数学（广东卷01）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（广东卷01）全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为，，所以.故选：A.2．已知为虚数单位，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按复数的除法进行运算即可.【详解】由题意：.故选：B.3．已知，是单位向量，若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知可推得，进而即可求出投影向量.【详解】根据已知可得，所以，.所以，在上的投影向量为.故选：D.4．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用正切的倍角公式，求得，再结合诱导公式、三角函数的基本关系式和两角差的正切公式，即可求解.【详解】因为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选：A．5．三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出三个同学选择两个项目的试验的基本事件数，再求出有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数，即可列式作答.【详解】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，有且仅有两人选择的项目完全相同的事件含有的基本事件数有个，所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率.故选：C6．为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为（

）（参考数据：，）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元【答案】D【分析】根据题意将代入模型中求出的值，再将代入可求得答案【详解】由题意得当时，，则，得，所以，得，所以，当时，，得，所以，所以，解得，所以当银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入约为5万元，故选：D7．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数利用导数研究其单调性比大小即可.【详解】令，，∴，∴在上单调递增，，∴；令，，，设，，则，即单调递减，∴∴，即在单调递减，故，∴，∴.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是观察各式子的形式，构造函数与，从而利用导数即可得解.8．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.【详解】解：

如上图，由题意，抛物线的准线为，可得．∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，∴设直线方程为，将其代入，化简并整理得：．由，得．设，，则，，∴．∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，与抛物线交点为知，所以．又∵，则，∴的面积．由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.∴直线的方程为，即，∴直线的斜率为．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（

）A．若随机变量服从正态分布，且，则B．一组数据的第60百分位数为14C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4【答案】ACD【分析】根据正态分布概率性质计算判断A，由百分位数定义计算判断B，根据相关系数的概念判断C，把中心点代入回归方程求解后判断D．【详解】选项A，由已知，因此，A正确；选项B，总共有10个数，由于，因此第60百分位数为，B错；选项C，线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关性越强，越接近0，两个变量的线性相关性越弱，C正确；选项D，由已知，解得，D正确．故选：ACD．10．已知函数的部分图象如图所示.则（

）

A．B．在区间内有两个极值点C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D．A，B，C是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则【答案】ABD【分析】结合“五点法”求出解析式，判断A，求出极值点判断B，利用图象变换求得判断C，结合函数周期分类讨论确定点横坐标（取特殊情形），计算后判断D.【详解】A.由的部分图象可知，，可得，所以，由五点作图法可得，解得，，又，所以，所以函数的解析式为，故A正确；B.令得，，所以在区间上有和两个极值点，故B正确；C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，故C错误；D..若，不妨设A，B，C的位置如图1所示，

图1则，，同理时，如图2，，，所以，故D正确.

图2故选：ABD.11．已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得平面C．若，则P点在正方形底面内的运动轨迹长为D．若点是的中点，点是的中点，经过三点的正方体的截面周长为【答案】AC【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项A，建立空间直角坐标系，写出点的坐标与向量的坐标，设，根据垂直得向量数量积为列式，从而判断选项BC，作出过三点的正方体的截面，计算周长即可判断选项D．【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高等于，底面积，所以，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，，若平面，则，，则，，解得，不符合，故B错误；

对于C，，若，，即，所以点的轨迹就是线段，轨迹长为，故C正确；对于D，连接PQ并延长交DC的延长线于，连接交于，连接QF，延长QP交DA的延长线于，连接交于，连接PE，则五边形即为经过三点的正方体的截面，如图：

正方体的棱长为2，则，则为等腰直角三角形，则，根据得，，则，则，，同理可得，而，则五边形的周长为，故D错误．故选：AC．12．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中项的系数为．【答案】80【分析】只需6个因式中3个因式取、3个因式取或2个因式取、1个因式取、3个因式取1，根据组合知识得到答案.【详解】可以看成6个因式相乘，所以的展开式中含的项为3个因式取、3个因式取或2个因式取、1个因式取、3个因式取1，所以的展开式中含项的系数为．故答案为：8014．已知，，，则的最小值为．【答案】/4.5【分析】根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可.【详解】由可得，解得，又，所以，则，当且仅当，即时等号成立.故答案为：15．对于函数，若关于x的方程恰有3个不同的实根,,，则.【答案】/【分析】作出函数的图像，由图像可得，，即可得出答案.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，

