公务员考试-逻辑推理模拟题-逻辑与数学-群论的基本概念

PAGE1.以下哪个选项是群的四个基本性质之一？

-A.结合律

-B.分配律

-C.交换律

-D.幂等律

**参考答案**:A

**解析**:群的四个基本性质包括封闭性、结合律、单位元和逆元。分配律、交换律和幂等律不是群的基本性质。

2.设\(G\)是一个群，\(e\)是单位元，\(a\)是\(G\)中的一个元素，以下哪个选项正确描述了逆元的性质？

-A.\(a\cdota^{-1}=a\)

-B.\(a\cdota^{-1}=e\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**参考答案**:B

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)满足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是单位元。

3.以下哪个集合在加法运算下构成一个群？

-A.所有正整数

-B.所有整数

-C.所有非负整数

-D.所有有理数

**参考答案**:B

**解析**:所有整数在加法运算下构成一个群，因为整数加法满足封闭性、结合律，存在单位元0，并且每个整数都有逆元（即相反数）。

4.设\(G\)是一个群，\(a,b\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的封闭性？

-A.\(a\cdotb\inG\)

-B.\(a\cdotb\notinG\)

-C.\(a\cdotb=e\)

-D.\(a\cdotb=b\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的封闭性指的是对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)。

5.以下哪个选项是群的单位元的性质？

-A.\(e\cdota=a\cdote=a\)

-B.\(e\cdota=a\cdote=e\)

-C.\(e\cdota=a\cdote=a^{-1}\)

-D.\(e\cdota=a\cdote=a^2\)

**参考答案**:A

**解析**:群的单位元\(e\)满足对于任意\(a\inG\)，有\(e\cdota=a\cdote=a\)。

6.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的结合律？

-A.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)

-B.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotb\cdotc\)

-C.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotc\cdotb\)

-D.\((a\cdotb)\cdotc=c\cdotb\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的结合律指的是对于任意\(a,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)。

7.以下哪个集合在乘法运算下构成一个群？

-A.所有非零实数

-B.所有实数

-C.所有整数

-D.所有有理数

**参考答案**:A

**解析**:所有非零实数在乘法运算下构成一个群，因为非零实数乘法满足封闭性、结合律，存在单位元1，并且每个非零实数都有逆元（即倒数）。

8.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的逆元？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdota^{-1}=a\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**参考答案**:A

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)满足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是单位元。

9.以下哪个选项是群的封闭性的性质？

-A.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)

-B.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\notinG\)

-C.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=e\)

-D.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=b\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的封闭性指的是对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)。

10.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的单位元？

-A.\(e\cdota=a\cdote=a\)

-B.\(e\cdota=a\cdote=e\)

-C.\(e\cdota=a\cdote=a^{-1}\)

-D.\(e\cdota=a\cdote=a^2\)

**参考答案**:A

**解析**:群的单位元\(e\)满足对于任意\(a\inG\)，有\(e\cdota=a\cdote=a\)。

11.以下哪个集合在加法运算下不构成一个群？

-A.所有整数

-B.所有有理数

-C.所有实数

-D.所有自然数

**参考答案**:D

**解析**:所有自然数在加法运算下不构成一个群，因为自然数集合中没有逆元（即负数）。

12.设\(G\)是一个群，\(a,b\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的结合律？

-A.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)

-B.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotb\cdotc\)

-C.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotc\cdotb\)

-D.\((a\cdotb)\cdotc=c\cdotb\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的结合律指的是对于任意\(a,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)。

13.以下哪个集合在乘法运算下不构成一个群？

-A.所有非零实数

-B.所有非零有理数

-C.所有非零整数

-D.所有非零复数

**参考答案**:C

**解析**:所有非零整数在乘法运算下不构成一个群，因为非零整数集合中没有逆元（即倒数）。

14.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的逆元？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdota^{-1}=a\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**参考答案**:A

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)满足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是单位元。

