2025年湖南省高考普通高中名校联考高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年湖南省高考普通高中名校联考高考一模数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合M={x|x2−4x−5≤0}，N={x|−4≤x≤2}，则M∪N=A.[−4,5] B.[−1,3] C.[−4,2] D.[−1,2]2.若复数z=1+i3−i，则1z的虚部为A.−2i B.2i C.2 D.−23.甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为(

)A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.964.若函数f(x)=emx−m在区间(2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为A.[−2,0) B.(−∞,−2] C.(−∞,0) D.[2,+∞)5.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，QA.33 B.13 C.16.已知正四面体的高等于球O的直径，则正四面体的体积与球O的体积之比为(

)A.334π B.322π7.在△ABC中，sin(A−C)+sinC=sinB，且BC边上的高为32，则A.△ABC的面积有最大值，且最大值为32

B.△ABC的面积有最大值，且最大值为34

C.△ABC的面积有最小值，且最小值为38.已知函数f(x)的定义域为R，函数F(x)=f(1+x)−(1+x)为偶函数，函数G(x)=f(2+3x)−1为奇函数，则下列说法错误的是(

)A.函数f(x)的一个对称中心为(2,1) B.f(0)=−1

C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4 D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}满足a1A.a2>0 B.0<q<1 C.an+110.将函数f(x)=2sin(x+π6)图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)A.f(x+π3)为偶函数

B.g(x)的最小正周期为4π

C.f(x)与g(x)在(π3,2π3)上均单调递减11.若函数f(x)=x3+axA.f(x)可能只有1个极值点

B.当f(x)有极值点时，a2>3b

C.存在a，使得点(0,f(0))为曲线y=f(x)的对称中心

D.当不等式f(x)<0的解集为(−∞,1)∪(1,2)时，f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知{an+3}是等比数列，a1=−2，a2=−113.甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，6的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为______．14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，若在该正方体的棱上恰有4个点四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100(1)依据α=0.1的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢运动有关联？

(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数X∼N(170,100)，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170,200]内的人数(结果精确到整数)．

附：χ2=n(ad−bc)α0.10.050.01x2.7063.8416.635若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ⩽X⩽μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ⩽X⩽μ+2σ)≈0.9545，16.(本小题12分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠BCD=∠BDC=π6，P为棱AC的中点，点Q在棱CD上，PQ⊥BC，且DQ=2QC．

(1)证明：AB⊥平面BCD；

(2)若AB=BD，求平面CPQ与平面ABD17.(本小题12分)

已知函数f(x)=e2x−(a+b)x+2，且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为2−2a．

(1)比较a和b的大小；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若f(x)有最小值，且最小值为g(a)，求g(a)18.(本小题12分)

已知双曲线Γ：x2−y24=1与直线l：y=x+1交于A、B两点(A在B左侧)，过点A的两条关于l对称的直线l1、l2分别交双曲线Γ于C、D两点(C在右支，D在左支)．

(1)设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，求k1⋅k19.(本小题12分)

若数列{an}满足an+12+anan+2≤an+an+2，且an>0，则称数列{an}为“稳定数列”．

(1)若数列m，m，2为“稳定数列”，求m的取值范围；

(2)若数列{bn}的前参考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.2n13.1814.[2,15.解：(1)H0：学生的性别和是否喜欢运动无关，

χ2=100×(35×20−35×10)245×55×70×30≈2.357<2.706，

所以根据α=0.1的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关．

(2)训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数X～N(170,100)，

则μ=170，σ2=100，σ=10，

即训练前学生每分钟的跳绳个数在[160.190]，160=μ−σ，190=μ+2σ，P(μ−σ≤X≤μ+2σ)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)2+P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)2≈0.68272+16.解：(1)证明：如图，取棱CD靠近D的三等分点R，连结AR，BR，则Q是CR的中点，

因为P为棱AC的中点，所以PQ是△ACR的中位线，所以PQ//AR，

因为PQ⊥BC，所以BC⊥AR，

设BC=3a，因为∠BCD=∠BDC=π6，所以BD=3a，作BH⊥CD，连接BR，

则CD=2BCcos∠BCD=3a，因为DQ=2QC，所以CR=2a．

在△BCR中，由余弦定理得：BR=(3a)2+(2a)2−2×(3a)×(2a)×cos∠BCD=a，

因为BR2+BC2=CR2，所以BC⊥BR．

又因为AR∩BR=R，AR，BR⊂面ABR，所以BC⊥平面ABR，

因为AB⊂面ABR，所以BC⊥AB．

又因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AB⊂平面ABC，

所以AB⊥平面BCD；

(2)由(1)知，AB⊥BC，AB⊥BR.以B为原点，BC的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz．

令AB=BD=3，所以C(3,0,0),A(0,0,3),R(0,1,0),Q(32,12,0)，

设平面CPQ的法向量为n1=(x,y,z)，

则n1⋅AC=0,n1⋅AR=0,即3x−3z=0,y−3z=0,令z=1，可得x=1,y=317.解：(1)f′(x)=2e2x−(a+b)，由题知f′(0)=2−(a+b)=2−2a，

整理得a=b．

(2)由(1)知，f′(x)=2e2x−2a，

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在R上单调递增；

当a>0时，令f′(x)=2e2x−2a=0，解得x=12lna，

当x<12lna时，f′(x)<0，当x>12lna时，f′(x)>0，

所以f(x)在(−∞,12lna)上单调递减，在(12lna,+∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，在(−∞,12lna)上单调递减，在(12lna,+∞)上单调递增．

(3)由(2)知，当a≤0时，f(x)无最小值，

当a>0时，f(x)在x=12lna处取得最小值，所以g(a)=elna−alna+2=a−alna+2，

记g(x)=x−xlnx+2，x>018.解：(1)由题意知直线l斜率为1，所以直线l的倾斜角α=π4，

设直线l1、l2的倾斜角分别为θ1、θ2(θ1、θ2∈(0,π))，

直线l1、l2关于直线l对称，则θ1+θ2=2α=π2，

所以k1⋅k2=tanθ1⋅tanθ2=tanθ1⋅tan(π2−θ1)=sinθ1cosθ1⋅sin(π2−θ1)cos(π2−θ1)=1；

(2)联立方程x2−y24=1y=x+1，解得x=53y=83，

所以B(519.解：(1)由“稳定数列”的定义可知，m2+2m≤m+2，

解得−2≤m≤1，又因为an>0，所以0<m≤1，即m∈(0,1]．

解：(2)数列{bn}不是“稳定数列”，理由如下：

令n=1，得b1=S1=14，

当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=18(n2+n)−18[(n−1)2+(n−1)]=n4，

检验，当n=1时，b1=14，

故bn=n4，所以bn+1=n+14，bn+2=n+24，

要使{bn}为“稳定数