2025年江西省新余市高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年江西省新余市高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x26−yA.6 B.4 C.262.已知集合A={x|x2−x−6≤0}，B={x|exA.[−2,0] B.[−2,3] C.(−∞,0] D.(−∞,3]3.等比数列{an}中，已知a1+a3A.22 B.2 C.24.已知θ是锐角，则“直线l与平面α所成角的大小为θ”是“直线l与平面α内无数条直线所成角的大小为θ”的(    )条件．A.必要不充分 B.充分不必要 C.充分必要 D.既不充分也不必要5.已知直线l的方程为y=(−a2+1)x+b，则直线l的倾斜角的取值范围为A.[0,π4] B.[π4,6.2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以4：2的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)，已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为23，则“莎头”组合再次以4：2获胜的概率为(

)A.80729 B.160729 C.802437.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则下列说法正确的是A.若ω=1，则f(x)对任意的x都有f(x+π)=f(x)

B.若f(x)的图象关于直线x=π3对称，则ω=1+6k(k∈N)

C.若f(x)在[0,π4]上单调递增，则ω的取值范围是(0,43]

D.8.已知max{m,n}表示m，n中最大的数，设函数f(x)=max{x2−2ax+1,lnx}，若f(x)≥0，则a的最大值为A.−2 B.−1 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=1−2i，z2=3+iA.z1<z2 B.|z1+10.下列说法中正确的是(

)A.若样本数据3x1−1、3x2−1、⋯、3x10−1的平均数为11，则数据x1、x2、⋯、x10的平均数为4

B.随机变量X服从正态分布N(1,16)，若P(X>0)=35，则P(0<X<2)=15

C.某校高三(1)班进行100米体测，男生30人，跑完平均用时13秒，方差为3，女生20人，跑完平均用时14秒，方差为a，则该班级的体测成绩方差大于2.5

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、P分别是AA1、CC1、C1A.四面体BCC1P的外接球的表面积为9π

B.存在点Q，使B、N、P、Q四点共面

C.过Q且与BN垂直的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面面积取值范围为(0,25]

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,−2),b=(−1,1),c=(−2,m)，若b+c与13.(a−xy)(x+y)7的展开式中x214.课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理.实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三根为x1，x2，x3，满足：x1+x2+x3=−ba,x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosC=2b−c．

(1)求角A的大小；

(2)若b=4，BC边上的高为63913，求三角形16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2，AD//CB，∠ABC=90°，平面PCD⊥平面ABCD．

(1)求证：PD⊥PA；

(2)求平面PCD与平面17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex+e−x+a|x|+bcosx，其中a，b∈R．

(1)当a=1，b=0时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当b=−2时，18.(本小题17分)

平面直角坐标系中，点M与定点F(3,0)的距离和它到定直线x=433的距离之比是常数32．

(1)求点M的轨迹方程；

(2)若不过点A(2,0)的直线l交曲线M于P，Q两点；

①若以P，Q为直径的圆过点A，证明：直线l过定点；

②作AD⊥PQ，D为垂足19.(本小题17分)

设n∈N+，n≥4，若A⊆{1,2,⋯,n}，且不存在x，y，z∈A，使得x，y，z(x≠z)依次成等差数列，则称A为n的简单集，元素个数最多的简单集称为n的最大简单集，n的最大简单集的元素个数记为M(n)．

(1)写出4的所有最大简单集，并求M(4)；

(2)设m，n∈N+，证明：M(m+n)≤M(m)+M(n)，并求M(8)；

(3)设k，n∈N+，若对任意n≥k，都有M(2n)≤n参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.D

6.B

7.C

8.C

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.1213.432114.6750

15.解：(1)由2acosC=2b−c及余弦定理，

可得2a⋅a2+b2−c22ab=2b−c，

整理得b2+c2−a2=bc，

所以cosA=b2+c2−a22bc=12，

又A∈(0,π)，则A=π3；

(2)由题意及(1)知：12bcsinA=12a⋅63913，则13c=3a，

由cosA=16+c2−139c28c=12，

整理得c2+9c−36=0，解得c=3(负值舍)，

故a=13，又b=4，

所以三角形ABC的周长为7+13．

16.解：(1)由AD//CB，∠ABC=90°，CB=BA=12AD=2，知ABCD为直角梯形，

连接AC，则AC=22，且△ABC为等腰直角三角形，∠BAD=90°，所以∠CAD=45°，

在△ACD中，AD=4，则CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos∠CAD=8，

又PD=PC=2，故PD2+PC2=CD2，即PD⊥PC，

因为面PCD⊥面ABCD，又AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，面PCD∩面ABCD=CD，AC⊂面ABCD，