15.以下哪个选项是群的封闭性的性质？

-A.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)

-B.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\notinG\)

-C.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=e\)

-D.对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=b\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的封闭性指的是对于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)。

16.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的单位元？

-A.\(e\cdota=a\cdote=a\)

-B.\(e\cdota=a\cdote=e\)

-C.\(e\cdota=a\cdote=a^{-1}\)

-D.\(e\cdota=a\cdote=a^2\)

**参考答案**:A

**解析**:群的单位元\(e\)满足对于任意\(a\inG\)，有\(e\cdota=a\cdote=a\)。

17.以下哪个集合在加法运算下构成一个群？

-A.所有整数

-B.所有自然数

-C.所有非负整数

-D.所有有理数

**参考答案**:A

**解析**:所有整数在加法运算下构成一个群，因为整数加法满足封闭性、结合律，存在单位元0，并且每个整数都有逆元（即相反数）。

18.设\(G\)是一个群，\(a,b\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的结合律？

-A.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)

-B.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotb\cdotc\)

-C.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotc\cdotb\)

-D.\((a\cdotb)\cdotc=c\cdotb\cdota\)

**参考答案**:A

**解析**:群的结合律指的是对于任意\(a,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)。

19.以下哪个集合在乘法运算下构成一个群？

-A.所有非零实数

-B.所有实数

-C.所有整数

-D.所有有理数

**参考答案**:A

**解析**:所有非零实数在乘法运算下构成一个群，因为非零实数乘法满足封闭性、结合律，存在单位元1，并且每个非零实数都有逆元（即倒数）。

20.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，以下哪个选项正确描述了群的逆元？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdota^{-1}=a\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**参考答案**:A

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)满足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是单位元。

21.设\(G\)是一个群，\(a,b\inG\)，则以下哪个选项表示\(a\)和\(b\)的乘积？

-A.\(a+b\)

-B.\(a\cdotb\)

-C.\(a\timesb\)

-D.\(a\circb\)

**参考答案**:B

**解析**:在群论中，群的运算通常表示为乘法，因此\(a\)和\(b\)的乘积表示为\(a\cdotb\)。

22.设\(G\)是一个群，\(e\)是群的单位元，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示\(a\)的逆元？

-A.\(a^{-1}\)

-B.\(-a\)

-C.\(\frac{1}{a}\)

-D.\(a'\)

**参考答案**:A

**解析**:在群论中，元素的逆元通常表示为\(a^{-1}\)。

23.设\(G\)是一个群，\(a,b,c\inG\)，则以下哪个选项表示群的结合律？

-A.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

-B.\(a\cdotb=b\cdota\)

-C.\(a\cdote=a\)

-D.\(a\cdota^{-1}=e\)

**参考答案**:A

**解析**:群的结合律表示为\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)。

24.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的单位元性质？

-A.\(a\cdote=a\)

-B.\(a\cdota^{-1}=e\)

-C.\(a\cdotb=b\cdota\)

-D.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

**参考答案**:A

**解析**:群的单位元性质表示为\(a\cdote=a\)。

25.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的逆元性质？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdote=a\)

-C.\(a\cdotb=b\cdota\)

-D.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

**参考答案**:A

**解析**:群的逆元性质表示为\(a\cdota^{-1}=e\)。

26.设\(G\)是一个群，\(a,b\inG\)，则以下哪个选项表示群的交换律？

-A.\(a\cdotb=b\cdota\)

-B.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

-C.\(a\cdote=a\)

-D.\(a\cdota^{-1}=e\)

**参考答案**:A

**解析**:群的交换律表示为\(a\cdotb=b\cdota\)。

27.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的幂运算？

-A.\(a^n\)

-B.\(a+n\)

-C.\(a\timesn\)

-D.\(a\circn\)

**参考答案**:A

**解析**:群的幂运算表示为\(a^n\)，其中\(n\)是整数。

28.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的零次幂？

-A.\(a^0=e\)

