝a，AB＝b，则

CE＝__________.

（南宁市中考试题）

第1题图第2题图第3题图

3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该

八边形的面积为____________.

（江苏省竞赛试题）

在△中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，

4.ABCa3b4c6haahbhc

111

则＋＋的值为（上海市竞赛试题）

(hahbhc)____________.

hahbhc

5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图

中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.

（全国竞赛试题）

6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是()．

A.1923B.1903C.1943D.1963

（湖北省黄冈市竞赛试题）

第5题图第6题图第7题图

7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝600，AC＝3，AB＝6，则AD的长

是()．

11

A．2B.2C.3D.3

22

8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所

成的个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是．

7S1S2S3S4S5S6S7()

A.S2+S6=S4B.S1+S7=S4

．

C.S2+S3=S4DS1+S6=S4

．已知等边△和点，设点到△三边，，的距离分别为，，，△

9ABCPPABCABACBCh1h2h3ABC

的高为．若点在一边上（如图），此时，可得结论：＋＋＝

hPBC1h30h1h2h3h.

请直接用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？

若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．

h1h2h3h

（黑龙江省中考试题）

10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P

点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝x，PE＝y，PF＝z，若xyyzzx28，求xyz的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.

（加拿大数学奥林匹克试题）

12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点.P，Q，R分别是△ADF，

△BDE，△CEF的三条中线的交点.

(1)求△DEF与△ABC的面积比；

(2)求△PDF与△ADF的面积比；

(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比.

BECFDGAH

13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使m，

ABBCCDDA

若，求的值．

S四边形EFGH2S四边形ABCDm（上海市竞赛试题）

BDCEAF

14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：1．

DCEAFB

（梅涅劳斯定理）

DCEAFB1S

15．如图，在△ABC中，已知，求GHI的值.

DBECFA2SABC

（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

专题27面积法

3

例163提示：1+3+5=BC

2

例2B提示：作FG⊥OA于点G，则△CFG≌△DCO。于是CG=DO，OC=GF=AG，设OC=m，OD=n，

OA=OB=a，CD=x。则a2mn,x2m2n2（勾股定理），由题设知

2111

x2a2a2即m2n2(2mn)2，化简得m24mn4n20，即(m2n)20，∴

5255

m2n0，即m：n=2：1，故选B

1

例3提示：连接EC，FC，则SSS，过C点分别作BE，DF的垂线，Q，P分别为

BECDFC2ABCD

垂足，推得CQ=CP。

例4（1）分别过P，A作BC的垂线，垂足为P1，A1。

1

BCPP

S1PPPD

则PEC21，

S1AAAD

ABCBCAA1

21

DESPFSPDPEPFSSS

同理，PCA，PAB，故PBCPCAPAB1。

BESABCCFSABCADBECFSABC

PDADPAPAPBPEPCPF

（2）∵1，1，1，

ADADADBEBECFCF

PAPBPCPDPEPF

∴3()2

ADBECFADBECF

ADBDCD111

例5设x,y,z，则由上例得1，将上式去分母，化简整理得

DEDFDP1x1y1z

ADBDCD

xyzxyz21996，即1996。

DEDFDP

CGDHDHkHADG1

例6连接AC，AG，由k，得，，

GDHADAk1DADCk1

SDHSHA1

∵DHGk,AHG

SAHGHASADGDAk1

1

∴SkS,SS,

DHGAHGAHGk1AGD

SDG1k

又AGD∴

,SDHG2SDAC,

SDACDCk1(1k)

k

同理，SS

BEF(k1)2BAC

kkk

故

SDHGSBEF2(SDACSBAC)2S四边形ABCD=2

k1k1k1

k

连接，同理，

BDSAEHSCFG2

k1

2kk21

故

S四边形EFGHS四边形ABCD(SAEHSBEFSCFGSDHG)=122

k1k1

能力训练

83ab

1.5cm2.

59a24b2

3.428663提示：△PRQ，△PRT为直角三角形，

SETFSGHRSABQSCDP2SPQRT

39

4.

4

5.9提示：延长AC到点F，使CF=CD，连接BF。易证△DCE≌△FCB，所以它们的面积相等，又

，所以，即，同理可知，其他两个三角形的面积也与△的面积

CF=CASBCFSABCSDCESABCABC

1

相等，而只有当∠BAC=90°时，S的最大值为233，∴三个阴影部分的面积和最大为9.

ABC2

6.A7.A

提示：设，，到的距离分别为，易知，则

8.BAMBDCha,hm,hbhahb2hm

111

SShhCDhDCS，故选B.

ADNBNC2ab22mDMC

当点在△内时，结论仍成立；当点在△外时，结论不成

9.PABCh1h2h3hPABCh1h2h3h

立，它们的关系是

h1h2h3h

666

10.提示：由例4的结论，得2，将此式去分母，并化简整理得：

6x6y6z

xyz1083(xyyzxz)10832824.

11.证明△ABE≌△DEA即可.

SAD2SAF12

（）连接，则ADF，ABF，两式相乘得，同理可得：

12.1BFSADFSABC

SABFAB3SABCAC39

22S1

，，而，得，即DEF

SBDESABCSCEFSABCSDEFSABCSADFSBDESCEF.

99SABC3

SPD2

（2）延长DO交AC于点M，点P是△ADF三条中线的交点，PDF,

SMDFMD3

SMF1S1

MDF，两式相乘得PDF

SADFAF2SADF3

112

（3）同理SS，SS,故SSSS，

QDE3BDEREF3EFCPDFREFQDE27ABC

5S多边形PDQERF5

，故

S多边形PDQERFSPDFSQDFSREFSDEFSABC.

9SABC9

连，，及对角线则，

13.GAHBEC,FDAC,BD,SHAEm1SHABm1mSABD

同理，得，

SFCGmm1SBCDSHAESFCGm(m1)SABCD