第一章3乘法公式第1课时

第一章

整式的乘除3乘法公式第1课时

平方差公式利用乘法分配律计算：(1)(x＋2)(x－2)＝

；

(2)(x＋y)(x－y)＝

；

(3)(3a＋1)(3a－1)＝

。

9a2－1

x2－y2

知识储备

x2－4

『思考』仔细观察上述3个等式，分别比较各等式等号两边的代数式，它们在系数和字母方面各有什么特点？知识点❶

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2。即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。

几何验证：(教材P19·改编)(1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积可以表示为S大正方形－S小正方形，即

；若将图1中的阴影部分沿虚线裁剪下来，重新拼成如图2所示的长方形，则它的长为

，宽为

，

面积为长×宽，即

。

(2)根据图1与图2中阴影部分的面积相等，可以得到等式

。

(a＋b)(a－b)＝a2－b2

(a＋b)(a－b)

a－b

a＋b

a2－b2

典例1

(教材P18例1·改编)计算：(1)(m＋10)(m－10)；(2)(5＋6x)(5－6x)；

(2)原式＝52－(6x)2＝25－36x2。解：(1)原式＝m2－102＝m2－100。(3)(2x－1)(2x＋1)；(4)(－m＋n)(－m－n)。

(4)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2。＝(2x)2－12＝4x2－1。(3)原式＝(2x＋1)(2x－1)变式1

(教材P18例2·改编)计算：(1)(3x＋5y)(3x－5y)；(2)(－y－5)(y－5)；

＝－(y2－52)＝－y2＋25。(2)原式＝－(y＋5)(y－5)解：(1)原式＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2。

(3)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64。

典例2用平方差公式进行计算：108×112。

＝12

096。＝1102－4＝(110－2)(110＋2)利用平方差公式进行计算

解：108×112知识点❷变式2用平方差公式进行计算：59.8×60.2。

＝3

600－0.04＝3

599.96。＝602－0.22＝(60－0.2)(60＋0.2)解：59.8×60.2变式3计算：(3－x)(3＋x)＋x(x－2)。

＝9－2x。＝9－x2＋x2－2x典例3计算：(x＋1)(x－1)－(x2－2)。

解：(3－x)(3＋x)＋x(x－2)＝x2－1－x2＋2解：(x＋1)(x－1)－(x2－2)＝1。1．下列多项式相乘，能利用平方差公式进行计算的是(

)A．(x＋y)(－x－y) B．(m－n)(n－m)C．(2x＋3y)(2x－3z) D．(－a－b)(a－b)

D

3．若x＋y＝9，x－y＝3，则x2－y2＝

。

2．计算：(1)(x＋9)(x－9)＝

；

(2)(3＋y)(3－y)＝

；

(3)(2m－n)(2m＋n)＝

；

(4)(2－3x)(－2－3x)＝

。

27

9x2－4

4m2－n2

9－y2

x2－81

＝x2y2－64。解：(1)原式＝(xy)2－82

(3)(0.5a－0.2b)(0.2b＋0.5a)。

＝0.25a2－0.04b2。(3)原式＝(0.5a－0.2b)(0.5a＋0.2b)5．计算：20242－2023×2025。

＝1。

＝2

0242－2

0242＋1＝2

0242－(2

0242－1)＝2

0242－(2

024－1)(2

024＋1)解：2

0242－2

023×2

0256．试说明式子(－a＋3)(a＋3)－a(1－a)＋a的值与a的取值无关。

所以式子

(－a＋3)(a＋3)－a(1－a)＋a的值与a的取值无关。因为计算结果中不含字母a，＝9。＝9－a2－a＋a2＋a解：原式＝(3＋a)(3－a)－(a－a2)＋a7．【核心素养·几何直观】如图，把一块面积为100的大长方形木板分割成2个大小一样的大正方形①、1个小正方形②和2个大小一样的小长方形③。已知每个小长方形③的面积为16，则小正方形②的面积是

。

12

1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是(

)A．(－a－b)(－b＋a)B．(xy＋z)(xy－z)C．(－2a－b)(2a＋b)D．(0.5x－y)(－y－0.5x)

C

A

3．在下列各式中，运算结果是x2－36y2的是(

)A．(－6y＋x)(－6y－x)B．(－6y＋x)(6y－x)C．(x＋4y)(x－9y)D．(－6y－x)(6y－x)

D

图1图2

C

(4)(－4k＋3)(－4k－3)；

(2)(3a＋2b)(3a－2b)；

(4)原式＝(－4k)2－32＝16k2－9。(1)(a＋7)(a－7)；

5．(教材P19练习T1·改编)计算：(3)(－x－1)(1－x)；

(3)原式＝(－x)2－12＝x2－1。

(2)原式＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2。解：(1)原式＝a2－72＝a2－49。(6)(x＋2)(x－2)－x(x＋1)。

(5)(3x2y－4)(－3x2y－4)；

(6)原式＝x2－4－x2－x＝－x－4。＝－9x4y2＋16。(5)原式＝－(3x2y－4)(3x2y＋4)6．利用平方差公式计算：20242－20252＝

。

－4

049

(1)501×499＋1；

＝250

000。＝5002＝5002－1＋17．计算：解：(1)原式＝(500＋1)(500－1)＋1(2)1122－113×111。