-B.\(a^0=a\)

-C.\(a^0=0\)

-D.\(a^0=1\)

**参考答案**:A

**解析**:群的零次幂定义为\(a^0=e\)，其中\(e\)是群的单位元。

29.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的负次幂？

-A.\(a^{-n}=(a^{-1})^n\)

-B.\(a^{-n}=a^n\)

-C.\(a^{-n}=-a^n\)

-D.\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

**参考答案**:A

**解析**:群的负次幂定义为\(a^{-n}=(a^{-1})^n\)。

30.设\(G\)是一个群，\(a,b\inG\)，则以下哪个选项表示群的幂运算的乘法性质？

-A.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)

-B.\(a^m\cdota^n=a^{mn}\)

-C.\(a^m\cdota^n=a^{m-n}\)

-D.\(a^m\cdota^n=a^{m/n}\)

**参考答案**:A

**解析**:群的幂运算的乘法性质表示为\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)。

31.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的幂运算的幂性质？

-A.\((a^m)^n=a^{mn}\)

-B.\((a^m)^n=a^{m+n}\)

-C.\((a^m)^n=a^{m-n}\)

-D.\((a^m)^n=a^{m/n}\)

**参考答案**:A

**解析**:群的幂运算的幂性质表示为\((a^m)^n=a^{mn}\)。

32.设\(G\)是一个群，\(a,b\inG\)，则以下哪个选项表示群的共轭元素？

-A.\(b\cdota\cdotb^{-1}\)

-B.\(b\cdota\cdotb\)

-C.\(b^{-1}\cdota\cdotb\)

-D.\(b^{-1}\cdota\cdotb^{-1}\)

**参考答案**:A

**解析**:群的共轭元素表示为\(b\cdota\cdotb^{-1}\)。

33.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的共轭类？

-A.\(\{b\cdota\cdotb^{-1}\midb\inG\}\)

-B.\(\{b\cdota\cdotb\midb\inG\}\)

-C.\(\{b^{-1}\cdota\cdotb\midb\inG\}\)

-D.\(\{b^{-1}\cdota\cdotb^{-1}\midb\inG\}\)

**参考答案**:A

**解析**:群的共轭类表示为\(\{b\cdota\cdotb^{-1}\midb\inG\}\)。

34.设\(G\)是一个群，\(a\inG\)，则以下哪个选项表示群的中心？

-A.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b\cdota\text{对所有}b\inG\}\)

-B.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b^{-1}\cdota\text{对所有}b\inG\}\)

-C.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b\cdota^{-1}\text{对所有}b\inG\}\)

-D.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b^{-1}\cdota^{-1}\text{对所有}b\inG\}\)

**参考答案**:A

**解析**:群的中心定义为\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b\cdota\text{对所有}b\inG\}\)。

35.设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的子群，则以下哪个选项表示子群的陪集？

-A.\(aH=\{a\cdoth\midh\inH\}\)

-B.\(Ha=\{h\cdota\midh\inH\}\)

-C.\(aH=\{a\cdoth^{-1}\midh\inH\}\)

-D.\(Ha=\{h^{-1}\cdota\midh\inH\}\)

**参考答案**:A

**解析**:子群的左陪集定义为\(aH=\{a\cdoth\midh\inH\}\)。

36.设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的子群，则以下哪个选项表示子群的右陪集？

-A.\(Ha=\{h\cdota\midh\inH\}\)

-B.\(aH=\{a\cdoth\midh\inH\}\)

-C.\(Ha=\{h^{-1}\cdota\midh\inH\}\)

-D.\(aH=\{a\cdoth^{-1}\midh\inH\}\)

**参考答案**:A

**解析**:子群的右陪集定义为\(Ha=\{h\cdota\midh\inH\}\)。

37.设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的子群，则以下哪个选项表示子群的指数？

-A.\([G:H]=\frac{|G|}{|H|}\)

-B.\