上海市崇明区2025年高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市崇明区2025年高考数学二模试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若a>b>0，c>d，则下列结论正确的是(

)A.a−b<0 B.ac2+1>bc2.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(

)A.π B.2π C.3π D.4π3.抛掷一枚质地均匀的硬币n次(其中n为大于等于2的整数)，设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为(

)A.5 B.4 C.3 D.24.数列{an}是等差数列，周期数列{bn}满足bn=cos(anA.4 B.5 C.6 D.7二、填空题：本题共12小题，共54分。5.不等式|x−1|<2的解集为______．6.已知复数zi=1−2i(i为虚数单位)，则z=______．7.已知全集U=R，集合A={1,2,4}，B={2,4,5}，则A∩B−=8.直线x=−2与直线3x−y+1=0的夹角为_____．9.已知a=(1,0)，b=(2,1)，则|a+210.函数y=2sin(ωx−π16)(ω>0)的最小正周期是π，则ω=11.某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如图所示茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为______．12.在△ABC中，若c=3，C=π3，其面积为3，则a+b=13.若(x+1)10=a0+14.已知f(x)=−x2+ax,x≤1ax−1,x>115.已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点为F1、F2.以O为顶点，F16.已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a、c∈M，b∉M且a<b<c时，称M为“间断整数集”.集合{x|1≤x≤10,x∈Z}的所有子集中，是“间断整数集”的个数为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求点P到平面AEF的距离．18.(本小题14分)

已知f(x)=log3(x+a)+log3(6−x)．

(1)是否存在实数a，使得函数y=f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；

(2)若a>−3且a≠019.(本小题14分)

某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．

(1)从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；

(2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17℃，最低温度为9℃，当天的温差为8℃，记4月1日至4日这4天温差的方差为s12，4月11日至14日这4天温差的方差为s22，若s22=43s12，求4月14日天气预报的最高气温；

(3)从3月31日至20.(本小题18分)

已知抛物线Γ：x2=4y，过点P(a,b)的直线l与抛物线Γ交于点A、B，与y轴交于点C．

(1)若点A位于第一象限，且点A到抛物线Γ的焦点的距离等于3，求点A的坐标；

(2)若点A坐标为(4,4)，且点B恰为线段AC的中点，求原点O到直线l的距离；

(3)若抛物线Γ上存在定点D使得满足题意的点A、B都有DA⊥DB，求a、b满足的关系式．21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)，P为坐标平面上一点.若函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数y=f(x)在点Q处的切线，则称点P具有性质Mf．

(1)若f(x)=x2，判断点P(1,0)是否具有性质Mf，并说明理由；

(2)若f(x)=2x3−4x2+2x，证明：线段x=12(−1≤y≤1)上的所有点均具有性质Mf；

答案解析1.【答案】B

【解析】解：因为a>b，所以a−b>0，A错误；

因为1c2+1>0，且a>b，所以ac2+1>bc2+1，B正确；

当c=0时，ac2=bc2，C错误；

取a=10，b=4，c=−1，b=−22.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．

根据圆锥的轴截面求出圆锥的母线长和底面圆半径，计算它的侧面积．【解答】

解：圆锥的轴截面边长为2的等边三角形，如图所示；

则圆锥的母线长为l=2，底面圆半径为r=1，

所以圆锥的侧面积为S侧面积=πrl=π⋅1⋅2=2π3.【答案】C

【解析】解：由题意可知，P(A)=2n−22n，P(B)=1+n2n，P(AB)=Cn112n=n2n，

由A，B独立可得P(A)P(B)=P(AB)，即2n−22n⋅4.【答案】D

【解析】解：由已知，bn+T=bn⇒cos(an+T)=cos(an)，

取an+T=an+2π，则公差d=2πT，

当T=4，是d=2π4=π2，此时一个周期内的角度序列为：a1,a1+π2,a1+π,a1+3π2，

取a1=0，则对应的余弦值为1，0，−1，0，此时X={1,0,−1}，三个元素符合题意；

当T=5，是d=2π5，此时一个周期内的角度序列为：a1,a1+2π5，a1+4π5，a1+6π5，a1+8π5，

取a1=0，则对应的余弦值为1,cos2π5，cos4π5，cos6π5，cos8π55.【答案】(−1,3)

【解析】解：|x−1|<2，整理得−2<x−1<2，

解得−1<x<3；

故不等式的解集为(−1,3)．

直接利用绝对值不等式的解法求出结果．

本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．6.【答案】2+i

【解析】解：因为zi=1−2i，所以z=i(1−2i)=i−2i2=2+i．

故答案为：2+i7.【答案】{1}

【解析】解：B−=(−∞,2)∪(2,4)∪(4,5)∪(5,+∞)，

∴A∩B−={1}．

故答案为：{1}．

由集合运算求出B8.【答案】π6【解析】解：∵直线x=−2的斜率不存在，倾斜角为π2，

直线3x−y+1=0的斜率为3，倾斜角为π3，

故直线x=−2与直线3x−y+1=0的夹角为π2−9.【答案】29【解析】解：由a=(1,0)，b=(2,1)，

可得|a|=1，|b|=5，a⋅b=2，

则|10.【答案】2

【解析】解：因为函数y=2sin(ωx−π16)(ω>0)的最小正周期T=2πω=π，

所以ω=2．

故答案为：11.【答案】7

【解析】解：14×25%=3.5，因为3.5不是整数，所以向上取整得4，

故第25百分位数是第四个数，

根据茎叶图，将数据从小到大排列：75，82，83，x，91…，

由于第25百分位数是第4个数，即87，所以x=7．

故答案为：7．

根据百分位数的性质即可求解．

本题考查了百分位数的定义，属于基础题．12.【答案】21【解析】解：由题意得12absinC=3，

由C=π3，可得ab=4，

又c2=a2+b2−2abcosC，c=3，

即9=(a+b)2−3ab=(a+b13.【答案】310【解析】解：令x=2，故(2+1)10=a0+a1+...+14.【答案】(0,2)

