函数的单调性课件-高二下学期数学人教A版选择性

5.3.1函数的单调性复合函数的导数法则

结构特点

复习回顾巩固练习课本P81课本P81解：函数

是与的复合函数则

它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s.1、判断函数单调性的方法有哪些复习回顾(1)图像法(2)定义法(3)增+增=增，减+减=减(4)复合函数同增异减2、函数单调性的定义是什么？复习回顾

abxy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)<

abxy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)>

单调函数的图像特征D=(a,b)D称为单调区间新课引入

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.

在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢本节我们就来讨论这个问题.利用导数研究函数的单调性.微积分中重要的思想方法——以直代曲h(t)=-4.9t2+2.8t+11新知探究

thaOb

(1)thaOb

(2)导数与函数的单调性的关系新知探究

thaOb

(1)thaOb

(2)问题1运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？aabbttvhOO(1)(2)①h(t)↗②h(t)↘①h(t)>0②

h(t)＜0新知探究

增区间为增区间为减区间为增区间为减区间为

和观察下面一些函数图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.合作探究如图，导数

表示函数y=f(x)的图象在点

处的切线的斜率.在

处，，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在附近单调递增

aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常数函数.

问题1:f′(x)＞0(或f′(x)<0)是f(x)为增函数(或减函数)的什么条件f'(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定成立.如:f(x)＝x3在R上单调递增，但f'(x)＝3x2≥0.∴f'(x)＞0(或f′(x)<0)是f(x)为增函数(或减函数)的充分不必要条件.f(x)为增函数，一定可以推出f'(x)≥0，但反之不一定成立，∵f'(x)≥0，即为f'(x)＞0或f'(x)＝0.当函数在某个区间内恒有f'(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性.∴f'(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.问题2：f'(x)≥0是f(x)为增函数的什么条件

请大家做资料64页练习例1！利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题二、函数与其导函数图像间的关系例2：已知导函数f’(x)的下列信息:当1<x<4时,f’(x)＞0，当x<1,或x>4

时,f’(x)＜0试画出函数f(x)的图象的大致形状.当x=4,或x=1时,,f’(x)＝0xyO14归纳：原函数看“单调”，导函数看“正负”.解：当1<x<4时,f'(x)>0,可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；当x<1,或x>4时，f'(x)<0,可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)上都单调递减；当x=1,或x=4时，f‘(x)=0,这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.xyO1432-3C2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是()

xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C3.设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()14.(2020·铜仁高二检测)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式xf′(x)>0的解集为________.

三、利用导数求函数的单调区间

++-单调递增单调递增单调递减所以，f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，如图所示.小结：利用导数求函数的单调区间的一般步骤:

②导数法求得的单调区间一般用开区间表示．练习1、求函数的单调区间。解：的单调递增区间为单调递减区间为练习2、求函数

的单调区间。

练习2、求函数

的单调区间。

解:函数的定义域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的递增区间是:

递减区间是:经常用到什么方法求根呢？学习反思利用导数求函数单调区间一般步骤：思考总结：含参的单调性一般步骤1、求导化简后的导函数是什么类型（一次型、二次型等）的函数，特别注意最高次数项是否含参，若有就要思考参数对函数的类型影响进行分类；2、求根方法：（1）导函数是否可以因式分解，若可以用因式分解法求根；

（2）一般情况导函数都是二次函数的，就用公式法求根；

（Ⅰ）若用求根公式，则要思考参数对是否有根的影响。3、参数对根的大小的影响，由根的大小及定义域区间的关系确定导数的正负来定出单调区间。探究：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.

幂函数y=x3导数为y‘=3x2>0(x∈(0,+∞)),所以y=x在区间(0,+∞)上单调递增，当x越来越大时,y'=3x2越来越大,函数y=x3递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”(如图(2)).四、函数变化快慢与导数的关系

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓。导数与函数图象的关系函数值减少得越来越快f′(x)<0且越来越小,绝对值越来越大函数值减少得越来越慢f′(x)<0且越来越大,绝对值越来越小函数值增加得越来越慢f′(x)>0且越来越小函数值增加得越来越快