所以AC⊥面PCD，PD⊂面PCD，则AC⊥PD，

又AC∩PC=C且都在面ACP内，故PD⊥面ACP，PA⊂面ACP，

所以PD⊥PA．

(2)取CD的中点O，连接PO，由PD=PC=217.解：(1)根据题意，可得：

x>0时，f(x)=ex+e−x+x，则f(1)=e+e−1+1，

所以f′(x)=ex−e−x+1，则f′(1)=e−e−1+1，

故f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e+e−1+1)=(e−e−1+1)(x−1)，

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为(e−e−1+1)x−y+2e−1=0．

(2)由f(−x)=e−x+ex+a|−x|−2cos(−x)=ex+e−x+a|x|−2cosx=f(x)且定义域为R，

所以f(x)为偶函数，即函数图象关于y轴对称，只需研究x≥0时f(x)≥0恒成立，

由f(0)=0，要使f(x)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，必有f′(0)≥0(必要性)，

f′(x)=ex−e−x+a+2sinx，则f′(0)=a≥0，

下证充分性：a≥0时，恒有f(x)≥0在x∈(0,+∞)上成立，

在x∈(0,+∞)时，f(x)=e−x+ex+ax−2cosx≥2ex⋅e−x−2cosx+ax=2(1−cosx)+ax，

又a≥0，故2(1−cosx)+ax≥0，即f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立；

当a<0时，令g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex+e−x+2cosx，

在x∈(0,+∞)上ex+e−x>2≥2cosx≥−2，即g′(x)>0恒成立，

所以x∈(0,+∞)上g(x)单调递增，

当x趋向于0时g(x)趋向于a(a<0)，当x趋向于+∞时g(x)趋向于+∞，

所以，∃x0∈(0,+∞)使g(x0)=f′(x0)=0，

即x∈(0,x0)，g(x)=f′(x)<0，则f(x)在x∈(0,x0)上单调递减，

又f(0)=0，故存在区间x∈(0,x0)上f(x)<0，不合题设；

综上，a的范围为{a|a≥0}．

18.解：(1)令M(x,y)，

因为点M与定点F(3,0)的距离和它到定直线x=433的距离之比是常数32，

所以(x−3)2+y2(x−433)2=34，

整理得x24+y19.解：(1)若n=4，A⊆{1,2,3,4}，

由简单集及最大简单集定义可知，4的最大简单集为{1,2,4}或{1,3,4}，

∴M(4)=3；

(2)证明：设m，n∈N+，若{a1,a2,⋯,ai,ai+1,⋯,aj}为m+n的最大简单集，

且a1<a2<⋯<ai≤m<ai+1<⋯<aj≤m+n，则M(m+n)=j，

由于{a1,a2,⋯,ai}为m的简单集，{ai+1−m,⋯,aj−m}为n的简单集，

由最大简单集的定义可知i≤M(m)，j−i≤M(n)，

故M(m+n)=j=i+(j−i)≤M(m)+M(n)，

因此当m，n∈N+时，M(m+n)≤M(m)+M(n)①，

下面求M(8)：

由于{1,2,⋯,8}={1,2,3,4}∪{5,6,7,8}，由①可知M(8)≤2M(4)=6，

其中{1,2,3,4}中最多只能取三个数：1，2，4或1，3，4，

{5,6,7,8}中最多也只能取三个数：5，6，8或5，7，8，

若M(8)=6，共四种情况：1，2，4，5，6，8或1，2，4，5，7，8或1，3，4，5，6，8或1，3，4，5，7，8，

在1，2，4，5，6，8和1，3，4，5，6，8中，4，5，6成等差数列，

在1，2，4，5，7，8和1，2，4，5，7，8中，1，4，7成等差数列，

以上情况均不满足定义，故M(8)≤5，

若M(8)=5，则{1,2,3,4}和{5,6,7,8}恰有一个集合有三个数，

依据对称性，不妨设该集合为{1,2,3,4}，三个数为1，2，4或1，3，4，

则{5,6,7,8}中选两个数，且不能选7(否则1，4，7成等差数列)，

故只有三种情况：5，6和5，8和6，8，

若选两数为5，6，则在1，2，4，5，6与1，3，4，5，6中，4，5，6为等差数列，

若选两数为5，8，则在1，2，4，5，8中，2，5，8为等差数列，

在1，3，4，5，8中，3，4，5为等差数列，

若选两数为6，8，则在1，2，4，6，8与1，3，4，6，8中，4，6，8为等差数列，

均不满足定义，故M(8)≤4，

又{1,2,4,8}为简单集，∴M(8)=4；

(3)证明：要证明若k，n∈N+，若对任意n≥k，都有M(2n)≤n恒成立(k≥8)，

一方面，对∀m，n∈N+，m<n，若{a1,a2,⋯,ai}是m的最大简单集，

则{a1,a2,⋯,ai}必为n的简单集，故M(m)≤M(n)②，

下面证明：当k≤7，不满足结论“对任意n≥k，M(2n)≤n恒成立”，

即证：当k≤7时，存在n=n0≥k，使得M(2n)>n，

证明：当k=7时，由①②可知，M(14)≤M(8)+M(6)≤M(8)+M(8)=8，

又∵{1,2,4,5,10,11,13,14}为简单集，∴M(2×7)=M(14)=8>7，

故当k≤7，不满足结论“对任意n≥k，M(2n)≤n恒成立”，得证，

另一方面，我们先求出M(10)，M(12)，

对于M(10)，可知M(10)≤M(8)+2=6，

若M(10)=6，∵M(8)=4，∴在{1,2,⋯,8}中最多选4个数，

故9，10必选，因此也不能选8，

在{3,4,5,6,7,8,9,10}中最多选4个数，故1，2必选，因此也不能选3，

又由选2，10可知，不能选6，选1，9可知，不能选5，

此时，最大简单集中不能出现3，5，6，8，因此4，7必选，

而{1,2,4,7,9,10}中，1，4，7成等差数列，故M(10)≤5，

对于M(12)，由M(12)≤M(10)+2=7，

若M(12)=7，同理可知，1，2，11，12必属于最大简单集，

最大简单集中不能出现3，6，7，10，

则在4，5，8，9中需选3个数，共4种情况，

1，2，4，5，8，11，12或1