【解析】解：∵二次函数g(x)=−x2+ax开口向下，x=−a2×(−1)=a2是g(x)极大值，

一次函数ℎ(x)=ax−1，当a≠0时，函数ℎ(x)时单调函数，没有极值点，

要想函数y=f(x)有两个极值点，则这两个极值点为x=a2和x=1，

又∵函数g(x)在(a2,1)上单调递减，∴ℎ(x)在(1,+∞)上递增，

∴a15.【答案】2+2【解析】解：由题意可知，|F1F2|=p=2b2+1，

如图，过点P作准线的垂线，垂足为D，则|PD|=p，

则cos∠PF1F2=cos∠F1PD=|DP||PF1|=p|PF1|=22，

得|PF1|=2p，

在△PF16.【答案】968

【解析】解：由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素，

按子集中元素的个数分类，

①当元素个数为2时，不满足定义的子集有：

{1,2}，{2,3}，{3,4}，{4,5}，{5,6}，{6,7}，{7,8}，{8,9}，{9,10}，共9个；

此时满足定义的子集有C102−9个，

②当元素个数为3时，不满足定义的子集有：

{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}，{8,9,10}，共8个；

此时满足定义的子集有C103−8个，

③当元素个数为4时，不满足定义的子集有：

{1,2,3,4}，{2,3,4,5}，{3,4,5,6}，{4,5,6,7}，{5,6,7,8}，{6,7,8,9}，{7,8,9,10}，共7个；

此时满足定义的子集有C104−7个，

④当元素个数为5时，不满足定义的子集有：

{1,2,3,4,5}，{2,3,4,5,6}，{3,4,5,6,7}，{4,5,6,7,8}，{5,6,7,8,9}，{6,7,8,9,10}，共6个；

此时满足定义的子集有C105−6个，

⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有：

{1,2,3,4,5,6}，{2,3,4,5,6,7}，{3,4,5,6,7,8}，{4,5,6,7,8,9}，{5,6,7,8,9,10}，共5个；

此时满足定义的子集有C106−5个，

⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7}，{2,3,4,5,6,7,8}，{3,4,5,6,7,8,9}，{4,5,6,7,8,9,10}，共4个；

此时满足定义的子集有C107−4个，

⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7,8}，{2,3,4,5,6,7,8,9}，{3,4,5,6,7,8,9,10}，共3个；

此时满足定义的子集有C108−3个，

⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有：

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}17.【答案】解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，

∴AB⊥BC，CD⊥AD，

∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，

∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，

∴PA⊥BC，PA⊥CD，

∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．

(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点，

∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，

AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AE=x+z=0n⋅AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,−1)，【解析】(1)推导出AB⊥BC，CD⊥AD，从而BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，进而PA⊥BC，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．

(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面AEF的距离．

本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】存在实数a=6，使得函数y=f(x)是偶函数；

当−3<a<0时，不等式的解集为(−a,3]；当a>0时，不等式的解集为[3,6)．

【解析】解：(1)根据题意，存在a=6，使得函数y=f(x)是偶函数，

当a=6时，f(x)=log3(x+6)+log3(6−x)，有x+6>06−x>0，

解可得−6<x<6，即函数的定义域为(−6,6)，

由f(−x)=log3(6−x)+log3(6+x)=f(x)，则f(x)为偶函数，符合题意，

综上所述，存在实数a=6，使得函数y=f(x)是偶函数；

(2)由f(x)≤f(6−x)，得log3(x+a)+log3(6−x)≤log3(6−x+a)+log3x，

所以x+a>06−x>06−x+a>0x>0，且(x+a)(6−x)≤x(6−x+a)①，

由①得，ax≥3a，

因为a>−3且a≠0，

19.【答案】13；

18℃；

117【解析】解：(1)设事件A=“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”，

连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，

所以P(A)=412=13；

(2)因为4月1日至4日这4天温差分别为9℃、8℃、9℃、9℃，

所以s12=14i=14(xi−x−)2=316，设4月14日的温差为x℃，

则4月11日至14日这4天温差分别为8℃，9℃，8℃、x℃，

所以x−=x+254℃，

所以s2201233355随机变量×的期望E[X]=0×391+1×3391+2×5591=117．20.【答案】(22,2)；

413【解析】解：(1)设A(x,y)(x,y>0)，因为点A在抛物线上，

所以点A到抛物线T的焦点的距离等于它到抛物线Γ的准线y=−1的距离，

所以y+1=3，y=2，

所以x=42，

故点A的坐标是(22,2)；

(2)设B(b,b24)，则C(2b−4,b22−4)，

由题意，4−2b=0，所以b=2，

所以B点坐标为(2,1)，

直线l的方程为：3x−2y−4=0，

所以原点O到直线l的距离d=|−4|32+(−2)2=41313；

(3)设D(x0,x024)，由题意，直线l斜率必然存在，

设其方程为：y−b=k(x−a)，

代入x2=4y中，得：x2−4kx+4ka−4b=0，

设A(x1,x124),B(x2,x22421.【答案】具有性质Mf，理由见解答；

证明见解答；

证明见解答．【解析】解：(1)点P(1,0)具有性质Mf，理由如下：

设Q(q,q2)，因为f′(x)=2x，

所以曲线y=f(x)在点Q处的切线方程为：y=2qx−q2，

将点P(1,0)坐标代入，得：2q−q2=0，

所以q=0或2，

即函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q(0,0)，使得直线PQ是函数y=f(x)图像在点