2025版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.5第1课时椭圆及其性质教学案苏教版

PAGE1-第五节椭圆[最新考纲]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.驾驭椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简洁应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2eq\O([常用结论])1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1.2．焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.5．椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线的斜率)．一、思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． ()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ()(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1A[设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r(a2－c2)＝4，故点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.故选A.]2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2)－1,2)C．2－eq\r(2) D.eq\r(2)－1D[法一：设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，依题意，明显有|PF2|＝|F1F2|，则eq\f(b2,a)＝2c，即eq\f(a2－c2,a)＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0<e<1，解得e＝eq\r(2)－1.故选D.法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2eq\r(2)c.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2eq\r(2)c＋2c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.故选D.]3．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是．(3,4)∪(4,5)[由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k＞0，,k－3＞0，,5－k≠k－3.))解得3＜k＜5且k≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为eq\f(1,2)，则椭圆的标准方程为．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c＝2，,b2＝3，))故椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]第1课时椭圆及其性质考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内肯定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆(2)F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2)D.eq\f(7\r(5),2)(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)由题意得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.∴|AF1|＝eq\f(7,2)，∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).]本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．[老师备选例题]设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上随意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为．－5[由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝eq\r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝.3[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]考点2椭圆的标准方程定义法先依据题目所给条件确定动点的轨迹满意椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特殊地，利用定义法求椭圆方程要留意条件2a＞|F1F2|.1.在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)A[由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．]2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.]利用定义法求轨迹方程时，留意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘如不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后依据条件建立关于a，b的方程组．假如焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆方程为．eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(2)m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴椭圆方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.]2．过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为．eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1[法一：椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(eq\r(3)，－eq\r(5))在所求椭圆上，∴eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，则eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.]3．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．x2＋eq\f(3,2)y2＝1[不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5c,3)，－\f(b2,3)))，代入x2＋eq\f(y2,b2)＝1得eq\f(25c2,9)＋eq\f(b4,9b2)＝1.又c2＝1－b2，∴b2＝eq\f(2,3).故椭圆E的方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为eq\f(2b2,a).考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．(1)已知椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8 B．7C．6 D．5(2)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为．(1)A(2)eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1[(1)因为椭圆eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.(2)椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝eq\f(1,3)×2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，所以此椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.]求离心率的值(或范围)求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)(2024·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满意|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是．(1)D(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))[(1)由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，eq\r(3)c)．∵点P在过点A，且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故选D.(2)因为椭圆C上的点P满意|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，所以|PF1|＝eq\f(3,2)×2c＝3c.由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得eq\f(1,4)≤eq\f(c,a)≤eq\f(1,2).所以椭圆C的离心率e的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).]本例(2)在求解时运用了隐含条件“a－c≤|PF1|≤a＋c”．特殊地，在求与椭圆的相关量的范围时，要留意常常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．1.(2024·昌平二模)嫦娥四号月球探测器于2024年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星放射中心放射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺当进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为()A.eq\f(1,25)B.eq\f(3,40)C.eq\f(1,8)D.eq\f(3,5)B[如图，F为月球的球心，月球半径为：eq\f(1,2)×3476＝1738，依题意，|AF|＝100＋1738＝1838，|BF|＝400＋1738＝2138.∴2a＝1838＋2138，即a＝1988，∴a＋c＝2138,c＝2138－1988＝150，故椭圆的离心率为：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(150,1988)≈eq\f(3,40)，选B.]2．已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B[∵F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，∴0<e<1，F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))整理得，x2＝(2c2－a2)·eq\f(a2,c2)≥0，解得e≥eq\f(\r(2),2).又0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.]与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(1)(2024·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满意∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)(2)(2024·烟台模拟)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的随意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()A．2 B．3C．6 D．8(1)A(2)C[(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(m)，tanα＝eq\f(\r(3),\r(m))≥tan60°＝eq\r(3)，∴0＜m≤1.图1图2②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(3)，tanα＝eq\f(\r(m),\r(3))≥tan60°＝eq\r(3)，∴m≥9.综上，m的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.(2)由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴y2＝3－eq\f(3,4)x2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))有最大值6.]本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以快速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采纳了先建模，再借助椭圆中变量x(y)的有界性解模的思路．[老师备选例题]1．(2024·深圳模拟)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)D[法一：(干脆法)如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝2c·tan30°＝eq\f(2\r(3)c,3).∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\f(4\r(3)c,3)＋eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，可得eq\r(3)c＝a.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝eq\r(3).∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).故选D.]2.如图，焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(1,2)，F