若关于x的方程恰有3个不同的实根,,，不妨设，则，此时，又，则，所以.故答案为：.16．在数列中，下列说法正确的是．①若，则一定是递增数列;②若则一定是递增数列；③若，则对任意，都存在，使得④若，且存在常数，使得对任意，都有则的最大值是．【答案】②③【分析】对于①，利用构造法得到为等比数列，假设，得到，得到此时为单调递减数列；对于②，得到，证明出，故得到②正确；对于③，推出，故为递增数列，③正确；对于④，当时，，由推出时，，故④错误.【详解】对于①，，故，所以为等比数列，公比为2，若，则数列的首项为，故，，由于在R上单调递减，此时为单调递减数列，①错误；对于②，，令，当时，恒成立，当时，，故恒成立，当时，，故在单调递增，故，综上，恒成立，故一定是递增数列，②正确；对于③，，因为，所以，，……，以此类推，可得为递增数列，且时，，故对任意，都存在，使得，③正确；对于④，，当时，，又，故，此时为递增数列，且，故不存在常数，使得对任意，都有④错误.故答案为：②③四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的长.【详解】（1）由得， 2分由余弦定理，又，所以； 4分（2）因为，所以， 6分设，则，整理得，解得或（舍去）， 8分所以， 9分则. 10分18．（12分）从①，②两个条件中任选一个填入横线上，并解答下列问题．已知正项等差数列的前项和为，且________．(1)证明：数列为等差数列．(2)若，证明：．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【详解】（1）选①设的公差为，由，得， 1分则，则，或（舍去） 3分， 5分所以数列是首项为，公差为的等差数列． 6分选②设的公差为，由，得， 1分则，则，或（舍去） 3分， 5分所以数列是首项为，公差为的等差数列． 6分（2）． 7分因为，所以，解得或（舍去）． 8分， 10分所以． 12分19．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，，以为直径的圆经过点.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.【详解】（1）以为直径的圆经过点，， 1分四边形为矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面， 3分平面，，又平面，平面，，，平面，平面； 5分（2）平面，又平面，平面，，，又，，则、、两两互相垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 7分

，，，，在中，由勾股定理得， 8分则点，，，，，则，，，.设平面的法向量为，则得，取，，平面的法向量为，，取， 10分设平面与平面的夹角为，则， 11分所以平面与平面夹角的余弦值为. 12分20．（12分）已知函数(1)求的极值；(2)证明：当时，．【详解】（1）函数的定义域为，， 1分由可得，，解得，由可得，，解得， 3分所以函数在单调递增，单调递减， 4分所以的极大值为，无极小值. 5分（2）若证，即证，即证， 6分设，，令恒成立，所以在上单调递减， 8分又，所以存在唯一，使得， 9分所以当时，，则，函数单调递增，当时，，则，函数单调递减，所以， 11分所以. 12分21．（12分）佛山岭南天地位于禅城区祖庙大街2号，主要景点有龙塘诗社、文会里嫁娶屋、黄祥华如意油祖铺、李众胜堂祖铺、祖庙大街等，这里的每一处景色都极具岭南特色，其中龙塘诗社和祖庙大街很受年轻人的青睐.为进一步合理配置旅游资源，现对已在龙塘诗社游览的游客进行随机问卷调查，若继续游玩祖庙大街景点的记2分，若不继续游玩祖庙大街景点的记1分，每位游客选择是否游览祖庙大街的概率均为，游客之间的选择意愿相互独立.(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为，求的分布列与数学期望；(2)（ⅰ）若从游客中随机抽取人，记总得分恰为分的概率为，求数列的前10项和；（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系式，并求数列的通项公式.【详解】（1）的可能取值为3，4，5，6.，，，. 2分所以的分布列如下：3456则. 4分（2）（ⅰ）总分恰为的概率，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 5分前10项为. 7分（ⅱ）已调查的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得到分，再得